《新編浙江版高考數學一輪復習(講練測)： 專題8.5 直線、平面垂直的判定與性質講》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《新編浙江版高考數學一輪復習(講練測)： 專題8.5 直線、平面垂直的判定與性質講（24頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 第05節(jié) 直線、平面垂直的判定與性質 【考綱解讀】 考 點 考綱內容 5年統(tǒng)計 分析預測 直線、平面垂直的判定與性質 掌握公理、判定定理 和性質定理. 20xx?浙江文20；理10; 20xx?浙江文6,20；理20; 20xx?浙江文4，18；理17; 20xx?浙江文2.18；理2,17; 20xx?浙江19. 1.以幾何體為載體，考查線線、線面、面面垂直證明. 2.利用垂直關系及垂直的性質進行適當的轉化，處理綜合問題. 3.備考重點： (1) 掌握相關定義、公理、定理； (2)掌握平行關系、垂直關系的常見轉換方法. （3）證明垂直關系，利

2、用轉化思想，轉化成證明線線垂直. 【知識清單】 1.直線與平面垂直的判定與性質 定義：如果一條直線和一個平面內的任何一條直線都垂直，那么稱這條直線和這個平面垂直． 定理： 文字語言 圖形語言 符號語言 判定定理 如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直. ?l⊥α 性質定理 如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行. ?a∥b 對點練習： 【20xx課標3，文10】在正方體中，E為棱CD的中點，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 2. 平面與平面垂直的判定與性質 定義：兩個平面相交，

3、如果所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直． 定理： 文字語言 圖形語言 符號語言 判 定 定 理 如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直. ?β⊥α 性 質 定 理 如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面. ?AB⊥α 對點練習： 【20xx課標1，文16】已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱錐S-ABC的體積為9，則球O的表面積為________． 【答案】 3. 線面、面面垂直的綜合應

4、用 1．直線與平面垂直 (1)判定直線和平面垂直的方法 ①定義法． ②利用判定定理：如果一條直線與平面內的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個平面垂直． ③推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個平面． (2)直線和平面垂直的性質 ①直線垂直于平面，則垂直于平面內任意直線． ②垂直于同一個平面的兩條直線平行． ③垂直于同一直線的兩平面平行． 2．斜線和平面所成的角 斜線和它在平面內的射影所成的銳角，叫斜線和平面所成的角． 3．平面與平面垂直 (1)平面與平面垂直的判定方法 ①定義法 ②利用判定定理：如果一個平面過另一個平面的一條垂線，

5、則這兩個平面互相垂直． (2)平面與平面垂直的性質 如果兩平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面． 對點練習： 【20xx課標1，文18】如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD，且． （1）證明：平面PAB⊥平面PAD； （2）若PA=PD=AB=DC，，且四棱錐P-ABCD的體積為，求該四棱錐的側面積． 【答案】（1）證明見解析； （2）． 【解析】 （2）在平面內作，垂足為． 由（1）知，平面，故，可得平面． 設，則由已知可得，． 故四棱錐的體積． 由題設得，故． 從而，，． 可得四棱錐的側面積為． 【考點深度剖析

6、】 空間中的垂直關系是高考命題的重點，客觀題、大題都有可能考查，以客觀題形式考查命題的真假判斷，在解答題中以分層設問或條件形式呈現，以證明問題為主，主要考查線面垂直的判定及性質、面面垂直的判定及性質，以及運用其進一步研究體積、距離、角的問題，考查轉化與化歸思想、運算求解能力及空間想象能力．浙江卷對垂直關系的考查多于對平行關系的考查. 【重點難點突破】 考點一 直線與平面垂直的判定與性質 【1-1】【南寧市高三摸底】如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點，G是EF的中點.現在沿AE、AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形，使B、C、D三點重合，重合后的點記為H.下列說法錯

7、誤的是__________（將符合題意的選項序號填到橫線上）. ①AG⊥ΔEFH所在平面；②AH⊥ΔEFH所在平面；③HF⊥ΔAEF所在平面；④HG⊥AEF所在平面. 【答案】①③④ 【1-2】【湖北省七市（州）高三3月聯(lián)考】設直線m與平面α相交但不垂直，則下列說法中正確的是 A. 在平面α內有且只有一條直線與直線m垂直 B. 過直線m有且只有一個平面與平面α垂直 C. 與直線m垂直的直線不可能與平面α平行 D. 與直線m平行的平面不可能與平面α垂直 【答案】B 【解析】對于答案A. 在平面α內顯然有無數條直線與直線m垂直，因此說法是錯誤的；對于答案C. 與直線m垂直

