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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 直線與圓錐曲線位置關(guān)系 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用.2.理解數(shù)形結(jié)合的思想． 自主梳理 1．直線與橢圓的位置關(guān)系的判定方法 (1)將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元二次方程，若Δ>0，則直線與橢圓________；若Δ＝0，則直線與橢圓________；若Δ<0，則直線與橢圓________． (2)直線與雙曲線的位置關(guān)系的判定方法 將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立消去y(或x)，得到一個(gè)一元方程ax2＋bx＋c＝0. ①若a≠0，當(dāng)Δ>0時(shí)，直線與雙曲線________；當(dāng)Δ＝0時(shí)，直線與雙曲線________；當(dāng)Δ

2、<0時(shí)，直線與雙曲線________． ②若a＝0時(shí)，直線與漸近線平行，與雙曲線有________交點(diǎn)． (3)直線與拋物線位置關(guān)系的判定方法 將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去y(或x)，得到一個(gè)一元方程ax2＋bx＋c＝0. ①當(dāng)a≠0，用Δ判定，方法同上． ②當(dāng)a＝0時(shí)，直線與拋物線的對稱軸________，只有________交點(diǎn)． 2．已知弦AB的中點(diǎn)，研究AB的斜率和方程 (1)AB是橢圓＋＝1 (a>b>0)的一條弦，M(x0，y0)是AB的中點(diǎn)，則kAB＝______，kAB·kOM＝________.點(diǎn)差法求弦的斜率的步驟是： ①將端點(diǎn)坐標(biāo)代入方程：＋＝1，＋＝

3、1. ②兩等式對應(yīng)相減：－＋－＝0. ③分解因式整理：kAB＝＝－＝－. (2)運(yùn)用類比的手法可以推出：已知AB是雙曲線－＝1的弦，中點(diǎn)M(x0，y0)，則kAB＝________________.已知拋物線y2＝2px (p>0)的弦AB的中點(diǎn)M(x0，y0)，則kAB＝________. 3．弦長公式 直線l：y＝kx＋b與圓錐曲線C：F(x，y)＝0交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)， 則AB＝|x1－x2| ＝ 或AB＝ |y1－y2| ＝ ·. 自我檢測 1．拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，經(jīng)過F且斜率為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A，A

4、K⊥l，垂足為K，則△AKF的面積是________． 2．如果直線y＝kx－1與雙曲線x2－y2＝1沒有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是________________． 3．橢圓＋＝1的一個(gè)焦點(diǎn)為F1，點(diǎn)P在橢圓上，如果線段PF1的中點(diǎn)M在y軸上，那么點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是________． 4．過點(diǎn)的直線l與拋物線y＝－x2交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則·的值為________． 5．經(jīng)過拋物線y2＝4x焦點(diǎn)的直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，且AB＝8，則直線l的傾斜角的大小為________. 探究點(diǎn)一　直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 例1　k為何值時(shí)，直線y＝kx＋2和曲線2x2＋3

5、y2＝6有兩個(gè)公共點(diǎn)？有一個(gè)公共點(diǎn)？沒有公共點(diǎn)？ 變式遷移1　已知拋物線C的方程為x2＝y(tǒng)，過A(0，－1)，B(t,3)兩點(diǎn)的直線與拋物線C沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是________________． 探究點(diǎn)二　圓錐曲線中的弦長問題 例2　如圖所示，直線y＝kx＋b與橢圓＋y2＝1交于A、B兩點(diǎn)，記△AOB的面積為S. (1)求在k＝0,0

6、離心率e＝. (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)設(shè)直線l：y＝x＋m，若l與橢圓相交于P，Q兩點(diǎn)，且PQ等于橢圓的短軸長，求m的值． 探究點(diǎn)三　求參數(shù)的范圍問題 例3　直線m：y＝kx＋1和雙曲線x2－y2＝1的左支交于A、B兩點(diǎn)，直線l過點(diǎn)P(－2,0)和線段AB的中點(diǎn)M，求l在y軸上的截距b的取值范圍． 變式遷移3　在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過點(diǎn)(0，)且斜率為k的直線l與橢圓＋y2＝1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q. (1)求k的取值范圍； (2)設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A、B

