《新版浙江版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(講練測)： 專題8.5 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)講》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《新版浙江版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(講練測)： 專題8.5 直線、平面垂直的判定與性質(zhì)講（24頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 1

2、 1 第05節(jié) 直線、平面垂直的判定與性質(zhì) 【考綱解讀】 考 點 考綱內(nèi)容 5年統(tǒng)計 分析預(yù)測 直線、平面垂直的判定與性質(zhì) 掌握公理、判定定理 和性質(zhì)定理. 20xx?浙江文20；理10; 20xx?浙江文6,20；理20; 20xx?浙江文4，18；理17; 20xx?浙江文2.18；理2,17; 20xx?浙江19. 1.以幾何體為載體，考查線

3、線、線面、面面垂直證明. 2.利用垂直關(guān)系及垂直的性質(zhì)進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，處理綜合問題. 3.備考重點： (1) 掌握相關(guān)定義、公理、定理； (2)掌握平行關(guān)系、垂直關(guān)系的常見轉(zhuǎn)換方法. （3）證明垂直關(guān)系，利用轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化成證明線線垂直. 【知識清單】 1.直線與平面垂直的判定與性質(zhì) 定義：如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，那么稱這條直線和這個平面垂直． 定理： 文字語言 圖形語言 符號語言 判定定理 如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直. ?l⊥α 性質(zhì)定理 如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平

4、行. ?a∥b 對點練習(xí)： 【20xx課標(biāo)3，文10】在正方體中，E為棱CD的中點，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 2. 平面與平面垂直的判定與性質(zhì) 定義：兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直． 定理： 文字語言 圖形語言 符號語言 判 定 定 理 如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直. ?β⊥α 性 質(zhì) 定 理 如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面. ?AB⊥α 對點練習(xí)： 【20xx課標(biāo)1，文16】已知三棱

5、錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱錐S-ABC的體積為9，則球O的表面積為________． 【答案】 3. 線面、面面垂直的綜合應(yīng)用 1．直線與平面垂直 (1)判定直線和平面垂直的方法 ①定義法． ②利用判定定理：如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個平面垂直． ③推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個平面． (2)直線和平面垂直的性質(zhì) ①直線垂直于平面，則垂直于平面內(nèi)任意直線． ②垂直于同一個平面的兩條直線平行． ③垂直于同一直線的兩平

6、面平行． 2．斜線和平面所成的角 斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫斜線和平面所成的角． 3．平面與平面垂直 (1)平面與平面垂直的判定方法 ①定義法 ②利用判定定理：如果一個平面過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直． (2)平面與平面垂直的性質(zhì) 如果兩平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面． 對點練習(xí)： 【20xx課標(biāo)1，文18】如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD，且． （1）證明：平面PAB⊥平面PAD； （2）若PA=PD=AB=DC，，且四棱錐P-ABCD的體積為，求該四棱錐的側(cè)面積． 【答案】（1）證明見解析

7、； （2）． 【解析】 （2）在平面內(nèi)作，垂足為． 由（1）知，平面，故，可得平面． 設(shè)，則由已知可得，． 故四棱錐的體積． 由題設(shè)得，故． 從而，，． 可得四棱錐的側(cè)面積為． 【考點深度剖析】 空間中的垂直關(guān)系是高考命題的重點，客觀題、大題都有可能考查，以客觀題形式考查命題的真假判斷，在解答題中以分層設(shè)問或條件形式呈現(xiàn)，以證明問題為主，主要考查線面垂直的判定及性質(zhì)、面面垂直的判定及性質(zhì)，以及運用其進(jìn)一步研究體積、距離、角的問題，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想、運算求解能力及空間想象能力．浙江卷對垂直關(guān)系的考查多于對平行關(guān)系的考查. 【重點難點突破】 考點一 直線與平面垂直

8、的判定與性質(zhì) 【1-1】【南寧市高三摸底】如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點，G是EF的中點.現(xiàn)在沿AE、AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形，使B、C、D三點重合，重合后的點記為H.下列說法錯誤的是__________（將符合題意的選項序號填到橫線上）. ①AG⊥ΔEFH所在平面；②AH⊥ΔEFH所在平面；③HF⊥ΔAEF所在平面；④HG⊥AEF所在平面. 【答案】①③④ 【1-2】【湖北省七市（州）高三3月聯(lián)考】設(shè)直線m與平面α相交但不垂直，則下列說法中正確的是 A. 在平面α內(nèi)有且只有一條直線與直線m垂直 B. 過直線m有且只有一個平面與平面α垂

