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2019-2020年高一數(shù)學《直線與圓》練習 一、填空題： 1 圓x2+y2－4x=0在點P（1，）處的切線方程為 ． 2 由點M(5,3)向圓所引切線長等于 ． 3 在圓上,與直線4x+3y-12=0的距離最小的點的坐標為 ． 4．已知直線ax+by+c=0（abc≠0）與圓x2+y2=1相切，則三條邊長分別為｜a｜、｜b｜、 ｜c｜的三角形是 三角形． 5．M(為圓內(nèi)異于圓心的一點，則直線與該圓的位置關(guān)系為 ． 6．將直線沿軸向左平移1個單位，所得直線與圓 相切，則實數(shù)的值為 ． 7．已知定點A(1,1)，B(3,3)，點P在x軸上，且取得最大值，則P點坐標為 ． 8．過點（1，）的直線l將圓(x－2)2＋y2＝4分成兩段弧，當劣弧所對的圓心角最小時，直線l的斜率k＝ ___ 9．直線截圓得的劣弧所對的圓心角為 ． 10．已知A（－4，0），B（2，0）,AB為直徑的圓與軸的負半軸交于C，則過C點的圓的切線方程為 ． 11．求圓C1: 與圓C2: 的公共弦所在直線被圓C3: 所截得的弦長 ． 12．已知點A(－2，－1)和B(2，3)，圓C：x2＋y2 = m2，當圓C與線段AB沒有公共點時，求m的取值范圍 . 13．若直線y＝x＋m與曲線＝x有兩個不同的交點，則實數(shù)m的取值范圍為________． 14．如果點P在平面區(qū)域上,點O在曲線 最小值為 ． 二、解答題 15．直線經(jīng)過點P被圓截得的弦長為8, 求此弦所在直線方程. 16．已知圓，直線. （1）求證：不論m取什么實數(shù)，直線與圓恒交于兩點； （2）求直線被圓截得的弦長最小時的方程. 17．已知點在圓上運動. （1）求的最大值與最小值；（2）求的最大值與最小值. 18．已知圓C: x2+y2-2x+4y-4=0，是否存在斜率為1的直線L，使以L被圓C截得弦AB為直徑的圓經(jīng)過原點?若存在，寫出直線的方程；若不存在，說明理由 19．自點(－3，3)發(fā)出的光線L射到x軸上，被x軸反射，其反射線所在直線與圓相切，求光線L所在直線方程． 20．已知P(4，0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點，A、B是圓上兩動點，且滿足，,求點Q的軌跡方程 直線與圓 一、填空題 1．圓x2+y2－4x=0在點P(1，)處的切線方程為x－y+2=0． 解法一：x2+y2－4x=0， y=kx－k+x2－4x+(kx－k+)2=0 該二次方程應(yīng)有兩相等實根，即Δ=0，解得k=∴y－=（x－1），即x－y+2=0 4．已知直線ax+by+c=0（abc≠0）與圓x2+y2=1相切，則三條邊長分別為|a|,|b|,|c|的三角形 （是直角三角形） 解：由題意得=1，即c2=a2+b2，∴由|a|,|b|,|c|構(gòu)成的三角形為直角三角形． 5．M(為圓內(nèi)異于圓心的一點，則直線與該圓的位置關(guān)系為（相離）． 解：由M在圓內(nèi)知，圓心0到直線的距離，故相離． 6．將直線沿軸向左平移1個單位，所得直線與圓 相切，則實數(shù)的值為-3或7． 解：由題意可知：直線沿軸向左平移1個單位后的直線為： .已知圓的圓心為，半徑為.直線與圓相切，則圓心到直線的距 離等于圓的半徑，因而有，得或7． 7．已知定點A(1,1)，B(3,3)，點P在x軸上，且取得最大值，則P點坐標為解：P點即為過A、B兩點且與x軸相切的圓的切點，設(shè)圓方程為 ， 所以有 8．過點（1，）的直線l將圓(x－2)2＋y2＝4分成兩段弧，當劣弧所對的圓心角最小時，直線l的斜率k＝ 解：劣弧所對的圓心角最小,也就是弦長最短,此時圓心到直線的距離最大,所以當圓心與已知點的連線與直線l垂直時,弦長最短.