《高考數學二輪復習 規(guī)范答題示例2 導數與不等式的恒成立問題 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考數學二輪復習 規(guī)范答題示例2 導數與不等式的恒成立問題 理（2頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、▼▼▼2019屆高考數學復習資料▼▼▼ 規(guī)范答題示例2　導數與不等式的恒成立問題 典例2　(12分)設函數f(x)＝emx＋x2－mx. (1)證明：f(x)在(－∞，0)上單調遞減，在(0，＋∞)上單調遞增； (2)若對于任意x1，x2∈[－1,1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1，求m的取值范圍． 審題路線圖　(1)→→ (2)→→→→→ 規(guī)范解答·分步得分 構建答題模板 (1)證明　f′(x)＝m(emx－1)＋2x.1分 若m≥0，則當x∈(－∞，0)時，emx－1≤0，f′(x)＜0； 當x∈(0，＋∞)時，emx－1≥0，f′(x)＞0. 若m＜0，

2、則當x∈(－∞，0)時，emx－1＞0，f′(x)＜0； 當x∈(0，＋∞)時，emx－1＜0，f′(x)＞0.4分 所以，f(x)在(－∞，0)上單調遞減，在(0，＋∞)上單調遞增.6分 (2)解　由(1)知，對任意的m，f(x)在[－1,0]上單調遞減，在[0,1]上單調遞增， 故f(x)在x＝0處取得最小值． 所以對于任意x1，x2∈[－1,1]，|f(x1)－f(x2)|≤e－1的充要條件是 8分 即① 設函數g(t)＝et－t－e＋1，則g′(t)＝et－1.9分 當t＜0時，g′(t)＜0；當t＞0時，g′(t)＞0. 故g(t)在(－∞，0)上單調遞減，在(0

3、，＋∞)上單調遞增． 又g(1)＝0，g(－1)＝e－1＋2－e＜0，故當t∈[－1,1]時，g(t)≤0. 當m∈[－1,1]時，g(m)≤0，g(－m)≤0，即①式成立；10分 當m＞1時，由g(t)的單調性，得g(m)＞0，即em－m＞e－1； 當m＜－1時，g(－m)＞0，即e－m＋m＞e－1.11分 綜上，m的取值范圍是[－1,1].12分 第一步 求導數：一般先確定函數的定義域，再求f′(x)． 第二步 定區(qū)間：根據f′(x)的符號確定函數的單調區(qū)間． 第三步 尋條件：一般將恒成立問題轉化為函數的最值問題． 第四步 寫步驟：通過函數單調性探求函數最值，對于

4、最值可能在兩點取到的恒成立問題，可轉化為不等式組恒成立． 第五步 再反思：查看是否注意定義域、區(qū)間的寫法、最值點的探求是否合理等. 評分細則　(1)求出導數給1分； (2)討論時漏掉m＝0扣1分；兩種情況只討論正確一種給2分； (3)確定f′(x)符號時只有結論無中間過程扣1分； (4)寫出f(x)在x＝0處取得最小值給1分； (5)無最后結論扣1分； (6)其他方法構造函數同樣給分． 跟蹤演練2　已知函數f(x)＝. (1)求函數f(x)的單調區(qū)間和極值； (2)若對任意的x>1，恒有l(wèi)n(x－1)＋k＋1≤kx成立，求k的取值范圍； (3)證明：＋＋…＋< (n

5、∈N*，n≥2)． (1)解　f′(x)＝－，由f′(x)＝0?x＝1，列表如下： x (0,1) 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x) 單調遞增 極大值 單調遞減 因此函數f(x)的增區(qū)間為(0,1)，減區(qū)間為(1，＋∞)，極大值為f(1)＝1，無極小值． (2)解　因為x>1，ln(x－1)＋k＋1≤kx?≤k?f(x－1)≤k， 所以f(x－1)max≤k，所以k≥1. (3)證明　由(1)可得f(x)＝≤f(x)max＝f(1)＝1?≤1－， 當且僅當x＝1時取等號． 令x＝n2 (n∈N*，n≥2)． 則<1－?<<＝(n≥2)， 所以＋＋…＋<＋＋…＋ ＝＝. 高考數學復習精品 高考數學復習精品