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1、 1

2、 1 課時規(guī)范練43　橢圓 一、選擇題 1.橢圓的焦點坐標(biāo)為(-5,0)和(5,0),橢圓上一點與兩焦點的距離和是26,則橢圓的方程為(　　) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 答案:A 解析:由題意知a=13,c=5,∴b2=a2-c2=144. 又∵橢圓的焦點在x軸上,∴橢圓方程為=1. 2.設(shè)F1,F2是橢圓E:=1(a>b>0)的左、右焦點,P為直線x

3、=上一點,△F2PF1是底角為30°的等腰三角形,則E的離心率為(　　) A. B. C. D. 答案:C 解析:設(shè)直線x=與x軸交于點M,則∠PF2M=60°, 在Rt△PF2M中,PF2=F1F2=2c,F2M=-c,故cos 60°=,解得,故離心率e=. 3.已知F1,F2是橢圓=1的兩焦點,過點F2的直線交橢圓于A,B兩點.在△AF1B中,若有兩邊之和是10,則第三邊的長度為(　　) A.6 B.5 C.4 D.3 答案:A 解析:根據(jù)橢圓定義,知△AF1B的周長為4a=16, 故所求的第三邊的長度為16-10=6. 4.已知圓(x+2)2+y2=36的圓心為M,

4、設(shè)A為圓上任一點,N(2,0),線段AN的垂直平分線交MA于點P,則動點P的軌跡是(　　) A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線 答案:B 解析:點P在線段AN的垂直平分線上,故|PA|=|PN|. 又AM是圓的半徑, ∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|,由橢圓定義知,動點P的軌跡是橢圓. 5.設(shè)橢圓=1和雙曲線-x2=1的公共焦點分別為F1,F2,P為這兩條曲線的一個交點,則cos∠F1PF2的值為(　　) A. B. C. D.- 答案:B 解析:由題意可知m-2=3+1,解得m=6. 由橢圓與雙曲線的對稱性,不妨設(shè)點P為第一象限內(nèi)的點

5、,F1(0,-2),F2(0,2). 由題意得|PF1|+|PF2|=2,|PF1|-|PF2|=2,|F1F2|=4,解得|PF1|=,|PF2|=. 由余弦定理可得cos∠F1PF2=. 6.(20xx浙江高考)如圖,F1,F2是橢圓C1:+y2=1與雙曲線C2的公共焦點,A,B分別是C1,C2在第二、四象限的公共點.若四邊形AF1BF2為矩形,則C2的離心率是(　　) A. B. C. D.[來源:] 答案:D 解析:橢圓C1中,|AF1|+|AF2|=2a=4,|F1F2|=2c=2. 又∵四邊形AF1BF2為矩形,∴∠F1AF2=90°, +|AF2|2=|F1F

6、2|2,∴|AF1|=2-,|AF2|=2+, ∴在雙曲線C2中,2c=2,2a=|AF2|-|AF1|=2, 故e=,故選D. 二、填空題 7.F1,F2是橢圓=1的左、右兩焦點,P為橢圓的一個頂點,若△PF1F2是等邊三角形,則a2=　　　　　.? 答案:12 解析:∵△PF1F2是等邊三角形,∴2c=a.又∵b=3,∴a2=12. 8.已知橢圓的中心在原點,焦點在y軸上,若其離心率為,焦距為8,則該橢圓的方程是　　　　　.? 答案:=1 9.已知F1為橢圓C:+y2=1的左焦點,直線l:y=x-1與橢圓C交于A,B兩點,那么|F1A|+|F1B|的值為　　　　　.?