所以直線l的斜率． 變式：（xx年天津卷）設(shè)直線與圓相交于、兩點，且弦AB的長為，則 . y O C A B 解：由弦心距、半弦長、半徑構(gòu)成直角三角形，得，解得. 10．已知A（－4，0），B（2，0）以AB為直徑的圓 與軸的負半軸交于C，則過C點的圓的切線方程為 . x 解：以AB為直徑的圓D的方程， 點C(0，-)，CD的斜率，從而切線的 斜率為，又過點C(0，-)，故切線方程為 ． 11．求圓C1: 與圓C2: 的公共弦所在直線被圓C3:所截得的弦長（）． 解: 圓C1與圓C2的公共弦所在直線方程為: ， 即x+y-1=0，圓心C3到直線x+y-1=0的距離. 所以所求弦長為. 12．已知點A(－2，－1)和B(2，3)，圓C：x2＋y2 = m2，當圓C與線段AB沒有公共 點時，求m的取值范圍 . 解：∵過點A、B的直線方程為在l：x－y＋1 = 0, 作OP垂直AB于點P，連結(jié)OB. 由圖象得：|m|＜OP 或|m|＞OB時，線段AB與圓x2＋y2 = m2無交點. （I）當|m|＜OP時，由點到直線的距離公式得： ，即. （II）當＞OB時, ,即 . ∴當和時，圓x2＋y2 = m2與線段AB無交點. 變式2：（xx年湖北卷）若直線與圓有兩個不同的交點，則的取值范圍是 . 解：依題意有，解得，∴的取值范圍是. 變式3：若直線與曲線有且只有一個公共點，求實數(shù)的取值范圍. 解：∵曲線表示半圓，∴利用數(shù)形結(jié)合法，可得實數(shù)m的取值范圍是或. 14．如果點P在平面區(qū)域上,點O在曲線最 小值為( ) 二、解答題 15．直線經(jīng)過點P被圓截得的弦長為8, 求此弦所在直線方程 思路分析：利用圓中“半徑、半弦、弦心距”構(gòu)成直角三角形可解. 解: (1)當斜率k不存在時, 過點P的直線方程為, 代入,得.∴弦長為,符合題意 (2)當斜率k存在時，設(shè)所求方程為,即 由已知,弦心距，,解得 所以此直線方程為 ,即 所以所求直線方程為 或 點評: 關(guān)于圓的弦長問題,可用幾何法從半徑、弦心距、半弦所組成的直角三角形求解,也可用代數(shù)法的弦長公式求解本題還要注意,斜率不存在時直線符合題意 16．知圓，直線. （1）求證：不論取什么實數(shù)，直線與圓恒交于兩點； （2）求直線被圓截得的弦長最小時的方程. 17．知點在圓上運動. （1）求的最大值與最小值；（2）求的最大值與最小值. 解：（1）設(shè)，則表示點與點(2，1)連線的斜率.當該直線與圓相切時， 取得最大值與最小值.由，解得，∴的最大值為，最小值為 . （2）設(shè)，則m表示直線在軸上的截距. 當該直線與圓相切時， 取得最大值與最小值.由，解得，∴的最大值為，最小值 為. 點評：數(shù)形結(jié)合，要指出對應(yīng)什么樣的形，這是解決該類題的關(guān)鍵所在。還可以考慮用圓的參數(shù)方程解題。 變式1：如果實數(shù)滿足,求的最大值、2x-y的最小值 點撥與提示: （1）用圓的切線的性質(zhì)來求解，（2）由圓的參數(shù)方程設(shè)圓上一點的坐標，代入2x-y，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題來求解. 解：（1）問題可轉(zhuǎn)化為求圓上一點到原點連線的斜率的最大值, 由圖形性質(zhì)可知, 由原點向圓作切線, 其中切線斜率的最大值即為的最大值 設(shè)過原點的直線為y=kx,即kx-y=0, 由,解得或, （2）x,y滿足, 另法：應(yīng)用線性規(guī)劃的思路，如圖，2x-y的最小值或最大值就在直線2x-y＝b與圓的切點處達到． 由,解得或,． 