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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第2章　函　數(shù) 學(xué)案4　函數(shù)及其表示 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域，了解映射的概念.2.在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法等)表示函數(shù).3.了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用． 自主梳理 1．函數(shù)的基本概念 (1)函數(shù)定義 設(shè)A，B是兩個(gè)非空的________，如果按某種對(duì)應(yīng)法則f，對(duì)于集合A中的____________，在集合B中______________，稱(chēng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，x的取值范圍A叫做函數(shù)的__________，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做

2、函數(shù)的________． (2)函數(shù)的三要素 ________、________和__________． (3)函數(shù)的表示法 表示函數(shù)的常用方法有：________、________、________. (4)函數(shù)相等 如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和____________完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)相等，這是判定兩函數(shù)相等的依據(jù)． (5)分段函數(shù)：在函數(shù)的________內(nèi)，對(duì)于自變量x的不同取值區(qū)間，有著不同的__________，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)． 分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，它的定義域是各段取值區(qū)間的______，值域是各段值域的______． 2．映射的概念 (1)映射的定義

3、 設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按某種對(duì)應(yīng)法則f，對(duì)于集合A中的每一個(gè)元素，在集合B中__________確定的元素與之對(duì)應(yīng)，那么這樣的單值對(duì)應(yīng)f：A→B叫集合A到集合B的________． (2)由映射的定義可以看出，映射是函數(shù)概念的推廣，函數(shù)是一種特殊的映射，要注意構(gòu)成函數(shù)的兩個(gè)集合，A、B必須是非空數(shù)集． 自我檢測(cè) 1．設(shè)集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，給出下列4個(gè)圖形，其中能表示集合M到N的函數(shù)關(guān)系的有________(填序號(hào))． 2．(2010·湖北改編)函數(shù)y＝的定義域?yàn)開(kāi)_______． 3．(2010·湖北改編)已知函數(shù)f(x)＝，則f(f(

4、))＝________. 4．下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝x相同的函數(shù)是________(填序號(hào))． ①y＝；②y＝()2；③y＝lg 10x；④y＝2log2x. 5．函數(shù)y＝lg(ax2－ax＋1)的定義域是R，求a的取值范圍． 探究點(diǎn)一　函數(shù)與映射的概念 例1　下列對(duì)應(yīng)法則是集合P上的函數(shù)的是________(填序號(hào))． (1)P＝Z，Q＝N*，對(duì)應(yīng)法則f：對(duì)集合P中的元素取絕對(duì)值與集合Q中的元素相對(duì)應(yīng)； (2)P＝{－1,1，－2,2}，Q＝{1,4}，對(duì)應(yīng)法則：f：x→y＝x2，x∈P，y∈Q； (3)P＝{三角形}，Q＝{x|x>0}，對(duì)應(yīng)法則f：對(duì)P

5、中三角形求面積與集合Q中元素對(duì)應(yīng)． 變式遷移1　已知映射f：A→B.其中A＝B＝R，對(duì)應(yīng)法則f：x→y＝－x2＋2x，對(duì)于實(shí)數(shù)k∈B，在集合A中不存在元素與之對(duì)應(yīng)，則k的取值范圍是________． 探究點(diǎn)二　求函數(shù)的定義域 例2　求下列函數(shù)的定義域： (1)y＝＋； (2)已知函數(shù)f(2x＋1)的定義域?yàn)?0,1)，求f(x)的定義域． 變式遷移2　已知函數(shù)y＝f(x)的定義域是[0,2]，那么g(x)＝的定義域是___________________． 探究點(diǎn)三　求函數(shù)的解析式 例3　(1)已知f(＋1)＝lg x，求f(x)； (2)已知f(x)是一次函