9、直 C. 與直線m垂直的直線不可能與平面α平行 D. 與直線m平行的平面不可能與平面α垂直 【答案】B 【解析】對于答案A. 在平面α內(nèi)顯然有無數(shù)條直線與直線m垂直，因此說法是錯誤的；對于答案C. 與直線m垂直的直線是可以與平面α平行，因此說法不正確；對于答案D. 與直線m平行的平面也有可能與平面α垂直，因此說法也不正確，故應(yīng)選答案B 【1-3】【【百強(qiáng)校】寧夏石嘴山三中高三下四?！恳阎本€和平面，則下列四個命題正確的是（ ） A．若，，則 B．若，，則 C．若，，則 D．若，，則 【答案】C 【解析】 試題分析

10、：依據(jù)空間線面角的定義可知答案C是正確的,故應(yīng)選C. 【1-4】【黑龍江省海林市朝鮮中學(xué)高考綜合卷一】如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面， ， ， ， ， 分別為， 的中點． （1）求證： 平面； （2）求證： 平面． 【答案】詳見解析 試題解析： 證明：（1）設(shè)與交于點，連接， ． 因為，且， 為的中點， 所以，且， 所以四邊形為平行四邊形，所以為的中點， 又為的中點，所以，又平面， 平面，所以平面．　 （2）因為，且為的中點，所以．　 又平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 所以． 在平行四邊形中，因為，所以四邊形為菱形，所以， 又平面， 平面， ， 所以

11、平面． 【領(lǐng)悟技法】 證明線面垂直的方法：一是線面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性質(zhì)定理；三是平行線法(若兩條平行線中一條垂直于這個平面，則另一條也垂直于這個平面)．解題時，注意線線、線面與面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化；另外，在證明線線垂直時，要注意題中隱含的垂直關(guān)系，如等腰三角形的底邊上的高、中線和頂角的角平分線三線合一、矩形的內(nèi)角、直徑所對的圓周角、菱形的對角線互相垂直、直角三角形(或給出線段長度，經(jīng)計算滿足勾股定理)、直角梯形等等． 【觸類旁通】 【變式1】在四棱錐中，底面是直角梯形，，，側(cè)面底面，若，則（ ） A．當(dāng)時，平面平面 B．當(dāng)時，平面平面 C．當(dāng)，直線與底面都

12、不垂直 D．，使直線與直線垂直 【答案】A 【變式2】如圖，在正方形SG1G2G3中，E，F(xiàn)分別是G1G2，G2G3的中點，D是EF的中點，現(xiàn)沿SE，SF及EF把這個正方形折成一個幾何體，使G1，G2，G3三點重合于點G，這樣，下列五個結(jié)論：（1）SG平面EFG；（2）SD平面EFG；（3）GF平面SEF；（4）EF平面GSD；（5）GD平面SEF. 正確的是（ ） A．（1）和（3） B．（2）和（5） C．（1）和（4） D．（2）和（4） 【答案】C 【解析】 試題分析： 由已知且，所以，（1）正確； 若面，則，由（1）知

13、，在中，這是不可能的，（2）錯； 若面，則,由（1）知，，在中是不可能的，（3）錯； 由（1）知，則；由已知知,且,所以，（4）正確； 若面，則，由（1）知，在中，這是不可能的，（5）錯. 故選C. 綜合點評：(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質(zhì). (2)證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想. (3)線面垂直的性質(zhì)，常用來證明線線垂直. 考點二　平面與平面垂直的判定與性

14、質(zhì) 【2-1】【浙江省杭州市高三4月檢測】設(shè)， 是兩個不同的平面， 是一條直線，給出下列命題： ①若， ，則；②若， ，則.則（ ） A. ①②都是假命題 B. ①是真命題，②是假命題 C. ①是假命題，②是真命題 D. ①②都是真命題 【答案】B 【2-2】已知直線，與平面，，，滿足，，，，則必有（ ） A．且 B.且 C.且 D.且 【答案】D 【解析】因為，，所以.因為,所以,又因為,所以. 【2-3】如圖，棱長為的正方體中

15、，為線段上的動點，則下列結(jié)論錯誤的是 A． B．平面平面 C．的最大值為 D．的最小值為 【答案】C 【2-4】已知正三棱柱ABC－A1B1C1，若過AB1與BC1平行的平面交上底面A1B1C1的邊A1C1于點D． (1)確定D的位置，并證明你的結(jié)論； (2)證明：平面AB1D⊥平面AA1D． 【答案】（1）D為A1C的中點．（2）見解析. 【解析】 (1)D為A1C1的中點，證明如下： 連A1B交AB1于O，連OD． ∵BC1∥平面AB1D，BC1?平面A1