變式2：（xx年湖南卷）圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是（ ） A.36 B. 18 C. D. 變式3：已知，，點在圓上運動，則的最小值是 . 解：設(shè)，則.設(shè)圓心為，則，∴的最小值為. 18．已知圓C: x2+y2-2x+4y-4=0，是否存在斜率為1的直線L,使以L被圓C截得弦AB為直徑的圓經(jīng)過原點?若存在,寫出直線L的方程；若不存在,說明理由 解：設(shè)直線L的斜率為１，且L的方程為y=x+b,則　消元得方程 2x2+(2b+2)x+b2+4b-4=0,設(shè)此方程兩根為x1,x2，則x1＋x2＝-(b+1), y1+y2= x1＋x2+2b=b-1, 則AB中點為，又弦長為＝，由題意可列式 ＝解得b=1或b=-9，經(jīng)檢驗b=-9不合題意．所以所求 直線方程為y=x+1 點評：在解決存在性問題時，一般都是假設(shè)存在，然后推理求解，最后是檢驗。此類題極容易漏掉檢驗． 19．自點（－3，3）發(fā)出的光線L射到x軸上，被x軸反射，其反射線所在直線與圓 相切，求光線L所在直線方程． 解：已知圓的標準方程是(x－2)2＋(y－2)2＝1， 它關(guān)于x軸的對稱圓的方程是(x－2)2＋(y＋2)2＝1. 設(shè)光線L所在直線方程是：y－3＝k(x＋3). 由題設(shè)知對稱圓的圓心(2，－2)到這條直線的距離等于1，即．整理得 解得． 故所求的直線方程是，或， 即3x＋4y－3＝0，或4x＋3y＋3＝0． 20.如圖所示，已知P(4，0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點，A、B是圓上兩動點，且滿足，,求點Q的軌跡方程 點撥與提示：本題主要考查利用“相關(guān)點代入法”求曲線的軌跡方程 對某些較復雜的探求軌跡方程的問題，可先確定一個較易于求得的點的軌跡方程，再以此點作為主動點，所求的軌跡上的點為相關(guān)點，求得軌跡方程 解： 依題意知四邊形PAQB為矩形。設(shè)AB的中點為R，坐標為(x,y)，則在Rt△ABP中，|AR|=|PR| 又因為R是弦AB的中點，依垂徑定理 在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2) 又|AR|=|PR|=，所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2)， 即x2+y2－4x－10=0，因此點R在一個圓上，而當R在 此圓上運動時，Q點即在所求的軌跡上運動 設(shè)Q(x,y)，R(x1,y1)，因為R是PQ的中點， 所以x1=, 代入方程x2+y2－4x－10=0,得－10=0 整理得 x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程 變式1：已知直線與圓相交于、兩點，以、為鄰邊作平行四邊形，求點的軌跡方程. 變式2：已知定點，點在圓上運動，是線段上的一點，且，則點的軌跡方程是（ ） 解：設(shè).∵，∴， ∴，∴.∵點在圓上運動，∴， ∴，即，∴點的軌跡方程是. 反思：直線與圓在以前的高考題都是以低、中檔題出現(xiàn)。08高考對圓的要求為C級，這要引起足夠的重視．本專題重點：判斷直線與的位置關(guān)系，求弦長、切線長，求切線方程，求有關(guān)的軌跡問題，數(shù)形結(jié)合求參數(shù)的范圍以及最值問題等．在求圓的切線時，易忽略直線斜率是否存在．在求參數(shù)的范圍、最值問題時，要從代數(shù)方法、數(shù)形結(jié)合的兩種方法入手來培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力．