8、的直線是可以與平面α平行，因此說法不正確；對于答案D. 與直線m平行的平面也有可能與平面α垂直，因此說法也不正確，故應選答案B 【1-3】【【百強?！繉幭氖焐饺懈呷滤哪！恳阎本€和平面，則下列四個命題正確的是（ ） A．若，，則 B．若，，則 C．若，，則 D．若，，則 【答案】C 【解析】 試題分析：依據空間線面角的定義可知答案C是正確的,故應選C. 【1-4】【黑龍江省海林市朝鮮中學高考綜合卷一】如圖，在四棱錐中，側面底面， ， ， ， ， 分別為， 的中點． （1）求證： 平面； （2）求證： 平面

9、． 【答案】詳見解析 試題解析： 證明：（1）設與交于點，連接， ． 因為，且， 為的中點， 所以，且， 所以四邊形為平行四邊形，所以為的中點， 又為的中點，所以，又平面， 平面，所以平面．　 （2）因為，且為的中點，所以．　 又平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 所以． 在平行四邊形中，因為，所以四邊形為菱形，所以， 又平面， 平面， ， 所以平面． 【領悟技法】 證明線面垂直的方法：一是線面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性質定理；三是平行線法(若兩條平行線中一條垂直于這個平面，則另一條也垂直于這個平面)．解題時，注意線線、線面與面面關系的相互轉化；

10、另外，在證明線線垂直時，要注意題中隱含的垂直關系，如等腰三角形的底邊上的高、中線和頂角的角平分線三線合一、矩形的內角、直徑所對的圓周角、菱形的對角線互相垂直、直角三角形(或給出線段長度，經計算滿足勾股定理)、直角梯形等等． 【觸類旁通】 【變式1】在四棱錐中，底面是直角梯形，，，側面底面，若，則（ ） A．當時，平面平面 B．當時，平面平面 C．當，直線與底面都不垂直 D．，使直線與直線垂直 【答案】A 【變式2】如圖，在正方形SG1G2G3中，E，F分別是G1G2，G2G3的中點，D是EF的中點，現沿SE，SF及EF把這個正方形折成一個幾何體，使G1，G2，G3三

11、點重合于點G，這樣，下列五個結論：（1）SG平面EFG；（2）SD平面EFG；（3）GF平面SEF；（4）EF平面GSD；（5）GD平面SEF. 正確的是（ ） A．（1）和（3） B．（2）和（5） C．（1）和（4） D．（2）和（4） 【答案】C 【解析】 試題分析： 由已知且，所以，（1）正確； 若面，則，由（1）知，在中，這是不可能的，（2）錯； 若面，則,由（1）知，，在中是不可能的，（3）錯； 由（1）知，則；由已知知,且,所以，（4）正確； 若面，則，由（1）知，在中，這是不可能的，（5）錯. 故選C. 綜合點評

12、：(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質. (2)證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質.因此，判定定理與性質定理的合理轉化是證明線面垂直的基本思想. (3)線面垂直的性質，常用來證明線線垂直. 考點二　平面與平面垂直的判定與性質 【2-1】【浙江省杭州市高三4月檢測】設， 是兩個不同的平面， 是一條直線，給出下列命題： ①若， ，則；②若， ，則.則（ ） A. ①②都是假命題 B. ①是真命題，②是假命題 C. ①是假

13、命題，②是真命題 D. ①②都是真命題 【答案】B 【2-2】已知直線，與平面，，，滿足，，，，則必有（ ） A．且 B.且 C.且 D.且 【答案】D 【解析】因為，，所以.因為,所以,又因為,所以. 【2-3】如圖，棱長為的正方體中，為線段上的動點，則下列結論錯誤的是 A． B．平面平面 C．的最大值為 D．的最小值為 【答案】C 【

14、2-4】已知正三棱柱ABC－A1B1C1，若過AB1與BC1平行的平面交上底面A1B1C1的邊A1C1于點D． (1)確定D的位置，并證明你的結論； (2)證明：平面AB1D⊥平面AA1D． 【答案】（1）D為A1C的中點．（2）見解析. 【解析】 (1)D為A1C1的中點，證明如下： 連A1B交AB1于O，連OD． ∵BC1∥平面AB1D，BC1?平面A1BC1， 平面AB1D∩平面A1BC1＝DO， ∴BC1∥DO，∴D為A1C的中點． (2)證明：∵在正三棱柱ABC－A1B1C1中，三角形A1B1C1為正三角形，∴B1D⊥A1C1. 又平面A1B1C1⊥