16、BC1， 平面AB1D∩平面A1BC1＝DO， ∴BC1∥DO，∴D為A1C的中點． (2)證明：∵在正三棱柱ABC－A1B1C1中，三角形A1B1C1為正三角形，∴B1D⊥A1C1. 又平面A1B1C1⊥平面ACC1A1于A1C1， ∴B1D⊥平面ACC1A1， 又B1D?平面AB1D， ∴平面AB1D⊥平面AA1D． 【領(lǐng)悟技法】 判定面面垂直的方法：(1)面面垂直的定義．(2)面面垂直的判定定理(a⊥β，aα?α⊥β)． 在已知平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為線面垂直或線線垂直． 轉(zhuǎn)化方法：在一個平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)

17、化為線線垂直． 【觸類旁通】 【變式1】【浙江嘉興市高三上學(xué)期基礎(chǔ)測試】對于空間的三條直線和三個平面，則下列命題中為假命題的是（ ） A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則 【答案】D 【變式2】【【百強(qiáng)?！拷K泰州中學(xué)高三摸底】如圖，正方形所在的平面與△所在的平面交于，平面，且． （1）求證：平面； （2）求證：平面平面． 【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析 試題解析：證明：（1）正方形中，， 又平面，平面， ∴平面． （2）∵平面，且平面， ∴， 又正方形中，，且，平面，平面， ∴平面， 又平面， ∴平面⊥平面． 綜合點評

18、：垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型. （1）證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行. （2）證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直. （3）證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直. 考點三　線面、面面垂直的綜合應(yīng)用 【3-1】如圖，在三棱錐中，平面平面，為等邊三角形， 且，，分別為，的中點． （I）求證：平面； （II）求證：平面平面； （III）求三棱錐的體積． 【答案】（1）見解析；（2）見解析 ；（3）. 又因為平面平面，且平面， 所以平面. 所以平面平面. （Ⅲ）在等腰直角三角形中，， 所以. 所以等邊三角形的面積. 又因為平面，

19、所以三棱錐的體積等于. 又因為三棱錐的體積與三棱錐的體積相等， 所以三棱錐的體積為. 【3-2】如圖，直三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，分別是的中點. （I）證明：平面平面； （II）若直線與平面所成的角為，求三棱錐的體積. 【答案】（1）見解析；（2）. （II）設(shè)的中點為，連接，因為是正三角形，所以，又三棱柱是直三棱柱，所以，因此平面，于是直線與平面所成的角，由題設(shè)知， 所以， 在中，，所以 故三棱錐的體積. 【3-3】如圖M、N、P分別是正方體ABCD—A1B1C1D1的棱AB、BC、DD1上的點． （1）若＝，求證：無論點P在D1D上如何移動

20、，總有BP⊥MN； （2）棱DD1上是否存在這樣的點P，使得平面APC1⊥平面ACC1？證明你的結(jié)論． 【答案】見解析 （2）假設(shè)存在點P，使面APC1⊥面ACC1，過P作PF⊥AC1，則PF⊥面ACC1. 又∵BD⊥面ACC1，∴PF∥BD，而兩平行線PF、BD所確定的平面即為兩相交直線BD、DD1確定的對角面BB1D1D， ∴F為AC1與對角面BB1D1D的交點， 故F為AC1的中點，由PF∥BD，P∈DD1知，P也是DD1的中點． 顯然，當(dāng)P為DD1中點，F(xiàn)為AC1中點時， ∵AP＝PC1，∴PF⊥AC1 又PF∥BD，BD⊥AC，∴PF⊥AC. 從而PF⊥面AC

21、C1，則面APC1⊥面ACC1. 故存在點P，使P為DD1中點時，面APC1⊥面ACC1. 【3-4】【山東卷】 如圖，三棱臺中，分別為的中點. （I）求證：平面； （II）若求證：平面平面. 【答案】見解析. 證法二：在三棱臺中，由為的中點， 可得所以為平行四邊形，可得 在中，分別為的中點， 所以又， 所以平面平面， 因為平面， 所以平面. (II)證明：連接.因為分別為的中點，所以由得，又為的中點，所以因此四邊形是平行四邊形，所以 又，所以. 又平面，，所以平面， 又平面，所以平面平面 【領(lǐng)悟技法】 1. 垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化：

