5、已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；
(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；
(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；
(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍．
2．圓錐曲線中常見最值問題及解題方法
(1)兩類最值問題：①涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問題；②求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時(shí)確定與之有關(guān)的一些問題．
(2)兩種常見解法：①幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；②代
6、數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值，最值常用基本不等式法、配方法等求解．
如圖，橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2,1)的距離為.不過原點(diǎn)O的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB被直線OP平分．
(1)求橢圓C的方程；
(2)求△ABP面積取最大值時(shí)直線l的方程．
解：(1)設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為F(－c,0)，則由題意得
得所以橢圓方程為＋＝1.
(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，線段AB的中點(diǎn)為M.
由題意知直線AB的斜率存在且不為零，故可設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋m(m≠0)
7、，
由消去y，整理得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，①
則Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＞0，
所以線段AB的中點(diǎn)M.
因?yàn)镸在直線OP上，所以＝.得m＝0(舍去)或k＝－.
此時(shí)方程①為3x2－3mx＋m2－3＝0，則
Δ＝3(12－m2)＞0，所以|AB|＝·|x1－x2|＝·.
設(shè)點(diǎn)P到直線AB的距離為d，則d＝＝.設(shè)△ABP的面積為S，則
S＝|AB|·d＝·.
其中m∈(－2，0)∪(0,2)．
令u(m)＝(12－m2)(m－4)2，m∈(－2，0)∪(0,2)，
u′(m)＝－4(m－4)(m2－2m－6)
＝－4(m－
8、4)(m－1－)(m－1＋)．
所以當(dāng)且僅當(dāng)m＝1－時(shí)，u(m)取到最大值．即S取到最大值．
綜上，所求直線l的方程為3x＋2y＋2－2＝0.
考點(diǎn)二
定 點(diǎn) 問 題
[例2] (20xx·陜西高考)已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)A(4,0)，且在y軸上截得弦MN的長(zhǎng)為8.
(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；
(2)已知點(diǎn)B(－1,0)，設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，若x軸是∠PBQ的角平分線，證明直線l過定點(diǎn)．
[自主解答]
(1)如圖，設(shè)動(dòng)圓圓心O1(x，y)，由題意，|O1A|＝|O1M|，
當(dāng)O1不在y軸上時(shí)，過O1作O1H⊥MN交MN于H，則
9、H是MN的中點(diǎn)，
∴|O1M|＝，又|O1A|＝，∴＝，
化簡(jiǎn)得y2＝8x(x≠0)．
又當(dāng)O1在y軸上時(shí)，O1與O重合，點(diǎn)O1的坐標(biāo)(0,0)也滿足方程y2＝8x，
∴動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程為y2＝8x.
(2)證明：由題意，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
將y＝kx＋b代入y2＝8x中，得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0，其中Δ＝－32kb＋64>0.
由根與系數(shù)的關(guān)系得，x1＋x2＝，①x1x2＝，②
因?yàn)閤軸是∠PBQ的角平分線，所以＝－，即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，
(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2
10、＋b)(x1＋1)＝0，
2kx1x2＋(k＋b)(x1＋x2)＋2b＝0，③
將①②代入③，得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，
∴k＝－b，此時(shí)Δ>0，∴直線l的方程為y＝k(x－1)，∴直線l過定點(diǎn)(1,0)．
【方法規(guī)律】
圓錐曲線中定點(diǎn)問題的兩種解法
(1)引進(jìn)參數(shù)法：引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系，找到定點(diǎn)．
(2)特殊到一般法：根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān)．
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓＋＝1的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F.設(shè)過點(diǎn)T(t，m)的直線TA、TB
11、與此橢圓分別交于點(diǎn)M(x1，y1)、N(x2，y2)，其中m>0，y1>0，y2<0.
(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足PF2－PB2＝4，求點(diǎn)P的軌跡；
(2)設(shè)t＝9，求證：直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)(其坐標(biāo)與m無關(guān))．
解：由題設(shè)得A(－3,0)，B(3,0)，F(xiàn)(2,0)．
(1)設(shè)點(diǎn)P(x，y)，由PF2＝(x－2)2＋y2，PB2＝(x－3)2＋y2，PF2－PB2＝4，
得(x－2)2＋y2－(x－3)2－y2＝4，化簡(jiǎn)得x＝.故所求點(diǎn)P的軌跡為直線x＝.
(2)證明：由題設(shè)知，直線AT的方程為y＝(x＋3)，直線BT的方程為y＝(x－3)．
點(diǎn)M(x1，y1)滿足解得＝－·，
12、
因?yàn)閤1≠－3，則＝－·，解得x1＝，從而得y1＝.