6、數(shù)，且滿足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)； (3)已知f(x)滿足2f(x)＋f()＝3x，求f(x)． 變式遷移3　給出下列兩個(gè)條件：(1)f(＋1)＝x＋2； (2)f(x)為二次函數(shù)且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2.試分別求出f(x)的解析式． 探究點(diǎn)四　分段函數(shù)的應(yīng)用 例4　設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，則關(guān)于x的方程f(x)＝x的解的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______． 變式遷移4　(2010·江蘇)已知函數(shù)f(x)＝則滿足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的范圍為_(kāi)________

7、_____． 1．與定義域有關(guān)的幾類(lèi)問(wèn)題 第一類(lèi)是給出函數(shù)的解析式，這時(shí)函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值范圍； 第二類(lèi)是實(shí)際問(wèn)題或幾何問(wèn)題，此時(shí)除要考慮解析式有意義外，還應(yīng)考慮使實(shí)際問(wèn)題或幾何問(wèn)題有意義； 第三類(lèi)是不給出函數(shù)的解析式，而由f(x)的定義域確定函數(shù)f[g(x)]的定義域或由f[g(x)]的定義域確定函數(shù)f(x)的定義域． 第四類(lèi)是已知函數(shù)的定義域，求參數(shù)范圍問(wèn)題，常轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題來(lái)解決． 2．解析式的求法 求函數(shù)解析式的一般方法是待定系數(shù)法和換元法，除此還有代入法、拼湊法和方程組法． (滿分：90分) 一、填空題(每小題6分，共48分) 1

8、．下列各組中的兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)的為_(kāi)_______(填序號(hào))． ①y1＝，y2＝x－5； ②y1＝，y2＝； ③f(x)＝x，g(x)＝； ④f(x)＝，F(xiàn)(x)＝x； ⑤f1(x)＝()2，f2(x)＝2x－5. 2．函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝1的公共點(diǎn)數(shù)目是________． 3．(2011·南京模擬)已知f(x)＝若f(x)＝3，則x的值為_(kāi)_______． 4．(2009·江西改編)函數(shù)y＝的定義域?yàn)開(kāi)_______． 5．設(shè)f：x→x2是從集合A到集合B的映射，如果B＝{1,2}，則A∩B為_(kāi)___________． 6．下列四個(gè)命題：(1)f(x)＝＋有

9、意義；(2)函數(shù)是其定義域到值域的映射；(3)函數(shù)y＝2x(x∈N)的圖象是一條直線；(4)函數(shù)y＝的圖象是拋物線．其中正確的命題個(gè)數(shù)為_(kāi)_______． 7．設(shè)f(x)＝，g(x)＝，則f[g(3)]＝________，g[f(－)]＝________. 8．(2010·陜西)已知函數(shù)f(x)＝若f(f(0))＝4a，則實(shí)數(shù)a＝______. 二、解答題(共42分) 9．(12分)(2011·蘇州期末)(1)若f(x＋1)＝2x2＋1，求f(x)的表達(dá)式； (2)若2f(x)－f(－x)＝x＋1，求f(x)的表達(dá)式； (3)若函數(shù)f(x)＝，f(2)＝1，又方程f(x)＝x有唯一

10、解，求f(x)的表達(dá)式． 10．(14分)某商場(chǎng)促銷(xiāo)飲料，規(guī)定一次購(gòu)買(mǎi)一箱在原價(jià)48元的基礎(chǔ)上打9折，一次購(gòu)買(mǎi)兩箱可打8.5折，一次購(gòu)買(mǎi)三箱可打8折，一次購(gòu)買(mǎi)三箱以上均可享受7.5折的優(yōu)惠．若此飲料只整箱銷(xiāo)售且每人每次限購(gòu)10箱，試用解析法寫(xiě)出顧客購(gòu)買(mǎi)的箱數(shù)x與每箱所支付的費(fèi)用y之間的函數(shù)關(guān)系，并畫(huà)出其圖象． 11．(16分)某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的生產(chǎn)銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)得到下面有關(guān)銷(xiāo)售的統(tǒng)計(jì)規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品x(百臺(tái))，其總成本為G(x)萬(wàn)元，其中固定成本為2萬(wàn)元，并且每生產(chǎn)100臺(tái)的生產(chǎn)成本為1萬(wàn)元(總成本＝固定成本＋生產(chǎn)成本)，銷(xiāo)售收入R(x)(萬(wàn)元)滿足R(x)