7、，是否存在常數(shù)k，使得向量＋與共線？如果存在，求k值；如果不存在，請說明理由． 函數(shù)思想 例　(14分)已知橢圓C的方程為＋＝1 (a>b>0)，雙曲線－＝1的兩條漸近線為l1，l2，過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l，使l⊥l1，又l與l2交于P點(diǎn)，設(shè)l與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)由上至下依次為A，B. (1)當(dāng)l1與l2夾角為60°，雙曲線的焦距為4時(shí)，求橢圓C的方程及離心率； (2)求的最大值． 【答題模板】 解　(1)雙曲線的漸近線為y＝±x，兩漸近線夾角為60°，又<1，∴∠POx＝30°， ∴＝tan 30°＝，∴a＝b.又a2＋b2＝22， ∴3

8、b2＋b2＝4，[2分] ∴b2＝1，a2＝3，∴橢圓C的方程為＋y2＝1， ∴離心率e＝＝.[5分] (2)由已知，l：y＝(x－c)與y＝x聯(lián)立， 解方程組得P.[7分] 設(shè)＝λ，則＝λ，∵F(c,0)，設(shè)A(x0，y0)， 則(x0－c，y0)＝λ， ∴x0＝，y0＝.即A.[10分] 將A點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，得(c2＋λa2)2＋λ2a4＝(1＋λ)2a2c2， 等式兩邊同除以a4，(e2＋λ)2＋λ2＝e2(1＋λ)2，e∈(0,1)，[12分] ∴λ2＝＝－＋3 ≤－2 ＋3＝3－2＝(－1)2， ∴當(dāng)2－e2＝，即e2＝2－時(shí)，λ有最大值－1，即的最大值為

9、－1.[14分] 【突破思維障礙】 最值問題是從動(dòng)態(tài)角度去研究解析幾何中數(shù)學(xué)問題的主要內(nèi)容，一是在準(zhǔn)確把握題意的基礎(chǔ)上，建立函數(shù)、不等式模型，利用二次函數(shù)、三角函數(shù)的有界性、基本不等式解決；二是利用數(shù)形結(jié)合，考慮相切、相交的幾何意義解決． 【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】 不能把轉(zhuǎn)化成向量問題，使得運(yùn)算繁瑣造成錯(cuò)誤，由λ2＝不會求最值或忽視e2－2<0這個(gè)隱含條件． 1．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是解析幾何的重點(diǎn)內(nèi)容之一，也是高考的熱點(diǎn)，這類問題往往與函數(shù)、不等式、三角、向量等知識綜合、交匯考查，而且對綜合能力的考查顯見其中．因此解決此類問題需要有較廣的知識面及較強(qiáng)的解決問題的能力． 2．從題

10、目類型上多見于與弦的中點(diǎn)、弦長、弦所在直線的斜率等有關(guān)的最值問題、參數(shù)范圍問題．基本思路就是直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立消元得到形如ax2＋bx＋c＝0的方程，由韋達(dá)定理得x1＋x2＝，x1x2＝.然后再把要研究的問題轉(zhuǎn)化為用x1＋x2和x1x2去表示．最后，用函數(shù)、不等式等知識加以解決．需要注意的就是要注意對隱含條件的挖掘，比如判別式Δ≥0，圓錐曲線中有關(guān)量的固有范圍等． (滿分：90分) 一、填空題(每小題6分，共48分) 1．已知拋物線y2＝4x，則過點(diǎn)P(－1,1)與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)的直線的條數(shù)是________． 2．(2009·重慶)已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)

11、，焦點(diǎn)為F(1,0)，直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)為(2,2)，則直線l的方程為________． 3．已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值為________． 4．已知直線y＝k(x＋2) (k>0)與拋物線C：y2＝8x相交于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)．若FA＝2FB，則k＝________. 5．斜率為1的直線l與橢圓＋y2＝1相交于A、B兩點(diǎn)，則AB的最大值為________． 6．(2011·鎮(zhèn)江模擬)若直線y＝kx＋1 (k∈R)與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓＋＝1恒有公共點(diǎn)，則t的范圍

