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2019-2020年人教版高中數(shù)學選修1-1教案：2-4-1 拋物線及其標準方程 項目 內(nèi)容 課題 2.4.1 拋物線及其標準方程 （共 1 課時） 修改與創(chuàng)新 教學 目標 知識與技能：使學生掌握拋物線的定義，理解焦點、準線方程的幾何意義，能夠根據(jù)已知條件寫出拋物線的標準方程。 過程與方法：掌握開口向右的拋物線的標準方程的推導過程，進一步理解求曲線的方法——坐標法；通過本節(jié)課的學習，學生在解決問題時應具有觀察、類比、分析和計算的能力。 情感、態(tài)度與價值觀：通過一個簡單實驗引入拋物線的定義，可以對學生進行理論來源于實踐的辯證唯物主義思想教育． 教學重、 難點 重點：拋物線的定義和標準方程． 難點：拋物線的標準方程的推導． 教學 準備 多媒體課件 教學過程 (一)導出課題 我們已學習了圓、橢圓、雙曲線三種圓錐曲線．今天我們將學習第四種圓錐曲線——拋物線，以及它的定義和標準方程．課題是“拋物線及其標準方程”． 請大家思考兩個問題： 問題1：同學們對拋物線已有了哪些認識？ 在物理中，拋物線被認為是拋射物體的運行軌道；在數(shù)學中，拋物線是二次函數(shù)的圖象？ 問題2：在二次函數(shù)中研究的拋物線有什么特征？ 在二次函數(shù)中研究的拋物線，它的對稱軸是平行于y軸、開口向上或開口向下兩種情形． 引導學生進一步思考：如果拋物線的對稱軸不平行于y軸，那么就不能作為二次函數(shù)的圖象來研究了．今天，我們突破函數(shù)研究中這個限制，從更一般意義上來研究拋物線． (二)拋物線的定義 1．回顧 平面內(nèi)與一個定點F的距離和一條定直線l的距離的比是常數(shù)e的軌跡，當0＜e＜1時是橢圓，當e＞1時是雙曲線，那么當e=1時，它又是什么曲線？ 2．簡單實驗 如圖2-29，把一根直尺固定在畫圖板內(nèi)直線l的位置上，一塊三角板的一條直角邊緊靠直尺的邊緣；把一條繩子的一端固定于三角板另一條直角邊上的點A，截取繩子的長等于A到直線l的距離AC，并且把繩子另一端固定在圖板上的一點F；用一支鉛筆扣著繩子，緊靠著三角板的這條直角邊把繩子繃緊，然后使三角板緊靠著直尺左右滑動，這樣鉛筆就描出一條曲線，這條曲線叫做拋物線．反復演示后，請同學們來歸納拋物線的定義，教師總結． 3．定義 這樣，可以把拋物線的定義概括成： 平面內(nèi)與一定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線(定點F不在定直線l上)．定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準線． (三)拋物線的標準方程 設定點F到定直線l的距離為p(p為已知數(shù)且大于0)．下面，我們來求拋物線的方程．怎樣選擇直角坐標系，才能使所得的方程取較簡單的形式呢？ 讓學生議論一下，教師巡視，啟發(fā)輔導，最后簡單小結建立直角坐標系的幾種方案： 方案1：(由第一組同學完成，請一學生板練．) 以l為y軸，過點F與直線l垂直的直線為x軸建立直角坐標系(圖2- 30)．設定點F(p，0)，動點M的坐標為(x，y)，過M作MD⊥y軸于D，拋物線的集合為：p={M||MF|=|MD|}． 化簡后得：y2=2px-p2(p＞0)． 方案2：(由第二組同學完成，請一學生板練) 以定點F為原點，平行l(wèi)的直線為y軸建立直角坐標系(如圖)．設動點M的坐標為(x，y)，且設直線l的方程為x=-p，定點F(0，0)，過M作MD⊥l于D，拋物線的集合為： p={M||MF|=|MD|}． 化簡得：y2=2px+p2(p＞0)． 方案3：(由第三、四組同學完成，請一學生板練．) 取過焦點F且垂直于準線l的直線為x軸，x軸與l交于K，以線段KF的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系(如圖． 拋物線上的點M(x，y)到l的距離為d，拋物線是集合p={M||MF|=d}． 化簡后得：y2=2px(p＞0)． 比較所得的各個方程，應該選擇哪些方程作為拋物線的標準方程呢？ 引導學生分析出：方案3中得出的方程作為拋物線的標準方程．這是因為這個方程不僅具有較簡的形式，而方程中的系數(shù)有明確的幾何意義：一次項系數(shù)是焦點到準線距離的2倍． 由于焦點和準線在坐標系下的不同分布情況，拋物線的標準方程有四種情形(列表如下)： 將上表畫在小黑板上，講解時出示小黑板，并講清為什么會出現(xiàn)四種不同的情形，四種情形中P＞0；并指出圖形的位置特征和方程的形式應結合起來記憶．即：當對稱軸為x軸時，方程等號右端為2px，相應地左端為y2；當對稱軸為y軸時，方程等號的右端為2py，相應地左端為x2．同時注意：當焦點在正半軸上時，取正號；當焦點在負半軸上時，取負號． (四)四種標準方程的應用 例題：(1)已知拋物線的標準方程是y2=6x，求它的焦點坐標和準線方程； (2)已知拋物線的焦點坐標是F(0，-2)，求它的標準方程． 方程是x2=-8y． 練習：根據(jù)下列所給條件，寫出拋物線的標準方程： (1)焦點是F(3，0)； (3)焦點到準線的距離是2． 由三名學生板練，教師予以糾正． 這時，教師小結一下：由于拋物線的標準方程有四種形式，且每一種形式中都只含一個系數(shù)p，因此只要給出確定p的一個條件，就可以求出拋物線的標準方程．當拋物線的焦點坐標或準線方程給定以后，它的標準方程就唯一確定了；若拋物線的焦點坐標或準線方程沒有給定，則所求的標準方程就會有多解． (五)課時小結 本節(jié)課主要介紹了拋物線的定義，推導出拋物線的四種標準方程形式，并加以運用． （六）布置作業(yè) 到準線的距離是多少？點M的橫坐標是多少？ 2．求下列拋物線的焦點坐標和準線方程： (1)x2=2y；(2)4x2+3y=0； (3)2y2+5x=0；(4)y2-6x=0． 3．根據(jù)下列條件，求拋物線的方程，并描點畫出圖形： (1)頂點在原點，對稱軸是x軸，并且頂點與焦點的距離等于6； (2)頂點在原點，對稱軸是y軸，并經(jīng)過點p(-6，-3)． 4．求焦點在直線3x-4y-12=0上的拋物線的標準方程． 板書設計 2.4.1 拋物線及其標準方程 1.拋物線的定義 2.拋物線的標準方程 例 教學反思 1.讓學生自己探索如何建立坐標系，能使求得的方程最為簡潔，提高學生知識的遷移能力。 2.引導學生分析，坐標系還有哪些建立方式，求得的方程一樣的簡潔，并求出方程。