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2019-2020年人教B版必修3高中數(shù)學2.2.2《方差與標準差》word教學案 【學習導航】 學習要求 1．體會方差與標準差也是對調(diào)查數(shù)據(jù)的一種簡明的描述，要求熟練記憶公式，并能用于生產(chǎn)實際和科學實驗中； 2．體會方差與標準差對數(shù)據(jù)描述中的異同。 【課堂互動】 自學評價 案例 有甲乙兩種鋼筋現(xiàn)從中各抽取一個樣本(如下表)檢查它們的抗拉強度(單位:kg/mm2)，通過計算發(fā)現(xiàn)，兩個樣本的平均數(shù)均為125． 甲 110 120 130 125 120 125 135 125 135 125 乙 115 100 125 130 115 125 125 145 125 145 哪種鋼筋的質(zhì)量較好? 【分析】 在平均數(shù)相同的情況下，觀察上述數(shù)據(jù)表，發(fā)現(xiàn)乙樣本的最小值100低于甲樣本的最小值110，最大值145高于甲樣本的最大值135，這說明乙種鋼筋沒有甲種鋼筋的抗拉強度穩(wěn)定． 在平均數(shù)相同的情況下，比較兩組數(shù)據(jù)的極差能大概判斷它們的穩(wěn)定程度． 極差: ． 從數(shù)據(jù)表上可以看出，乙的極差較大，數(shù)據(jù)較分散;甲的極差小，數(shù)據(jù)較集中，這就說明甲比乙穩(wěn)定． 運用極差對兩組數(shù)據(jù)進行比較，操作簡單方便，但如果兩組數(shù)據(jù)的集中程度差異不大時，就不容易得出結論．這時，我們考慮用更為精確的方法——方差． 在上一課時中，學習了總體平均數(shù)的估計，其中提到平均數(shù)是“最理想”近似值的緣由．同樣我們可以考慮每一抗拉強度與平均抗拉強度的離差，離差越小，穩(wěn)定性就越高． 那么，怎樣來刻畫一組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度呢？ 在上一課時中，設n個實驗值(=1，2，…，n)的近似值為，那么它與這n個實驗值(=1，2，…，n)的離差分別為，，…，．由于上述離差有正有負，故不宜直接相加．可以考慮將各個離差的絕對值相加，研究||+||+…+||取最小值時的值．但由于含絕對值，運算不太方便，所以考慮離差的平方和，即()2+()2+…+()2，當此和最小時，對應的的值作為近似值，因為 ()2+()2+…+()2 =， 所以當時離差的平方和最小，故可用作為表示這個物理量的理想近似值，稱其為這n個數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)或均值，一般記為 ． 在上述過程中，可以發(fā)現(xiàn)， 最小，考慮用與其平均數(shù)的離差的平方和來刻畫一組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度是可行的．即本案例中，可用各次抗拉強度與平均抗拉強度的差的平方和表示．由于比較的兩組數(shù)據(jù)的容量可能不同，因此應將上述平方和除以數(shù)據(jù)的個數(shù)，我們把由此所得的值稱為這組數(shù)據(jù)的方差． 因為方差與原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了離差的程度，我們將方差開方后的值稱為這組數(shù)據(jù)的標準差．標準差也可以刻畫數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度． 一般地，設一組樣本數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為，則稱 為這個樣本的方差，其算術平方根 為樣本的標準差，分別簡稱樣本方差，樣本標準差． 根據(jù)上述方差計算公式可算得甲、乙兩個樣本的方差分別為50和165，故可認為甲種鋼筋的質(zhì)量好于乙種鋼筋． 例2 為了保護學生的視力，教室內(nèi)的日光燈在使用一段時間后必須更換。已知某校使用的100只日光燈在必須換掉前的使用天數(shù)如下，試估計這種日光燈的平均使用壽命和標準差. 天　數(shù) 151 ～ 180 181 ～ 210 211 ～ 240 241 ～ 270 271 ～ 300 301 ～ 330 331 ～ 360 361 ～ 390 燈泡數(shù) 1 11 18 20 25 16 7 2 【分析】用每一區(qū)間內(nèi)的組中值作為相應日光燈的使用壽命，再求平均壽命。 【解】 例3（1）求下列各組數(shù)據(jù)的方差與標準差（結果精確到0.1）： 甲 1 2 3 4 5 6 7 8 9 乙 11 12 13 14 15 16 17 18 19 丙 10 20 30 40 50 60 70 80 90 丁 3 5 7 9 11 13 15 17 19 （2）比較計算結果，各組方差和標準差的關系是什么？ 【解】 例4某市共有50萬戶居民，城市調(diào)查隊按千分之一的比例進行入戶調(diào)查，抽樣調(diào)查的結果如下 家庭人均月收入(元) 工作人員數(shù) 管理人員數(shù) 20 5 60 10 200 50 80 20 40 15 合 計 400 100 (1)一般工作人員家庭人均月收入的估計及其方差的估計； (2)管理人員家庭人均月收入的估計及其方差的估計 (3)平均數(shù)的估計及總體方差的估計 【解】