15、平面ACC1A1于A1C1， ∴B1D⊥平面ACC1A1， 又B1D?平面AB1D， ∴平面AB1D⊥平面AA1D． 【領悟技法】 判定面面垂直的方法：(1)面面垂直的定義．(2)面面垂直的判定定理(a⊥β，aα?α⊥β)． 在已知平面垂直時，一般要用性質定理進行轉化，轉化為線面垂直或線線垂直． 轉化方法：在一個平面內作交線的垂線，轉化為線面垂直，然后進一步轉化為線線垂直． 【觸類旁通】 【變式1】【浙江嘉興市高三上學期基礎測試】對于空間的三條直線和三個平面，則下列命題中為假命題的是（ ） A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則 【答案】D

16、【變式2】【【百強校】江蘇泰州中學高三摸底】如圖，正方形所在的平面與△所在的平面交于，平面，且． （1）求證：平面； （2）求證：平面平面． 【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析 試題解析：證明：（1）正方形中，， 又平面，平面， ∴平面． （2）∵平面，且平面， ∴， 又正方形中，，且，平面，平面， ∴平面， 又平面， ∴平面⊥平面． 綜合點評：垂直、平行關系證明中應用轉化與化歸思想的常見類型. （1）證明線面、面面平行，需轉化為證明線線平行. （2）證明線面垂直，需轉化為證明線線垂直. （3）證明線線垂直，需轉化為證明線面垂直. 考點三　線面、面面

17、垂直的綜合應用 【3-1】如圖，在三棱錐中，平面平面，為等邊三角形， 且，，分別為，的中點． （I）求證：平面； （II）求證：平面平面； （III）求三棱錐的體積． 【答案】（1）見解析；（2）見解析 ；（3）. 又因為平面平面，且平面， 所以平面. 所以平面平面. （Ⅲ）在等腰直角三角形中，， 所以. 所以等邊三角形的面積. 又因為平面， 所以三棱錐的體積等于. 又因為三棱錐的體積與三棱錐的體積相等， 所以三棱錐的體積為. 【3-2】如圖，直三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，分別是的中點. （I）證明：平面平面； （II）若直線與平面所成的角為

18、，求三棱錐的體積. 【答案】（1）見解析；（2）. （II）設的中點為，連接，因為是正三角形，所以，又三棱柱是直三棱柱，所以，因此平面，于是直線與平面所成的角，由題設知， 所以， 在中，，所以 故三棱錐的體積. 【3-3】如圖M、N、P分別是正方體ABCD—A1B1C1D1的棱AB、BC、DD1上的點． （1）若＝，求證：無論點P在D1D上如何移動，總有BP⊥MN； （2）棱DD1上是否存在這樣的點P，使得平面APC1⊥平面ACC1？證明你的結論． 【答案】見解析 （2）假設存在點P，使面APC1⊥面ACC1，過P作PF⊥AC1，則PF⊥面ACC1.

19、 又∵BD⊥面ACC1，∴PF∥BD，而兩平行線PF、BD所確定的平面即為兩相交直線BD、DD1確定的對角面BB1D1D， ∴F為AC1與對角面BB1D1D的交點， 故F為AC1的中點，由PF∥BD，P∈DD1知，P也是DD1的中點． 顯然，當P為DD1中點，F為AC1中點時， ∵AP＝PC1，∴PF⊥AC1 又PF∥BD，BD⊥AC，∴PF⊥AC. 從而PF⊥面ACC1，則面APC1⊥面ACC1. 故存在點P，使P為DD1中點時，面APC1⊥面ACC1. 【3-4】【山東卷】 如圖，三棱臺中，分別為的中點. （I）求證：平面； （II）若求證：平面平面. 【

20、答案】見解析. 證法二：在三棱臺中，由為的中點， 可得所以為平行四邊形，可得 在中，分別為的中點， 所以又， 所以平面平面， 因為平面， 所以平面. (II)證明：連接.因為分別為的中點，所以由得，又為的中點，所以因此四邊形是平行四邊形，所以 又，所以. 又平面，，所以平面， 又平面，所以平面平面 【領悟技法】 1. 垂直關系的轉化： 2．在證明兩平面垂直時一般先從現有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線圖中不存在，則可通過作輔助線來解決．如有平面垂直時，一般要用性質定理，在一個平面內作交線的垂線，使之轉化為線面垂直，然后進一步轉化為線線垂直．故熟

21、練掌握“線線垂直”、“面面垂直”間的轉化條件是解決這類問題的關鍵． 【觸類旁通】 【變式1】【江蘇省南京市溧水高級中學高三上學期期初】如圖，在三棱錐中， ， ， 分別是， 的中點．求證： （1）∥平面； （2）平面⊥平面． 【答案】(1)證明見解析；（2）證明見解析. 試題解析：證明：⑴在中，因為分別是的中點， 所以∥ 又?平面， 平面， 所以∥平面； ⑵ 因為，且點是的中點，所以⊥； 又， ∥，所以，