11、＝假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷(xiāo)平衡，那么根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律： (1)要使工廠有盈利，產(chǎn)品x應(yīng)控制在什么范圍？ (2)工廠生產(chǎn)多少臺(tái)產(chǎn)品時(shí)盈利最大？此時(shí)每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為多少？ 答案 自主梳理 1．(1)數(shù)集　每一個(gè)元素x　都有惟一的元素y和它對(duì)應(yīng)　定義域　值域　(2)定義域　值域　對(duì)應(yīng)法則　(3)解析法 列表法　圖象法　(4)對(duì)應(yīng)法則　(5)定義域　對(duì)應(yīng)法則　并集　并集　2.(1)都有惟一　映射 自我檢測(cè) 1．③ 解析　對(duì)于題圖①：M中屬于(1,2]的元素，在N中沒(méi)有象，不符合定義； 對(duì)于題圖②：M中屬于(，2]的元素的象，不屬于集合N，因此它不表示M到N的函數(shù)關(guān)系；對(duì)于題

12、圖③：符合M到N的函數(shù)關(guān)系；對(duì)于題圖④：其象不唯一，因此也不表示M到N的函數(shù)關(guān)系． 2．(，1) 3. 4．③ 5．解　函數(shù)y＝lg(ax2－ax＋1)的定義域是R， 即ax2－ax＋1>0恒成立． ①當(dāng)a＝0時(shí)，1>0恒成立； ②當(dāng)a≠0時(shí)，應(yīng)有 ∴0

13、有對(duì)應(yīng)元素，并且(3)中集合P不是數(shù)集，所以(1)和(3)都不是集合P上的函數(shù)．由題意知，(2)正確． 變式遷移1　(1，＋∞) 解析　由題意知，方程－x2＋2x＝k無(wú)實(shí)數(shù)根，即x2－2x＋k＝0無(wú)實(shí)數(shù)根．∴Δ＝4(1－k)<0，∴k>1時(shí)滿足題意． 例2　解題導(dǎo)引　在(2)中函數(shù)f(2x＋1)的定義域?yàn)?0,1)是指x的取值范圍還是2x＋1的取值范圍？f(x)中的x與f(2x＋1)中的2x＋1的取值范圍有什么關(guān)系？ 解　(1)要使函數(shù)有意義， 應(yīng)有即 解得 所以函數(shù)的定義域是{x|－1≤x<1或1

14、，所以f(x)的定義域是(1,3)． 變式遷移2　(－1，－)∪(－，] 解析　由得－1

15、令＋1＝t，則x＝， ∴f(t)＝lg， ∴f(x)＝lg，x∈(1，＋∞)． (2)設(shè)f(x)＝ax＋b，(a≠0) 則3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b ＝ax＋b＋5a＝2x＋17， ∴ ∴a＝2，b＝7，故f(x)＝2x＋7. (3)2f(x)＋f()＝3x，① 把①中的x換成，得 2f()＋f(x)＝，② ①×2－②，得3f(x)＝6x－， ∴f(x)＝2x－(x≠0)． 變式遷移3　解　(1)令t＝＋1， ∴t≥1，x＝(t－1)2. 則f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1， 即f(x)＝x2－1，x∈[

16、1，＋∞)． (2)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)， ∴f(x＋2)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋c， 則f(x＋2)－f(x)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2. ∴　∴ 又f(0)＝3，∴c＝3，∴f(x)＝x2－x＋3. 例4　解題導(dǎo)引　 ①本題可以先確定解析式，然后通過(guò)解方程f(x)＝x來(lái)確定解的個(gè)數(shù)；也可利用數(shù)形結(jié)合，更為簡(jiǎn)潔． ②對(duì)于分段函數(shù)，一定要明確自變量所屬的范圍，以便于選擇與之相應(yīng)的對(duì)應(yīng)法則． ③分段函數(shù)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的分類(lèi)討論思想，相應(yīng)的問(wèn)題處理應(yīng)分段解決． 答案　3 解析　方法一　若x≤0，則f(x)＝x2＋bx＋c. ∵f(－4)＝f(0)，

