2019-2020年人教A版高中數(shù)學必修二3.2.1《直線的點斜式方程》word教案.doc
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2019-2020年人教A版高中數(shù)學必修二3.2.1《直線的點斜式方程》word教案 一、教材分析 直線方程的點斜式給出了根據(jù)已知一個點和斜率求直線方程的方法和途徑.在求直線的方程中,直線方程的點斜式是基本的,直線方程的斜截式、兩點式都是由點斜式推出的.從一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)引入,自然地過渡到本節(jié)課想要解決的問題——求直線的方程問題.在引入過程中,要讓學生弄清直線與方程的一一對應關(guān)系,理解研究直線可以從研究方程及方程的特征入手. 在推導直線方程的點斜式時,根據(jù)直線這一結(jié)論,先猜想確定一條直線的條件,再根據(jù)猜想得到的條件求出直線的方程. 二、教學目標 1.知識與技能 (1)理解直線方程的點斜式、斜截式的形式特點和適用范圍; (2)能正確利用直線的點斜式、斜截式公式求直線方程; (3)體會直線的斜截式方程與一次函數(shù)的關(guān)系. 2.過程與方法 在已知直角坐標系內(nèi)確定一條直線的幾何要素——直線上的一點和直線的傾斜角的基礎(chǔ)上,通過師生探討,得出直線的點斜式方程,學生通過對比理解“截距”與“距離”的區(qū)別. 3.情態(tài)與價值觀 通過讓學生體會直線的斜截式方程與一次函數(shù)的關(guān)系,進一步培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的思想,滲透數(shù)學中普遍存在相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化等觀點,使學生能用聯(lián)系的觀點看問題. 三、教學重點與難點 教學重點:引導學生根據(jù)直線這一結(jié)論探討確定一條直線的條件,并會利用探討出的條件求出直線的方程. 教學難點:在理解的基礎(chǔ)上掌握直線方程的點斜式的特征及適用范圍. 四、課時安排 1課時 五、教學設計 (一)導入新課 思路1.方程y=kx+b與直線l之間存在著什么樣的關(guān)系? 讓學生邊回答,教師邊適當板書.它們之間存在著一一對應關(guān)系,即 (1)直線l上任意一點P(x1,y1)的坐標是方程y=kx+b的解. (2)(x1,y1)是方程y=kx+b的解點P(x1,y1)在直線l上. 這樣好像直線能用方程表示,這節(jié)課我們就來學習、研究這個問題——直線的方程(宣布課題). 思路2.在初中,我們已經(jīng)學習過一次函數(shù),并接觸過一次函數(shù)的圖象,現(xiàn)在,請同學們作一下回顧: 一次函數(shù)y=kx+b的圖象是一條直線,它是以滿足y=kx+b的每一對x、y的值為坐標的點構(gòu)成的.由于函數(shù)式y(tǒng)=kx+b也可以看作二元一次方程,所以我們可以說,這個方程的解和直線上的點也存在這樣的對應關(guān)系.這節(jié)課我們就來學習直線的方程(宣布課題). (二)推進新課、新知探究、提出問題 ①如果把直線當做結(jié)論,那么確定一條直線需要幾個條件?如何根據(jù)所給條件求出直線的方程? ②已知直線l的斜率k且l經(jīng)過點P1(x1,y1),如何求直線l的方程? ③方程導出的條件是什么? ④若直線的斜率k不存在,則直線方程怎樣表示? ⑤k=與y-y1=k(x-x1)表示同一直線嗎? ⑥已知直線l的斜率k且l經(jīng)過點(0,b),如何求直線l的方程? 討論結(jié)果:①確定一條直線需要兩個條件: a.確定一條直線只需知道k、b即可; b.確定一條直線只需知道直線l上兩個不同的已知點. ②設P(x,y)為l上任意一點,由經(jīng)過兩點的直線的斜率公式,得k=,化簡,得y-y1=k(x-x1). ③方程導出的條件是直線l的斜率k存在. ④a.x=0;b.x=x1. ⑤啟發(fā)學生回答:方程k=表示的直線l缺少一個點P1(x1,y1),而方程y-y1=k(x-x1)表示的直線l才是整條直線. ⑥y=kx+b. (三)應用示例 思路1 例1 一條直線經(jīng)過點P1(-2,3),傾斜角α=45,求這條直線方程,并畫出圖形. 圖1 解:這條直線經(jīng)過點P1(-2,3),斜率是k=tan45=1.代入點斜式方程,得y-3=x+2,即x-y+5=0, 這就是所求的直線方程,圖形如圖1所示. 點評:此例是點斜式方程的直接運用,要求學生熟練掌握,并具備一定的作圖能力. 變式訓練 求直線y=-(x-2)繞點(2,0)按順時針方向旋轉(zhuǎn)30所得的直線方程. 解:設直線y=-(x-2)的傾斜角為α,則tanα=-, 又∵α∈[0,180), ∴α=120. ∴所求的直線的傾斜角為120-30=90.∴直線方程為x=2. 例2 如果設兩條直線l1和l2的方程分別是l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,試討論: (1)當l1∥l2時,兩條直線在y軸上的截距明顯不同,但哪些量是相等的?