點(diǎn)N(x2，y2)滿足解得x2＝，y2＝.
若x1＝x2，則由＝及m>0，得m＝2，此時(shí)直線MN的方程為x＝1，過點(diǎn)D(1,0)．
若x1≠x2，則m≠2，直線MD的斜率kMD＝＝，
直線ND的斜率kND＝＝，得kMD＝kND，所以直線MN過D點(diǎn)．
因此，直線MN必過x軸上的點(diǎn)(1,0)．
高頻考點(diǎn)
考點(diǎn)三 圓錐曲線中的定值問題
1．圓錐曲線中的定值問題，是近幾年來高考命題的熱點(diǎn)，多以解答題的形式出現(xiàn)，試題難度較大，多為高檔題．
2．高考中關(guān)于圓錐曲線中的定值問題有以下幾個(gè)命題角度：
(1)求
13、代數(shù)式為定值；
(2)求點(diǎn)到直線的距離為定值；
(3)求某線段長(zhǎng)為定值．
[例3] (20xx·江西高考)橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率e＝，a＋b＝3.
(1)求橢圓C的方程；
(2)如圖所示，A，B，D是橢圓C的頂點(diǎn)，P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，直線DP交x軸于點(diǎn)N，直線AD交BP于點(diǎn)M，設(shè)BP的斜率為k，MN的斜率為m.證明：2m－k為定值．
[自主解答] (1)因?yàn)閑＝＝，所以a＝c，b＝c.
代入a＋b＝3，得c＝，a＝2，b＝1.故橢圓C的方程為＋y2＝1.
(2)證明：法一：因?yàn)锽(2,0)，P不為橢圓頂點(diǎn)，則直線BP的方程為y＝k(x－2)，①把①
14、代入＋y2＝1，
解得P.直線AD的方程為：y＝x＋1.②
①與②聯(lián)立解得M.由D(0,1)，P，N(x,0)三點(diǎn)共線知
＝，解得N.
所以MN的斜率為m＝＝＝，
則2m－k＝－k＝(定值)．
法二：設(shè)P(x0，y0)(x0≠0，x0≠±2)，則k＝，
直線AD的方程為：y＝(x＋2)，直線BP的方程為：y＝(x－2)，
直線DP的方程為：y－1＝x，令y＝0，由于y0≠1，可得N
聯(lián)立解得M，
因此MN的斜率為
m＝＝
＝＝，
所以2m－k＝－
＝
＝
＝
＝(定值)．
圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略
(1)求代數(shù)式為定值．依題意設(shè)條件，得
15、出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式、化簡(jiǎn)即可得出定值；
(2)求點(diǎn)到直線的距離為定值．利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡(jiǎn)、變形求得；
(3)求某線段長(zhǎng)度為定值．利用長(zhǎng)度公式求得解析式，再依據(jù)條件對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)、變形即可求得．
如圖所示，已知點(diǎn)A(1，)是離心率為的橢圓C：＋＝1(a>b>0)上的一點(diǎn)，斜率為的直線BD交橢圓C于B、D兩點(diǎn)，且A、B、D三點(diǎn)不重合．
(1)求橢圓C的方程；
(2)△ABD的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
(3)求證：直線AB、AD斜率之和為定值．
解：(1)由題意，可得e＝＝
16、，＋＝1，a2＝b2＋c2，
解得a＝2，b＝，c＝，所以橢圓C的方程為＋＝1.
(2)設(shè)直線BD的方程為y＝x＋m，D(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得4x2＋2mx＋m2－4＝0，
所以Δ＝－8m2＋64>0，則－2
17、AD，則
kAD＋kAB＝＋＝＋
＝2＋m·，(*)
將(2)中①、②式代入(*)式，整理得2＋m＝0，
即kAD＋kAB＝0.故直線AB、AD斜率之和為定值．
—————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————
2種方法——求定值問題常見的兩種方法
(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；
(2)直接推理、計(jì)算，并在此過程中消去變量，從而得到定值．
4個(gè)重視——求定值、最值等圓錐曲線綜合問題要四重視
(1)重視定義在解題中的作用；
(2)重視平面幾何知識(shí)在解題中的作用；
(3)重視根與系數(shù)的關(guān)系在解題中的作用；
(4)重視曲線的幾何特征與方程的代數(shù)特征在解題中的作用．
5方面考慮——求最值(或范圍)問題需從以下五方面 考慮
見本節(jié)考點(diǎn)一[方法規(guī)律]．
新版【創(chuàng)新方案】高考數(shù)學(xué)理一輪突破熱點(diǎn)題型：第8章 第9節(jié) 圓錐曲線的綜合問題