17、f(－2)＝－2， ∴ 解得∴f(x)＝ 當(dāng)x≤0，由f(x)＝x，得x2＋4x＋2＝x， 解得x＝－2，或x＝－1； 當(dāng)x>0時(shí)，由f(x)＝x，得x＝2. ∴方程f(x)＝x有3個(gè)解． 方法二　由f(－4)＝f(0)且f(－2)＝－2，可得f(x)＝x2＋bx＋c的對(duì)稱(chēng)軸是x＝－2，且頂點(diǎn)為(－2，－2)，于是可得到f(x)的簡(jiǎn)圖(如圖所示)．方程f(x)＝x的解的個(gè)數(shù)就是函數(shù)圖象y＝f(x)與y＝x的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，所以有3個(gè)解． 變式遷移4　(－1，－1) 解析　函數(shù)f(x)＝的圖象如圖所示： f(1－x2)>f(2x)?， 解得－1

18、練習(xí)區(qū) 1．④ 解析?、俣x域不同；②定義域不同；③對(duì)應(yīng)法則不同；④定義域相同，且對(duì)應(yīng)法則相同；⑤定義域不同． 2．0或1 解析　有可能是沒(méi)有交點(diǎn)的，如果有交點(diǎn)，那么對(duì)于x＝1僅有一個(gè)函數(shù)值． 3. 解析　該分段函數(shù)的三段各自的值域?yàn)?－∞，1]，[0,4)，[4，＋∞)，而3∈[0,4)，∴f(x)＝x2＝3，x＝±，而－1

19、殊的映射；(3)該圖象是由離散的點(diǎn)組成的；(4)該圖象是兩個(gè)不同的拋物線的兩部分組成的，不是拋物線．故只有(2)正確． 7．7　 8．2 9．解　(1)令t＝x＋1，則x＝t－1，∴f(t)＝2(t－1)2＋1＝2t2－4t＋3，∴f(x)＝2x2－4x＋3. ………………………………………………………………………………………………(4分) (2)∵2f(x)－f(－x)＝x＋1，用－x去替換式子中的x，得2f(－x)－f(x)＝－x＋1，……(6分) 即有， 解方程組消去f(－x)，得f(x)＝＋1.……………………………………………………(8分) (3)由f(2)＝1得＝1，

20、即2a＋b＝2； 由f(x)＝x得＝x，變形得x(－1)＝0，解此方程得x＝0或x＝，…(10分) 又∵方程有唯一解， ∴＝0，解得b＝1，代入2a＋b＝2得a＝， ∴f(x)＝.……………………………………………………………………………(12分) 10．解　當(dāng)x＝1時(shí)，y＝48×0.9＝43.2； 當(dāng)x＝2時(shí)，y＝48×0.85＝40.8； 當(dāng)x＝3時(shí)，y＝48×0.8＝38.4； 當(dāng)3

21、……………(14分) 11．解　依題意，G(x)＝x＋2，設(shè)利潤(rùn)函數(shù)為f(x)，則 f(x)＝………………………………………………(4分) (1)要使工廠贏利，則有f(x)>0. 當(dāng)0≤x≤5時(shí)，有－0.4x2＋3.2x－2.8>0， 得15時(shí)，有8.2－x>0， 得x<8.2，所以55時(shí)，f(x)<8.2－5＝3.2.…………………………………………………………(15分) 所以當(dāng)工廠生產(chǎn)400臺(tái)產(chǎn)品時(shí)，贏利最大，x＝4時(shí)，每臺(tái)產(chǎn)品售價(jià)為＝2.4(萬(wàn)元/百臺(tái))＝240(元/臺(tái))．…………………………………………………………………………（16分）