為什么? (2)l1⊥l2的條件是什么? 活動:學生思考:如果α1=α2,則tanα1=tanα2一定成立嗎?何時不成立?由此可知:如果l1∥l2,當其中一條直線的斜率不存在時,則另一條直線的斜率必定不存在.反之,問:如果b1≠b2且k1=k2,則l1與l2的位置關(guān)系是怎樣的?由學生回答,重點說明α1=α2得出tanα1=tanα2的依據(jù). 解:(1)當直線l1與l2有斜截式方程l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2時,直線l1∥l2k1=k2且b1≠b2. (2)l1⊥l2k1k2=-1. 變式訓練 判斷下列直線的位置關(guān)系: (1)l1:y=x+3,l2:y=x-2; (2)l1:y=x,l2:y=-x. 答案:(1)平行;(2)垂直. 思路2 例1 已知直線l1:y=4x和點P(6,4),過點P引一直線l與l1交于點Q,與x軸正半軸交于點R,當△OQR的面積最小時,求直線l的方程. 活動:因為直線l過定點P(6,4),所以只要求出點Q的坐標,就能由直線方程的兩點式寫出直線l的方程. 解:因為過點P(6,4)的直線方程為x=6和y-4=k(x-6), 當l的方程為x=6時,△OQR的面積為S=72; 當l的方程為y-4=k(x-6)時,有R(,0), Q(,), 此時△OQR的面積為S==. 變形為(S-72)k2+(96-4S)k-32=0(S≠72). 因為上述方程根的判別式Δ≥0,所以得S≥40. 當且僅當k=-1時,S有最小值40. 因此,直線l的方程為y-4=-(x-6),即x+y-10=0. 點評:本例是一道有關(guān)函數(shù)最值的綜合題.如何恰當選取自變量,建立面積函數(shù)是解答本題的關(guān)鍵.怎樣求這個面積函數(shù)的最值,學生可能有困難,教師宜根據(jù)學生的實際情況進行啟發(fā)和指導. 變式訓練 如圖2,要在土地ABCDE上劃出一塊長方形地面(不改變方向),問如何設計才能使占地面積最大?并求出最大面積(精確到1 m2)(單位:m). 圖2 解:建立如圖直角坐標系,在線段AB上任取一點P分別向CD、DE作垂線,劃得一矩形土地. ∵AB方程為=1,則設P(x,20-)(0≤x≤30), 則S矩形=(100-x)[80-(20-)] =-(x-5)2+6 000+(0≤x≤30), 當x=5時,y=,即P(5,)時,(S矩形)max=6 017(m2). 例2 設△ABC的頂點A(1,3),邊AB、AC上的中線所在直線的方程分別為x-2y+1=0,y=1,求△ABC中AB、AC各邊所在直線的方程. 活動:為了搞清△ABC中各有關(guān)元素的位置狀況,我們首先根據(jù)已知條件,畫出簡圖3,幫助思考問題. 解:如圖3,設AC的中點為F,AC邊上的中線BF:y=1. 圖3 AB邊的中點為E,AB邊上中線 CE:x-2y+1=0. 設C點坐標為(m,n),則F(). 又F在AC中線上,則=1, ∴n=-1. 又C點在中線CE上,應當滿足CE的方程,則m-2n+1=0. ∴m=-3.∴C點為(-3,-1). 設B點為(a,1),則AB中點E(),即E(,2). 又E在AB中線上,則-4+1=0.∴a=5. ∴B點為(5,1). 由兩點式,得到AB,AC所在直線的方程AC:x-y+2=0,AB:x+2y-7=0. 點評:此題思路較為復雜,應使同學們做完后從中領(lǐng)悟到兩點: (1)中點分式要靈活應用; (2)如果一個點在直線上,則這點的坐標滿足這條直線的方程,這一觀念必須牢牢地樹立起來. 變式訓練 已知點M(1,0),N(-1,0),點P為直線2x-y-1=0上的動點,則|PM|2+|PN|2的最小值為何? 解:∵P點在直線2x-y-1=0上,∴設P(x0,2x0-1). ∴|PM|2+|PN|2=10(x0-)2+≥. ∴最小值為. (四)知能訓練 課本本節(jié)練習1、2、3、4. (五)拓展提升 已知直線y=kx+k+2與以A(0,-3)、B(3,0)為端點的線段相交,求實數(shù)k的取值范圍. 圖4 活動:此題要首先畫出圖形4,幫助我們找尋思路,仔細研究直線y=kx+k+2,我們發(fā)現(xiàn)它可以變?yōu)閥-2=k(x+1),這就可以看出,這是過(-1,2)點的一組直線.設這個定點為P(-1,2). 解:我們設PA的傾斜角為α1,PC的傾斜角為α,PB的傾斜角為α2,且α1<α<α2. 則k1=tanα1<k<k2=tanα2. 又k1==-5,k2==-, 則實數(shù)k的取值范圍是-5<k<-. (六)課堂小結(jié) 通過本節(jié)學習,要求大家: 1.掌握由一點和斜率導出直線方程的方法,掌握直線的點斜式方程,了解直線方程的斜截式是點斜式的特例. 2.引導學生根據(jù)直線這一結(jié)論探討確定一條直線的條件,并會利用探討出的條件求出直線的方程. (七)作業(yè) 習題3.2 A組2、3、5.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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