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2019-2020年高三數(shù)學《函數(shù)的奇偶性》教案 鞏固夯實基礎 一、自主梳理 1.奇函數(shù):對于函數(shù)f(x)的定義域內任意一個x,都有f(-x)=-f(x)〔或f(x)+f(-x)=0〕,則稱f(x)為奇函數(shù). 2.偶函數(shù):對于函數(shù)f(x)的定義域內任意一個x,都有f(-x)=f(x)〔或f(x)-f(-x)=0〕,則稱f(x)為偶函數(shù). 3.奇、偶函數(shù)的性質 (1）具有奇偶性的函數(shù),其定義域關于原點對稱(也就是說，函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件是其定義域關于原點對稱). (2)奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱. (3)若奇函數(shù)的定義域包含數(shù)0，則f(0)=0. (4)奇函數(shù)的反函數(shù)也為奇函數(shù). (5)定義在(-∞,+∞)上的任意函數(shù)f(x)都可以唯一表示成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)之和. 二、點擊雙基 1．下面四個結論中，正確命題的個數(shù)是( ） ①偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交 ②奇函數(shù)的圖象一定通過原點 ③偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱 ④既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f(x)=0(x∈R) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:①不對；②不對，因為奇函數(shù)的定義域可能不包含原點；③正確；④不對，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)可以為f(x)=0〔x∈(-a,a)〕. 答案:A 2．已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函數(shù)，那么g(x)=ax3+bx2+cx是( ) A.奇函數(shù) B.偶函數(shù) C.既奇且偶函數(shù) D.非奇非偶函數(shù) 解析:由f(x)為偶函數(shù)，知b=0，有g(x)=ax3+cx(a≠0)為奇函數(shù). 答案:A 3． 若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),在(-∞,0］上是減函數(shù),且f(2)=0,則使得f(x)<0的x的取值范圍是( ) A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(-∞-2)∪(2,+∞) D.(-2,2) 解析：由圖象法可解,由函數(shù)的性質可畫出其圖象如圖所示. 顯然f(x)<0的解集為{x|-20.從而有f(x)=，這時有f(-x)==-f(x),故f(x)為奇函數(shù). (4)∵函數(shù)f(x)的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞),并且當x>0時，-x<0, ∴f(-x)=(-x)［1-(-x)］=-x(1+x)=-f(x)(x>0).當x<0時，-x>0, ∴f(-x)=-x(1-x)=-f(x)(x<0). 故函數(shù)f(x)為奇函數(shù). 講評:(1)分段函數(shù)的奇偶性應分段證明. (2)判斷函數(shù)的奇偶性應先求定義域再化簡函數(shù)解析式. 【例3】 函數(shù)f(x)的定義域為D={x|x≠0},且滿足對于任意x1、x2∈D,有f(x1x2)=f(x1)+f(x2). (1)求f(1)的值； (2)判斷f(x)的奇偶性并證明； (3)如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)，求x的取值范圍. (1)解:令x1=x2=1,有f(11)=f(1)+f(1),解得f(1)=0. (2)證明:令x1=x2=-1,有f［(-1)(-1)］=f(-1)+f(-1).解得f(-1)=0. 令x1=-1,x2=x,有f(-x)=f(-1)+f(x),∴f(-x)=f(x). ∴f(x)為偶函數(shù). (3)解:f(44)=f(4)+f(4)=2,f(164)=f(16)+f(4)=3. ∴f(3x+1)+f(2x-6)≤3,即f［(3x+1)(2x-6)］≤f(64). (*) ∵f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)， ∴(*)等價于不等式組 或 即 ∴30的解集是(a2,b),g(x)>0的解集是(,),>a2,那么f(x)g(x)>0的解集是( ) A.(,) B.(-b,-a2) C.(a2,)∪(-,-a2) D.(,b)∪(-b2,-a2) 提示:f(x)g(x)>0或∴x∈(a2,)∪(-,-a2). 答案:C