《新版【創(chuàng)新方案】高考數(shù)學理一輪復習配套文檔：第5章 第4節(jié)　數(shù)列求和》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《新版【創(chuàng)新方案】高考數(shù)學理一輪復習配套文檔：第5章 第4節(jié)　數(shù)列求和（4頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 1

2、 1 第四節(jié)　數(shù) 列 求 和 1．熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項和公式． 2．掌握非等差、等比數(shù)列求和的幾種常見方法． 1．公式法與分組求和法 (1)公式法 直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和公式求和． ①等差數(shù)列的前n項和公式： Sn＝＝na1＋d. ②等比數(shù)列的前n項和公式： Sn＝ (2)分組求和法 若一個數(shù)列是由若

3、干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減． 2．倒序相加法與并項求和法 (1)倒序相加法 如果一個數(shù)列{an}的前n項中首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項和公式即是用此法推導的． (2)并項求和法 在一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和． 形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)

4、＋…＋(2＋1)＝5 050. 3．裂項相消法 把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和． 4．錯位相減法 如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構成的，那么這個數(shù)列的前n項和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項和公式就是用此法推導的． 1．求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和時，只要把上式等號兩邊同時乘以a即可根據(jù)錯位相減法求得．你認為該說法正確嗎？為什么？ 提示：不正確．當a≠0，且a≠1時，可用錯位相減法求解． 2．如果數(shù)列{an}是周期為k(k為大于1的正整數(shù))的周期數(shù)列，那么Skm＝mSk.你認為該說法正確嗎

5、？ 提示：正確． 3．如果數(shù)列{an}是公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，則與相等嗎？ 提示：相等． 1．數(shù)列{an}的通項公式是an＝，前n項和為9，則n＝(　　) A．9 B．99 C．10 D．100 解析：選B　∵an＝＝－. ∴Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1. ∴－1＝9，即＝10，∴n＝99. 2．若數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n＋2n－1，則數(shù)列{an}的前n項和為(　　) A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1 C．2n＋1＋n2－2

6、 D．2n＋n－2 解析：選C　Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an ＝(21＋2×1－1)＋(22＋2×2－1)＋(23＋2×3－1)＋…＋(2n＋2n－1) ＝(2＋22＋…＋2n)＋2(1＋2＋3＋…＋n)－n ＝＋2×－n＝2(2n－1)＋n2＋n－n＝2n＋1＋n2－2. 3．若數(shù)列{an}的通項公式是an＝(－1)n(3n－2)，則a1＋a2＋…＋a10＝(　　) A．15 B．12 C．－12 D．－15 解析：選A　∵an＝(－1)n(3n－2)． ∴a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10－13＋16－19＋22－25

7、＋28 ＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋(－13＋16)＋(－19＋22)＋(－25＋28)＝3×5＝15. 4．一個數(shù)列{an}，當n是奇數(shù)時，an＝5n＋1；當n為偶數(shù)時，an＝2，則這個數(shù)列的前2m項的和是________． 解析：當n為奇數(shù)時，{an}是以6為首項，以10為公差的等差數(shù)列；當n為偶數(shù)時，{an}是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列．所以， S2m＝S奇＋S偶＝ma1＋×10＋ ＝6m＋5m(m－1)＋2(2m－1) ＝6m＋5m2－5m＋2m＋1－2＝2m＋1＋5m2＋m－2. 答案：2m＋1＋5m2＋m－2 5．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn且an＝

8、n·2n，則Sn＝________. 解析：∵an＝n·2n，∴Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n.① ∴2Sn＝1·22＋2·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1.② ①－②，得 －Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1 ＝－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1＝(1－n)2n＋1－2. ∴Sn＝(n－1)2n＋1＋2. 答案：(n－1)2n＋1＋2 答題模板(四) 利用錯位相減法解決數(shù)列求和 [典例]　(20xx·山東高考)(12分)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1. (1)求數(shù)列{an}

9、的通項公式； (2)若數(shù)列{bn}滿足＋＋…＋＝1－，n∈N*，求{bn}的前n項和Tn. [快速規(guī)范審題] 第(1)問 1．審結論，明解題方向 觀察所求結論：求{an}的通項公式應求a1和d. 2．審條件，挖解題信息 觀察條件：{an}為等差數(shù)列，S4＝4S2，a2n＝2an＋1 3．建聯(lián)系，找解題突破口 由S4＝4S2，a2n＝2an＋1建立關于a1和d的方程組a1＝1，d＝2an＝2n－1. 第(2)問 1．審結論，明解題方向 觀察所求結論：求{bn}的前n項和Tn―→應求{bn}的通項公式bn. 2．審條件，挖解題信息 觀察條件：＋＋…＋＝1－即的前n項

10、和為利用＝An－An－1可求可求bn. 3．建聯(lián)系，找解題突破口 由＋＋…＋＝1－求=An－An－1＝可求bn＝求Tn., [準確規(guī)范答題] (1)設等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d. 由S4＝4S2，a2n＝2an＋1，得 ?2分 解得a1＝1，d＝2 ?4分 因此an＝2n－1，n∈N*. ?5分 (2)由已知＋＋…＋＝1－，n∈N*， 當n＝1時，＝； ?6分 當n≥2時，＝1－－＝，?7分 所以＝，n∈N*. ?8分

11、由(1)知an＝2n－1，n∈N*， 所以bn＝，n∈N*. ?9分 又Tn＝＋＋＋…＋， Tn＝＋＋…＋＋，?10分 兩式相減，得 Tn＝＋－ ＝－－， ?11分 所以Tn＝3－. ?12分 [答題模板速成] 用錯位相減法解決數(shù)列求和的步驟： 第一步　判斷結構 若數(shù)列{an·bn}是由等差數(shù)列{an}與等比數(shù)列{bn}(公比q)的對應項之積構成的，則可用此法求和 第二步　乘公比 設{an·bn}的前n項和為Tn，然后兩邊同乘以q 第三步　錯位相減 乘以公比q后，向后錯開一位，使含有qk(k∈N*)的項對應，然后兩邊同時作差 第四步　求和