22、 因為?平面， ?平面， ， ?平面， 所以平面⊥平面. 【變式2】【福建省數學基地?！肯旅娴囊唤M圖形為一四棱錐 的側面與底面. (I)請畫出四棱錐的示意圖，是否存在一條側棱垂直于底面？如果存在的話，指出是示意圖中的哪一條，說明理由. (II)若 面， 為中點，求證：面 面； 【答案】（I）見解析（II）見解析 試題解析： （I）存在一條側棱，如圖所示． ， . （II）， ， ， ， , . 綜合點評：平行、垂直關系綜合題的類型及解法 (1)三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進行線線、線面、面面垂直間的轉化.

23、 (2)垂直與平行結合問題，求解時應注意平行、垂直的性質及判定的綜合應用. (3)垂直與體積結合問題，在求體積時，可根據線面垂直得到表示高的線段，進而求得體積. 【易錯試題常警惕】 易錯典例：如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，，側面底面，已知，. 證明 :. 【剖析】錯誤原因在于解答最后時無中生有地造了一個判定定理：如果兩個平面垂直，那么一個平面中任意一條直線一定垂直于另一個平面中的任意一條直線.這個結論是錯誤的. 【正解】作，垂足為，連結， 由側面底面，得底面， 因為，所以， 因為， 所以是等腰直角三角形， 所以， 因為平面，平面，， 所以平面， 又因

24、為平面， 所以. 溫馨提醒：　 (1)證明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理. (2)已知兩平面垂直時，一般要用性質定理進行轉化，在一個平面內作交線的垂線，轉化為線面垂直，然后進一步轉化為線線垂直. （3）易錯防范： ①在解決直線與平面垂直的問題過程中，要注意直線與平面垂直的定義、判定定理和性質定理的聯(lián)合交替使用，即注意線線垂直和線面垂直的互相轉化. ②面面垂直的性質定理是作輔助線的一個重要依據.我們要作一個平面的一條垂線，通常是先找這個平面的一個垂面，在這個垂面中，作交線的垂線即可. 【學科素養(yǎng)提升之思想方法篇】 化抽象為具體——數形結合思想

25、 數形結合是一種重要的數學思想方法，包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動和直觀性來闡明數之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數為目的，比如應用函數的圖像來直觀地說明函數的性質；或者是借助于數的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質.? 數形結合的思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化.在運用數形結合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數特征，對數學

26、題目中的條件和結論既分析其幾何意義又分析其代數意義；第二是恰當設參、合理用參，建立關系，由數思形，以形想數，做好數形轉化；第三是正確確定參數的取值范圍. 在解答立體幾何體積、距離等計算問題中，主要存在兩類問題，一是“有圖考圖”，二是 “無圖考圖”，如： 【典例】【云南省師范大學附屬中學高三月考二】如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，PA⊥底面ABCD，PA=3，AD=2，AB=4，∠ABC=600. （1）求證：平面PBC⊥平面PAC； （2）若點M,N分別為PA,CD上的點，且PMPA=CNCD=35，在線段PB上是否存在一點E，使得MN//平面ACE；若存在，求

27、出三棱錐P-ACE的體積；若不存在，請說明理由. 【答案】（1）見解析（2）線段PB上存在一點E，使得MN∥平面ACE．VP-ACE= 635 試題解析：（Ⅰ）證明：由已知，得AC=AB2+BC2-2AB×BC×cos∠ABC=23， ∵BC=AD=2，AB=4， 又BC2+AC2=AB2，∴BC⊥AC． 又PA⊥底面ABCD，BC?平面ABCD，則PA⊥BC， ∵PA?平面PAC，AC?平面PAC，且PA∩AC=A， ∴BC⊥平面PAC． ∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC． （Ⅱ）線段PB上存在一點E，使得MN∥平面ACE． 證明：在線段PB上取一點E，使PEPB=35，連接ME，AE，EC，MN， ∵PMPA=PEPB=35，∴ME∥AB，且ME=35AB， 又∵CN∥AB，且CN=35AB， ∴CN∥ME，且CN=ME， ∴四邊形CEMN是平行四邊形，∴CE∥MN， 又CE?平面ACE，MN?平面ACE，∴MN∥平面ACE． ∴VP-ACE=VE-PAC=35VB-PAC=15S△PAC?·?BC=15×12×3×23×2=635．