7、答案: 解析:設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2),[來源:] 則由消去y整理得3x2-4x=0,解得x1=0,x2=,易得點A(0,-1),B.又點F1(-1,0),因此|F1A|+|F1B|=. 10.已知動點P(x,y)在橢圓=1上,若點A坐標(biāo)為(3,0),||=1,且=0,則||的最小值是　　　　　.? 答案: 解析:∵·=0,∴. ∴||2=||2-||2=||2-1. ∵橢圓右頂點到右焦點A的距離最小, 故||min=2,∴||min=. 11.橢圓=1(a為定值,且a>)的左焦點為F,直線x=m與橢圓相交于點A,B,△FAB的周長的最大值是12,則該橢圓的離心

8、率是　　　　　.? 答案: 解析:如圖所示,設(shè)橢圓右焦點為F1,AB與x軸交于點H, 則|AF|=2a-|AF1|,△ABF的周長為2|AF|+2|AH|=2(2a-|AF1|+|AH|), ∵△AF1H為直角三角形, ∴|AF1|>|AH|,僅當(dāng)|AF1|=|AH|,即F1與H重合時,△AFB的周長最大,即最大周長為2(|AF|+|AF1|)=4a=12, ∴a=3.而b=,∴c=2,離心率e=.[來源:] 三、解答題 12.如圖所示,橢圓=1(a>b>0)的離心率e=,左焦點為F,A,B,C為其三個頂點,直線CF與AB交于D點,求tan∠BDC的值. 解:由e=.

9、 由圖知tan∠DBC=tan∠ABO=, tan∠DCB=tan∠FCO=. tan∠BDC=-tan(∠DBC+∠DCB)=-=-3. 13.已知橢圓C的中心在原點,一個焦點為F(-2,0),且長軸長與短軸長的比是2∶. (1)求橢圓C的方程; (2)設(shè)點M(m,0)在橢圓C的長軸上,點P是橢圓上任意一點.當(dāng)||最小時,點P恰好落在橢圓的右頂點,求實數(shù)m的取值范圍. 解:(1)設(shè)橢圓C的方程為=1(a>b>0). 由題意,得解得a2=16,b2=12. 所以橢圓C的方程為=1. (2)設(shè)P(x,y)為橢圓上的動點,由于橢圓方程為=1,故-4≤x≤4. 因為=(x-m,

10、y), 所以||2=(x-m)2+y2=(x-m)2+12·x2-2mx+m2+12=(x-4m)2+12-3m2. 因為當(dāng)||最小時,點P恰好落在橢圓的右頂點, 即當(dāng)x=4時,||2取得最小值.而x∈[-4,4], 故有4m≥4,解得m≥1. 又點M在橢圓的長軸上,所以-4≤m≤4. 故實數(shù)m的取值范圍是[1,4]. 14.已知橢圓C:=1(a>b>0)的左焦點F及點A(0,b),原點O到直線FA的距離為b. (1)求橢圓C的離心率e; (2)若點F關(guān)于直線l:2x+y=0的對稱點P在圓O:x2+y2=4上,求橢圓C的方程及點P的坐標(biāo). 解:(1)由點F(-ae,0),點

11、A(0,b),及b=a得直線FA的方程為=1,即x-ey+ae=0. ∵原點O到直線FA的距離b=ae, ∴·a=ea.解得e=. (2)(方法一)設(shè)橢圓C的左焦點F關(guān)于直線l:2x+y=0的對稱點為P(x0,y0), 則有解得x0=a,y0=a. ∵P在圓x2+y2=4上,∴=4. ∴a2=8,b2=(1-e2)a2=4. 故橢圓C的方程為=1,點P的坐標(biāo)為. (方法二)∵F關(guān)于直線l的對稱點P在圓O上, 又直線l:2x+y=0經(jīng)過圓O:x2+y2=4的圓心O(0,0), ∴F也在圓O上. 從而+02=4,a2=8,b2=(1-e2)a2=4. 故橢圓C的方程為=1.