12、是_______________________________________________________________． 7．P為雙曲線x2－＝1右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的點(diǎn)，則PM－PN的最大值為________． 8．(2010·全國Ⅱ)已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線為l，過M(1,0)且斜率為的直線與l相交于點(diǎn)A，與C的一個(gè)交點(diǎn)為B，若A＝M，則p＝________. 二、解答題(共42分) 9．(14分)已知拋物線y＝－x2＋3上存在關(guān)于直線x＋y＝0對稱的相異兩點(diǎn)A、B，求AB的長．

13、 10．(14分)(2010·天津)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率e＝，連結(jié)橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4. (1)求橢圓的方程； (2)設(shè)直線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A，B，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－a,0)，點(diǎn)Q(0，y0)在線段AB的垂直平分線上，且·＝4，求y0的值． 11．(14分)(2011·江西)P(x0，y0)(x0≠±a)是雙曲線E：－＝1(a>0，b>0)上一點(diǎn)，M，N分別是雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，直線PM，PN的斜率之積為. (1)求雙曲線的離心率； (2)過雙曲線E的右焦點(diǎn)且斜率為1的直線交雙曲線于A，B兩

14、點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為雙曲線上一點(diǎn)，滿足＝λ＋，求λ的值． 學(xué)案52　直線與圓錐曲線位置關(guān)系 答案 自主梳理 1．(1)相交　相切　相離　(2)①相交　相切　相離　②一個(gè) (3)②平行　一個(gè)　2.(1)－?。?2)　 自我檢測 1．4　2.(－∞，－)∪(，＋∞)　3.± 4．－　5.或π 課堂活動(dòng)區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　用直線方程和圓錐曲線方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)，可以研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，也就是用代數(shù)的方法研究幾何問題，這是解析幾何的重要思想方法．方程組消元后要注意所得方程的二次項(xiàng)系數(shù)是否含有參數(shù)，若含參數(shù)，需按二次項(xiàng)系數(shù)是否為

15、零進(jìn)行分類討論，只有二次項(xiàng)系數(shù)不為零時(shí)，方程才是一元二次方程，后面才可以用判別式Δ的符號判斷方程解的個(gè)數(shù)，從而說明直線與圓錐曲線的位置關(guān)系． 解　由得2x2＋3(kx＋2)2＝6， 即(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0， Δ＝144k2－24(2＋3k2)＝72k2－48. 當(dāng)Δ＝72k2－48>0，即k>或k<－時(shí)，直線和曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)； 當(dāng)Δ＝72k2－48＝0，即k＝或k＝－時(shí)，直線和曲線有一個(gè)公共點(diǎn)； 當(dāng)Δ＝72k2－48<0，即－

16、等基礎(chǔ)知識，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．“設(shè)而不求”是解決直線與圓錐曲線交點(diǎn)問題的基本方法．當(dāng)所求弦為焦點(diǎn)弦時(shí)，可結(jié)合圓錐曲線的定義求解． 解　(1)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x1，b)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x2，b)，由＋y2＝1，解得x1,2＝±2， 所以S＝b|x1－x2|＝2b≤b2＋1－b2＝1. 當(dāng)且僅當(dāng)b＝時(shí)，S取到最大值1. (2)由得(4k2＋1)x2＋8kbx＋4b2－4＝0， Δ＝16(4k2－b2＋1)． ① AB＝|x1－x2|＝· ＝2. ② 又因?yàn)镺到AB的距離d＝＝＝1， 所以b2＝k2＋1. ③ 將③代入②并整理，

17、得4k4－4k2＋1＝0， 解得k2＝，b2＝，代入①式檢查，Δ>0. 故直線AB的方程是：y＝x＋或y＝x－或y＝－x＋或y＝－x－. 變式遷移2　解　(1)設(shè)橢圓方程為＋＝1 (a>b>0)， 則c＝，＝.∴a＝2，b＝1. ∴所求橢圓方程為＋y2＝1. (2)由消去y得關(guān)于x的方程： 5x2＋8mx＋4(m2－1)＝0， 則Δ＝64m2－80(m2－1)>0，解得m2<5.(*) 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1＋x2＝－m， x1x2＝，y1－y2＝x1－x2， ∴PQ＝＝ ＝ ＝2， 解得m2＝，滿足(*)，∴m＝±. 例3　解題導(dǎo)引　直線與圓

