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2019-2020年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第十一章選修內(nèi)容 11-4 不等式的證明《教案》
1．不等式證明的方法
(1)比較法：
①作差比較法：
知道a>b?a－b>0，a
b只要證明a－b>0即可，這種方法稱為作差比較法．
②作商比較法：
由a>b>0?>1且a>0，b>0，因此當(dāng)a>0，b>0時，要證明a>b，只要證明>1即可，這種方法稱為作商比較法．
(2)綜合法：
從已知條件出發(fā)，利用不等式的有關(guān)性質(zhì)或定理，經(jīng)過推理論證，最終推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，這種證明方法叫綜合法．即“由因?qū)Ч钡姆椒ǎ?
(3)分析法：
從待證不等式出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直到將待證不等式歸結(jié)為一個已成立的不等式(已知條件、定理等)，從而得出要證的不等式成立，這種證明方法叫分析法．即“執(zhí)果索因”的方法．
(4)反證法和放縮法：
①先假設(shè)要證的命題不成立，以此為出發(fā)點，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實等)矛盾的結(jié)論，以說明假設(shè)不正確，從而證明原命題成立，這種方法叫做反證法．
②在證明不等式時，有時要把所證不等式的一邊適當(dāng)?shù)胤糯蠡蚩s小，此利于化簡并使它與不等式的另一邊的關(guān)系更為明顯，從而得出原不等式成立，這種方法稱為放縮法．
(5)數(shù)學(xué)歸納法：
一般地，當(dāng)要證明一個命題對于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時，可以用以下兩個步驟：
①證明當(dāng)n＝n0時命題成立；
②假設(shè)當(dāng)n＝k (k∈N*，且k≥n0)時命題成立，證明n＝k＋1時命題也成立．
在完成了這兩個步驟后，就可以斷定命題對于不小于n0的所有正整數(shù)都成立．這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法．
2．幾個常用基本不等式
(1)柯西不等式：
①柯西不等式的代數(shù)形式：設(shè)a，b，c，d均為實數(shù)，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc時，等號成立)．
②柯西不等式的向量形式：設(shè)α，β為平面上的兩個向量，則|α||β|≥|αβ|，等號當(dāng)且僅當(dāng)α，β共線時成立．
③柯西不等式的三角不等式：設(shè)x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，則＋≥.
④柯西不等式的一般形式：設(shè)n為大于1的自然數(shù)，ai，bi (i＝1,2，…，n)為實數(shù)，則(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，等號當(dāng)且僅當(dāng)＝＝…＝時成立(當(dāng)ai＝0時，約定bi＝0，i＝1,2，…，n)．
(2)算術(shù)—幾何平均不等式
若a1，a2，…，an為正數(shù)，則≥，當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝…＝an時，等號成立．
1．設(shè)a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，求的最小值．
解 根據(jù)柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，的最小值為.
2．若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求＋＋的最大值．
解 (＋＋)2＝(1＋1＋1)2
≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3.
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時，等號成立．
∴(＋＋)2≤3.
故＋＋的最大值為.
3．設(shè)x>0，y>0，若不等式＋＋≥0恒成立，求實數(shù)λ的最小值．
解 ∵x>0，y>0，
∴原不等式可化為－λ≤(＋)(x＋y)＝2＋＋.
∵2＋＋≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時等號成立．
∴min＝4，
即－λ≤4，λ≥－4.
題型一 用綜合法與分析法證明不等式
例1 (1)已知x，y均為正數(shù)，且x>y，求證：2x＋≥2y＋3；
(2)設(shè)a，b，c>0且ab＋bc＋ca＝1，求證：a＋b＋c≥.
證明 (1)因為x>0，y>0，x－y>0，
2x＋－2y＝2(x－y)＋
＝(x－y)＋(x－y)＋
≥3＝3，
所以2x＋≥2y＋3.
(2)因為a，b，c>0，所以要證a＋b＋c≥，
只需證明(a＋b＋c)2≥3.
即證：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，
而ab＋bc＋ca＝1，
故需證明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)．
即證：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
而ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時等號成立)成立．
所以原不等式成立．
思維升華 用綜合法證明不等式是“由因?qū)Ч保梅治龇ㄗC明不等式是“執(zhí)果索因”，它們是兩種思路截然相反的證明方法．綜合法往往是分析法的逆過程，表述簡單、條理清楚，所以在實際應(yīng)用時，往往用分析法找思路，用綜合法寫步驟，由此可見，分析法與綜合法相互轉(zhuǎn)化，互相滲透，互為前提，充分利用這一辯證關(guān)系，可以增加解題思路，開闊視野．
設(shè)a、b、c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，證明：
(1)ab＋bc＋ac≤；(2)＋＋≥1.