12、 ∵F(-2,0)與P(x0,y0)關(guān)于直線l對稱, ∴解得x0=,y0=. 故點P的坐標(biāo)為. 15.(20xx山東高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C的中心在原點O,焦點在x軸上,短軸長為2,離心率為. (1)求橢圓C的方程; (2)A,B為橢圓C上滿足△AOB的面積為的任意兩點,E為線段AB的中點,射線OE交橢圓C于點P.設(shè)=t,求實數(shù)t的值. 解:(1)設(shè)橢圓C的方程為=1(a>b>0), 由題意知解得a=,b=1. 因此橢圓C的方程為+y2=1. (2)當(dāng)A,B兩點關(guān)于x軸對稱時, 設(shè)直線AB的方程為x=m, 由題意-

13、圓方程+y2=1,得|y|=. 所以S△AOB=|m|.解得m2=或m2=.① 又=tt()=t(2m,0)=(mt,0), 因為P為橢圓C上一點,所以=1.② 由①②得t2=4或t2=.又因為t>0,所以t=2或t=. 當(dāng)A,B兩點關(guān)于x軸不對稱時,設(shè)直線AB的方程為y=kx+h. 將其代入橢圓的方程+y2=1, 得(1+2k2)x2+4khx+2h2-2=0, 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 由判別式Δ>0可得1+2k2>h2, 此時x1+x2=-,x1x2=,[來源:] y1+y2=k(x1+x2)+2h=, 所以|AB|= =2. 因為點O到直線AB

14、的距離d=, 所以S△AOB=|AB|d =×2 =|h|. 又S△AOB=,所以|h|=.③ 令n=1+2k2,代入③整理得3n2-16h2n+16h4=0, 解得n=4h2或n=h2, 即1+2k2=4h2或1+2k2=h2.④ 又=tt() =t(x1+x2,y1+y2)=, 因為P為橢圓C上一點, 所以t2=1, 即t2=1.⑤ 將④代入⑤得t2=4或t2=, 又知t>0,故t=2或t=. 經(jīng)檢驗,適合題意. 綜上所得t=2或t=.[來源:] 四、選做題 1.中心為(0,0),一個焦點為F(0,5)的橢圓,截直線y=3x-2所得弦中點的橫坐標(biāo)為,則該

15、橢圓方程是(　　) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 答案:C 解析:c=5,設(shè)橢圓方程為=1, 聯(lián)立方程得 (10a2-450)x2-12(a2-50)x+4(a2-50)-a2(a2-50)=0,由韋達定理:x1+x2==1,a2=75, 所以橢圓方程為=1. 2.如圖,已知過橢圓=1(a>b>0)的左頂點A(-a,0)作直線l交y軸于點P,交橢圓于點Q,若△AOP是等腰三角形,且=2,則橢圓的離心率為　　　　　.? 答案: 解析:由于△AOP為等腰三角形,且∠AOP=90°,故有AO=OP=a,則點P的坐標(biāo)為(0,a),設(shè)點Q的坐標(biāo)為(x,y),=(x,y)

16、-(0,a)=(x,y-a),=(-a,0)-(x,y)=(-a-x,-y), ∵=2, 則有解得即點Q的坐標(biāo)為,將點Q的坐標(biāo)代入橢圓的方程得··=1,解得a2=5b2,即a2=5(a2-c2), ∴,∴e=. 3.已知橢圓=1(a>b>0),點P在橢圓上. (1)求橢圓的離心率; (2)設(shè)A為橢圓的左頂點,O為坐標(biāo)原點.若點Q在橢圓上且滿足|AQ|=|AO|,求直線OQ的斜率的值. 解:(1)因為點P在橢圓上, 故=1,可得.于是e2==1-, 所以橢圓的離心率e=. (2)設(shè)直線OQ的斜率為k,則其方程為y=kx, 設(shè)點Q的坐標(biāo)為(x0,y0),由條件得 消去y0并整理得.① 由|AQ|=|AO|,A(-a,0)及y0=kx0,得(x0+a)2+k2=a2. 整理得(1+k2)+2ax0=0,而x0≠0,故x0=-, 代入①,整理得(1+k2)2=4k2·+4, 由(1)知,故(1+k2)2=k2+4, 即5k4-22k2-15=0,可得k2=5. 所以直線OQ的斜率k=±.