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2019-2020年北師大版必修5高中數(shù)學(xué)第三章《簡單線性規(guī)劃》word教案1 教學(xué)目標(biāo)： 1.了解線性規(guī)劃的意義及線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等概念； 2.能根據(jù)條件建立線性目標(biāo)函數(shù)； 3.了解線性規(guī)劃問題的圖解法，并會用圖解法求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值、最小值. 教學(xué)重、難點：線性規(guī)劃問題的圖解法；尋求線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解. 教學(xué)過程： （一）復(fù)習(xí)練習(xí)： 畫出下列不等式表示的平面區(qū)域： （1）； （2）． （二）新課講解： 在現(xiàn)實生產(chǎn)、生活中，經(jīng)常會遇到資源利用、人力調(diào)配、生產(chǎn)安排等問題。 1、下面我們就來看有關(guān)與生產(chǎn)安排的一個問題： 引例：某工廠有A、B兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用4個A配件耗時1h,每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用4個B配件耗時2h，該廠每天最多可從配件廠獲得16個A配件和12個B配件，按每天8h計算，該廠所有可能的日生產(chǎn)安排是什么？ （1）用不等式組表示問題中的限制條件： 設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)x、y件，又已知條件可得二元一次不等式組： ……………………………………………….（1） （2）畫出不等式組所表示的平面區(qū)域： 如圖，圖中的陰影部分的整點（坐標(biāo)為整數(shù)的點）就代表所有可能的日生產(chǎn)安排。 （3）提出新問題： 進一步，若生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利2萬元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利3萬元，采用哪種生產(chǎn)安排利潤最大？ （4）嘗試解答： 設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品件，乙產(chǎn)品件時，工廠獲得的利潤為,則，這樣，上述問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)滿足不等式（1）并且為非負整數(shù)時，z的最大值是多少？ 把變形為，這是斜率為，在y軸上的截距為的直線。當(dāng)z變化時，可以得到一族互相平行的直線，如圖，由于這些直線的斜率是確定的，因此只要給定一個點，（例如（1，2）），就能確定一條直線（），這說明，截距可以由平面內(nèi)的一個點的坐標(biāo)唯一確定?？梢钥吹?，直線與不等式組（1）的區(qū)域的交點滿足不等式組（1），而且當(dāng)截距最大時，z取得最大值。因此，問題可以轉(zhuǎn)化為當(dāng)直線與不等式組（1）確定的平面區(qū)域有公共點時，在區(qū)域內(nèi)找一個點P，使直線經(jīng)過點P時截距最大。 （5）獲得結(jié)果：由圖可以看出，當(dāng)經(jīng)過直線x=4與直線x+2y-8=0的交點時，截距的值最大，最大值為，這時.所以，每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品4件，乙產(chǎn)品2件時，工廠可獲得最大利潤14萬元。 2、有關(guān)概念 在上述引例中，不等式組是一組對變量的約束條件，這組約束條件都是關(guān)于的一次不等式，所以又稱為線性約束條件。是要求最大值或最小值所涉及的變量的解析式，叫目標(biāo)函數(shù)。又由于是的一次解析式，所以又叫線性目標(biāo)函數(shù). 一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。滿足線性約束條件的解叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域。在上述問題中，可行域就是陰影部分表示的三角形區(qū)域。其中可行解和分別使目標(biāo)函數(shù)取得最大值和最小值，它們都叫做這個問題的最優(yōu)解. （三）例題分析： 例1：設(shè)滿足約束條件 （1）求目標(biāo)函數(shù)的最小值與最大值 （2）求目標(biāo)函數(shù)的最小值與最大值 解：（1）作出可行域（如圖） 令作直線 當(dāng)把直線向下移動時所對應(yīng)的的函數(shù)值 隨之減小，所以直線經(jīng)過可行域的頂點時， 取得最小值，頂點是直線與直線的交點，即 當(dāng)把直線向上移動時所對應(yīng)的的函數(shù)值隨之增大，所以直線經(jīng)過可行域的頂點時，取得最大值，頂點是直線與直線的交點，由知，此時頂點和頂點為最優(yōu)解 所以， （2）作直線，把直線向下平移時，所對應(yīng)的的函數(shù)值隨之減小，即的函數(shù)值隨之減小，當(dāng)直線經(jīng)過可行域頂點時，取得最小值，即取得最小值 頂點是直線與直線的交點，由知 代入目標(biāo)函數(shù)知 由于直線平行于直線 ，因此當(dāng)把直線向上平移到時，與可行域的交點不止一個，而是線段上的所有點，此時， 練習(xí)：設(shè)變量滿足條件， （1）求的最大值和最小值.（2）求的最大值和最小值. 解：（1）由題意，變量所滿足的每個不等式都表示一個平面區(qū)域，不等式組則表示這些平面區(qū)域的公共區(qū)域。由圖知，原點不在公共區(qū)域內(nèi)，當(dāng)時，，即點在直線：上， 作一組平行于的直線：，， 可知：當(dāng)在的右上方時，直線上的點 滿足，即， 而且，直線往右平移時，隨之增大。 由圖象可知， 當(dāng)直線經(jīng)過點時，對應(yīng)的最大， 當(dāng)直線經(jīng)過點時，對應(yīng)的最小， 所以，，． （2）直線與所在直線平行，則由（1）知， 當(dāng)與所在直線重合時最大，此時滿足條件的最優(yōu)解有無數(shù)多個， 當(dāng)經(jīng)過點時，對應(yīng)最小， ∴，． 說明：1．線性目標(biāo)函數(shù)的最大值、最小值一般在可行域的頂點處取得； 2．線性目標(biāo)函數(shù)的最大值、最小值也可在可行域的邊界上取得，即滿足條件的最優(yōu)解有無數(shù)多個。 例2．設(shè)滿足約束條件組，求的最大值和最小值. 解：由知，代入中，得，， ∴原約束條件組可化為， 如圖，作一組平行線：平行于：， 由圖象知，當(dāng)往左上方時，往左上方移動時隨之增大， 當(dāng)往右下方移動時，隨之減小， 所以，當(dāng)直線經(jīng)過時，； 當(dāng)直線經(jīng)過時，． 例3（參考）．已知滿足不等式組，求使取最大值的整數(shù)． 解：不等式組的解集為三直線：，：，：所圍成的三角形內(nèi)部（不含邊界），設(shè)與，與，與交點分別為，則坐標(biāo)分別為，，， 作一組平行線：平行于：， 當(dāng)往右上方移動時，隨之增大， ∴當(dāng)過點時最大為，但不是整數(shù)解， 又由知可取， 當(dāng)時，代入原不等式組得， ∴； 當(dāng)時，得或， ∴或； 當(dāng)時，， ∴， 故的最大整數(shù)解為或． 說明：最優(yōu)整數(shù)解常有兩種處理方法，一種是通過打出網(wǎng)格求整點，關(guān)鍵是作圖要準(zhǔn)確；另一種是本題采用的方法，先確定區(qū)域內(nèi)點的橫坐標(biāo)范圍，確定的所有整數(shù)值，再代回原不等式組，得出的一元一次不等式組，再確定的所有相應(yīng)整數(shù)值，即先固定，再用制約． 課堂小結(jié)：1．線性規(guī)劃問題的有關(guān)概念； 2．線性規(guī)劃問題的圖解法求目標(biāo)函數(shù)的最大、最小值； 3．線性規(guī)劃問題的最優(yōu)整數(shù)解. 作業(yè)：課本第108頁A組 第6題.