證明 (1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得
a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由題設(shè)得(a＋b＋c)2＝1，
即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，
即ab＋bc＋ca≤.
(2)因為＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c.
所以＋＋≥1.
題型二 放縮法證明不等式
例2 若a，b∈R，求證：≤＋.
證明 當(dāng)|a＋b|＝0時，不等式顯然成立．
當(dāng)|a＋b|≠0時，
由0<|a＋b|≤|a|＋|b|?≥，
所以＝
≤＝
＝＋≤＋.
思維升華 (1)在不等式的證明中，“放”和“縮”是常用的推證技巧．常見的放縮變換有：
①變換分式的分子和分母，如<，>，<，>.上面不等式中k∈N*，k>1；
②利用函數(shù)的單調(diào)性；
③真分?jǐn)?shù)性質(zhì)“若00，則<”．
(2)在用放縮法證明不等式時，“放”和“縮”均需把握一個度．
設(shè)n是正整數(shù)，求證：≤＋＋…＋<1.
證明 由2n≥n＋k>n(k＝1,2，…，n)，得
≤<.
當(dāng)k＝1時，≤<；
當(dāng)k＝2時，≤<；
…
當(dāng)k＝n時，≤<，
∴＝≤＋＋…＋<＝1.
∴原不等式成立．
題型三 柯西不等式的應(yīng)用
例3 已知x，y，z均為實數(shù)．
(1)若x＋y＋z＝1，求證：＋＋≤3；
(2)若x＋2y＋3z＝6，求x2＋y2＋z2的最小值．
(1)證明 因為(＋＋)2≤(12＋12＋12)(3x＋1＋3y＋2＋3z＋3)＝27.
所以＋＋≤3.
當(dāng)且僅當(dāng)x＝，y＝，z＝0時取等號．
(2)解 因為6＝x＋2y＋3z≤，
所以x2＋y2＋z2≥，當(dāng)且僅當(dāng)x＝＝即x＝，y＝，z＝時，x2＋y2＋z2有最小值.
思維升華 (1)使用柯西不等式證明的關(guān)鍵是恰當(dāng)變形，化為符合它的結(jié)構(gòu)形式，當(dāng)一個式子與柯西不等式的左邊或右邊具有一致形式時，就可使用柯西不等式進(jìn)行證明．(2)利用柯西不等式求最值的一般結(jié)構(gòu)為：(a＋a＋…＋a)(＋＋…＋)≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在使用柯西不等式時，要注意右邊為常數(shù)且應(yīng)注意等號成立的條件．
已知大于1的正數(shù)x，y，z滿足x＋y＋z＝3.求證：＋＋≥.
證明 由柯西不等式及題意得，
(＋＋)
[(x＋2y＋3z)＋(y＋2z＋3x)＋(z＋2x＋3y)]≥(x＋y＋z)2＝27.
又(x＋2y＋3z)＋(y＋2z＋3x)＋(z＋2x＋3y)＝6(x＋y＋z)＝18，
∴＋＋≥＝，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z＝時，等號成立．
證明不等式的方法和技巧：
(1)如果已知條件與待證明的結(jié)論直接聯(lián)系不明顯，可考慮用分析法；如果待證的命題以“至少”“至多”等方式給出或否定性命題、唯一性命題，則考慮用反證法；如果待證不等式與自然數(shù)有關(guān)，則考慮用數(shù)學(xué)歸納法等．
(2)在必要的情況下，可能還需要使用換元法、構(gòu)造法等技巧簡化對問題的表述和證明．尤其是對含絕對值不等式的解法或證明，其簡化的基本思路是去絕對值號，轉(zhuǎn)化為常見的不等式(組)求解．多以絕對值的幾何意義或“找零點、分區(qū)間、逐個解、并起來”為簡化策略，而絕對值三角不等式，往往作為不等式放縮的依據(jù)．
(3)在使用基本不等式時，等號成立的條件是一直要注意的事情，特別是連續(xù)使用時，要求分析每次使用時等號是否成立．
(4)柯西不等式使用的關(guān)鍵是出現(xiàn)其結(jié)構(gòu)形式，也要注意等號成立的條件.