22、 2．在證明兩平面垂直時一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線圖中不存在，則可通過作輔助線來解決．如有平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直．故熟練掌握“線線垂直”、“面面垂直”間的轉(zhuǎn)化條件是解決這類問題的關(guān)鍵． 【觸類旁通】 【變式1】【江蘇省南京市溧水高級中學(xué)高三上學(xué)期期初】如圖，在三棱錐中， ， ， 分別是， 的中點．求證： （1）∥平面； （2）平面⊥平面． 【答案】(1)證明見解析；（2）證明見解析. 試題解析：證明：⑴在中，因為分別是的中點， 所以∥

23、 又?平面， 平面， 所以∥平面； ⑵ 因為，且點是的中點，所以⊥； 又， ∥，所以， 因為?平面， ?平面， ， ?平面， 所以平面⊥平面. 【變式2】【福建省數(shù)學(xué)基地?！肯旅娴囊唤M圖形為一四棱錐 的側(cè)面與底面. (I)請畫出四棱錐的示意圖，是否存在一條側(cè)棱垂直于底面？如果存在的話，指出是示意圖中的哪一條，說明理由. (II)若 面， 為中點，求證：面 面； 【答案】（I）見解析（II）見解析 試題解析

24、： （I）存在一條側(cè)棱，如圖所示． ， . （II）， ， ， ， , . 綜合點評：平行、垂直關(guān)系綜合題的類型及解法 (1)三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化. (2)垂直與平行結(jié)合問題，求解時應(yīng)注意平行、垂直的性質(zhì)及判定的綜合應(yīng)用. (3)垂直與體積結(jié)合問題，在求體積時，可根據(jù)線面垂直得到表示高的線段，進(jìn)而求得體積. 【易錯試題常警惕】 易錯典例：如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，，側(cè)面底面，已知，. 證明 :. 【剖析】錯誤原因在于解答最后時無中生有地造了一個判定定理：如果兩個平面垂直，那么一個平面中任意一條直

25、線一定垂直于另一個平面中的任意一條直線.這個結(jié)論是錯誤的. 【正解】作，垂足為，連結(jié)， 由側(cè)面底面，得底面， 因為，所以， 因為， 所以是等腰直角三角形， 所以， 因為平面，平面，， 所以平面， 又因為平面， 所以. 溫馨提醒：　 (1)證明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理. (2)已知兩平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直. （3）易錯防范： ①在解決直線與平面垂直的問題過程中，要注意直線與平面垂直的定義、判定定理和性質(zhì)定理的聯(lián)合交替使用，即注意線線垂直和線面垂直

26、的互相轉(zhuǎn)化. ②面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個重要依據(jù).我們要作一個平面的一條垂線，通常是先找這個平面的一個垂面，在這個垂面中，作交線的垂線即可. 【學(xué)科素養(yǎng)提升之思想方法篇】 化抽象為具體——數(shù)形結(jié)合思想 數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì).? 數(shù)形結(jié)合的思想，其實質(zhì)是將抽象的

27、數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化.在運用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍. 在解答立體幾何體積、距離等計算問題中，主要存在兩類問題，一是“有圖考圖”，二是 “無圖考圖”，如： 【典例】【云南省師范大學(xué)附屬中學(xué)高三月考二】如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，PA⊥底面ABCD，PA=3

28、，AD=2，AB=4，∠ABC=600. （1）求證：平面PBC⊥平面PAC； （2）若點M,N分別為PA,CD上的點，且PMPA=CNCD=35，在線段PB上是否存在一點E，使得MN//平面ACE；若存在，求出三棱錐P-ACE的體積；若不存在，請說明理由. 【答案】（1）見解析（2）線段PB上存在一點E，使得MN∥平面ACE．VP-ACE= 635 試題解析：（Ⅰ）證明：由已知，得AC=AB2+BC2-2AB×BC×cos∠ABC=23， ∵BC=AD=2，AB=4， 又BC2+AC2=AB2，∴BC⊥AC． 又PA⊥底面ABCD，BC?平面ABCD，則PA⊥BC，

29、∵PA?平面PAC，AC?平面PAC，且PA∩AC=A， ∴BC⊥平面PAC． ∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC． （Ⅱ）線段PB上存在一點E，使得MN∥平面ACE． 證明：在線段PB上取一點E，使PEPB=35，連接ME，AE，EC，MN， ∵PMPA=PEPB=35，∴ME∥AB，且ME=35AB， 又∵CN∥AB，且CN=35AB， ∴CN∥ME，且CN=ME， ∴四邊形CEMN是平行四邊形，∴CE∥MN， 又CE?平面ACE，MN?平面ACE，∴MN∥平面ACE． ∴VP-ACE=VE-PAC=35VB-PAC=15S△PAC?·?BC=15×12×3×23×2=635．