18、錐曲線的位置關(guān)系從代數(shù)的角度來看，就是直線方程與圓錐曲線的方程組成的方程組有無解的問題，結(jié)合判別式Δ研究，利用設(shè)而不求與整體代入等技巧與方法，從而延伸出一些復(fù)雜的參數(shù)范圍的研究． 解　由 (x≤－1) 得(k2－1)x2＋2kx＋2＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則，∴1

19、l的方程為y＝kx＋， 代入橢圓方程得＋(kx＋)2＝1， 整理得x2＋2kx＋1＝0.① 直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于 Δ＝8k2－4＝4k2－2>0，解得k<－或k>. 即k的取值范圍為∪. (2)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則＋＝(x1＋x2，y1＋y2)， 由方程①，x1＋x2＝－.② 又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2.③ 而A(，0)，B(0,1)，＝(－，1)． 所以＋與共線等價(jià)于x1＋x2＝－(y1＋y2)， 將②③代入上式，解得k＝. 由(1)知k<－或k>，故沒有符合題意的常數(shù)k. 課后練習(xí)區(qū) 1．3　2.y＝x 3．2

20、 解析　 由拋物線y2＝4x知直線l2為其準(zhǔn)線，焦點(diǎn)為F(1,0)．由拋物線的定義可知?jiǎng)狱c(diǎn)P到直線l2的距離與P到焦點(diǎn)F(1,0)的距離相等，所以P到直線l1的距離與P到焦點(diǎn)F(1,0)的距離之和的最小值為焦點(diǎn)F(1,0)到直線l1的距離(如圖)，則d＝＝2. 4.　5.　6.[1,5)　7.5　8.2 9．解　設(shè)直線AB的方程為y＝x＋b， 由消去y得x2＋x＋b－3＝0，(4分) ∴x1＋x2＝－1. 于是AB的中點(diǎn)M(－，－＋b)，且Δ＝1－4(b－3)>0， 即b<.(7分) 又M(－，－＋b)在直線x＋y＝0上，∴b＝1符合．(10分) ∴x2＋x－2＝0.由弦

21、長公式可得 AB＝＝3.(14分) 10．解　(1)由e＝＝，得3a2＝4c2. 再由c2＝a2－b2，得a＝2b. 由題意可知×2a×2b＝4，即ab＝2. 解方程組得 所以橢圓的方程為＋y2＝1.(4分) (2)由(1)可知A(－2,0)，且直線l的斜率必存在．設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1，y1)，直線l的斜率為k，則直線l的方程為y＝k(x＋2)． 于是A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組 由方程組消去y并整理，得 (1＋4k2)x2＋16k2x＋(16k2－4)＝0. 由根與系數(shù)的關(guān)系，得－2x1＝， 所以x1＝，從而y1＝. 設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，則M的坐標(biāo)為(－，)．(6分

22、) 以下分兩種情況討論： ①當(dāng)k＝0時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(2,0)，線段AB的垂直平分線為y軸，于是＝(－2，－y0)，＝(2，－y0)． 由·＝4，得y0＝±2.(8分) ②當(dāng)k≠0時(shí)，線段AB的垂直平分線的方程為 y－＝－(x＋)． 令x＝0，解得y0＝－. 由＝(－2，－y0)，＝(x1，y1－y0)， ·＝－2x1－y0(y1－y0) ＝＋(＋) ＝＝4， 整理得7k2＝2，故k＝±.所以y0＝±.(13分) 綜上，y0＝±2或y0＝±.(14分) 11．解　(1)由點(diǎn)P(x0，y0)(x0≠±a)在雙曲線－＝1上， 有－＝1. 由題意有·＝，(4分) 可得

23、a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，e＝＝.(7分) (2)聯(lián)立得4x2－10cx＋35b2＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 ① 設(shè)＝(x3，y3)，＝λ＋， 即 (10分) 又C為雙曲線上一點(diǎn)，即x－5y＝5b2，有 (λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2.化簡得 λ2(x－5y)＋(x－5y)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2. ② 又A(x1，y1)，B(x2，y2)在雙曲線上， 所以x－5y＝5b2，x－5y＝5b2. (12分) 由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c) ＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2， ②式可化為λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4. (14分)