A組 專項基礎(chǔ)訓(xùn)練
(時間：40分鐘)
1．已知x＋y＝1，求2x2＋3y2的最小值．
解 由柯西不等式(2x2＋3y2)
≥2＝(x＋y)2＝1，
∴2x2＋3y2≥，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝3y，即x＝，y＝時，等號成立．所以2x2＋3y2的最小值為.
2．設(shè)a＋b＝2，b>0，當(dāng)＋取得最小值時，求a的值．
解 由于a＋b＝2，所以＋＝＋＝＋＋，由于b>0，|a|>0，所以＋≥2＝1，因此當(dāng)a>0時，＋的最小值是＋1＝；當(dāng)a<0時，＋的最小值是－＋1＝.故＋的最小值為，此時即a＝－2.
3．設(shè)a、b、c是正實數(shù)，且a＋b＋c＝9，求＋＋的最小值．
解 ∵(a＋b＋c)
＝[()2＋()2＋()2]
≥2＝18.
∴＋＋≥2.∴＋＋的最小值為2.
4．設(shè)x，y，z∈R，且滿足：x2＋y2＋z2＝1，x＋2y＋3z＝，求x＋y＋z.
解 由柯西不等式可得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3z)2，即(x＋2y＋3z)2≤14，因此x＋2y＋3z≤.因為x＋2y＋3z＝，所以x＝＝，解得x＝，y＝，z＝，于是x＋y＋z＝.
5．已知△ABC的三邊長分別為a，b，c.求證：＋＋≥a＋b＋c.
證明 因為[(b＋c－a)＋(c＋a－b)＋(a＋b－c)]≥(a＋b＋c)2，
又a＋b＋c>0，
所以＋＋≥a＋b＋c(當(dāng)且僅當(dāng)＝＝時取等號)．
6．已知a，b，c∈R，且2a＋2b＋c＝8，求(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值．
解 由柯西不等式得
(4＋4＋1)[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥[2(a－1)＋2(b＋2)＋c－3]2，
∴9[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥(2a＋2b＋c－1)2.
∵2a＋2b＋c＝8，
∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2≥，
當(dāng)且僅當(dāng)＝＝c－3時等號成立，
∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值是.
B組 專項能力提升
(時間：30分鐘)
7．(xx湖南)設(shè)a＞0，b＞0，且a＋b＝＋.
證明：(1)a＋b≥2；
(2)a2＋a＜2與b2＋b＜2不可能同時成立．
證明 由a＋b＝＋＝，a＞0，b＞0，得ab＝1.
(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2.
(2)假設(shè)a2＋a＜2與b2＋b＜2同時成立，
則由a2＋a＜2及a＞0得0＜a＜1；
同理，0＜b＜1，從而ab＜1，這與ab＝1矛盾．
故a2＋a＜2與b2＋b＜2不可能同時成立．
8．已知：an＝＋＋＋…＋(n∈N*)，求證：n，
∴an＝＋＋…＋>1＋2＋3＋…＋n＝.
∵<，
∴an<＋＋＋…＋
＝＋(2＋3＋…＋n)＋＝.
綜上得1，即a的取值范圍是(1，＋∞)．
(2)由柯西不等式，得
[42＋()2＋22][()2＋()2＋()2]
≥(4＋＋2)2
＝(x＋y＋z)2，
即251≥(x＋y＋z)2.
∴5≥|x＋y＋z|，∴－5≤x＋y＋z≤5.
∴x＋y＋z的取值范圍是[－5,5]．
10．已知a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)．
(1)求＋＋的最小值；
(2)求證：(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2.
(1)解 因為a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，
x1，x2∈(0，＋∞)，
所以＋＋≥3＝3≥3＝3＝6，
當(dāng)且僅當(dāng)＝＝且a＝b，即a＝b＝
且x1＝x2＝1時，＋＋有最小值6.
(2)證明 方法一 由a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，
x1，x2∈(0，＋∞)，及柯西不等式可得：
(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)＝[()2＋()2][()2＋)2]≥(＋)2＝(a＋b)2＝x1x2，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x1＝x2時取得等號．
所以(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2.
方法二 因為a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)，
所以(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)
＝a2x1x2＋abx＋abx＋b2x1x2
＝x1x2(a2＋b2)＋ab(x＋x)
≥x1x2(a2＋b2)＋ab(2x1x2)
＝x1x2(a2＋b2＋2ab)
＝x1x2(a＋b)2
＝x1x2，
當(dāng)且僅當(dāng)x1＝x2時，取得等號．
所以(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2.
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