《新編浙江版高考數(shù)學一輪復習(講練測)： 專題9.7 拋物線講文》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《新編浙江版高考數(shù)學一輪復習(講練測)： 專題9.7 拋物線講文（16頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 專題9.7 拋物線 考 點 考綱內(nèi)容 5年統(tǒng)計 分析預測 拋物線 (1)了解圓錐曲線的實際背景,了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用. (2)了解拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質(zhì). （4）了解圓錐曲線的簡單應用. (5)理解數(shù)形結(jié)合的思想. 20xx?新課標II. 10; 20xx?新課標I. 10；II.10; 20xx?新課標I. 5； 20xx?新課標I.20;II.5; 20xx?新課標I.20;II.12. 1.考查拋物線的定義； 2.考查拋物線的標準方程，結(jié)合拋物線的基本量之間的關系，利用待定系數(shù)法求解； 3.考查

2、拋物線的幾何性質(zhì)； 4.考查拋物線與雙曲線、橢圓的綜合問題. 5.備考重點： (1)掌握拋物線的定義、標準方程、幾何性質(zhì)； （2）熟練運用方程思想及待定系數(shù)法； （3）利用數(shù)形結(jié)合思想，靈活處理綜合問題. 【知識清單】 1. 拋物線的標準方程及幾何性質(zhì) 圖形 標準方程 y2=2px（p＞0） y2=－2px（p＞0） x2=2py（p＞0） x2=－2py（p＞0） 頂點 O（0，0） 范圍 x≥0， x≤0， y≥0， y≤0， 對稱軸 x軸 y軸 焦點 離心率 e=1 準線方程 焦半

3、徑 對點練習： 【20xx高考新課標1卷】以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A、B兩點,交C的準線于D、E兩點.已知|AB|=,|DE|=,則C的焦點到準線的距離為（ ） (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【答案】B 2. 拋物線的定義及應用 平面內(nèi)與一個定點和一條定直線（不經(jīng)過點）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線． 對點練習： 【20xx山東，文15】在平面直角坐標系xOy中,雙曲線 的右支與焦點為F的拋物線交于A,B兩點,若|AF|+|BF|=4|OF|,則該雙曲線的漸

4、近線方程為 . 【答案】 【解析】 3. 直線和拋物線的位置關系 （1）將直線的方程與拋物線的方程y2=2px（p＞0）聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關于x或y的一元二次方程，其判別式為Δ. 若，直線與拋物線的對稱軸平行或重合，直線與拋物線相交于一點； 若 ①Δ＞0 直線和拋物線相交，有兩個交點； ②Δ＝0直線和拋物線相切，有一個公共點； ③Δ＜0直線和拋物線相離，無公共點． （2）直線與拋物線的相交弦 設直線交拋物線于點兩點，則 == 同理可得 這里的求法通常使用韋達定理，需作以下變形： 對點練習： 【20xx高考江蘇卷】如圖，在平

5、面直角坐標系xOy中，已知直線，拋物線 （1）若直線l過拋物線C的焦點，求拋物線C的方程； （2）已知拋物線C上存在關于直線l對稱的相異兩點P和Q. ①求證：線段PQ的中點坐標為； ②求p的取值范圍. 【答案】（1）（2）①詳見解析，② 【解析】（1）拋物線的焦點為 由點在直線上，得，即 所以拋物線C的方程為 （2）設，線段PQ的中點 因為點P和Q關于直線對稱，所以直線垂直平分線段PQ, 于是直線PQ的斜率為，則可設其方程為 ①由消去得 因為P 和Q是拋物線C上的相異兩點，所以 從而，化簡得. 方程（*）的兩根為，從而 因為在直線上，所以

6、因此，線段PQ的中點坐標為 ②因為在直線上 所以，即 由①知，于是，所以 因此的取值范圍為 【考點深度剖析】 縱觀近幾年的高考試題，高考對拋物線的考查，主要考查以下幾個方面：一是考查拋物線的標準方程，結(jié)合拋物線的定義及拋物線的焦點，利用待定系數(shù)法求解；二是考查拋物線的幾何性質(zhì)，較多地涉及準線、焦點、焦準距等；三是考查直線與拋物線的位置關系問題，綜合性較強，往往與向量結(jié)合，涉及方程組聯(lián)立，根的判別式、根與系數(shù)的關系、弦長問題等，其中，過焦點的直線較多. 選擇題或填空題與橢圓、雙曲線綜合趨勢較強，解答題增多. 【重點難點突破】 考點1 拋物線的標準方程及幾何性質(zhì) 【1-1】已

7、知是拋物線上任意一點，則當點到直線的距離最小時，點與該拋物線的準線的距離是( ) A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】當直線與拋物線相切于點時，到直線的距離最小，把代入 得，由于相切得，因此，此點到準線的距離為. 【1-2】已知拋物線的頂點在原點，焦點在x軸的正半軸上，若拋物線的準線與雙曲線5x2－y2= 20的兩條漸近線圍成的三角形的面積等于，則拋物線的方程為( ) A．y2=4x B．y2=8x C．x2=4y D．x2=8y 【

8、答案】B 【1-3】已知拋物線的準線與圓相切，則的值為( ). A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【解析】圓化為，與圓相切，，即. 【綜合點評】1. 在求拋物線方程時，由于標準方程有四種形式，易混淆，可先根據(jù)題目的條件作出草圖，確定方程的形式，再求參數(shù)p，若不能確定是哪一種形式的標準方程，應寫出四種形式的標準方程來，不要遺漏某一種情況；2. 標準方程中的參數(shù)p的幾何意義是指焦點到準線的距離；p＞0恰恰說明定義中的焦點F不在準線上這一隱含條件；參數(shù)p的幾何意義在解題時常常用到，特別是具體的標準方程中應找到相當于p的值，才易于確定焦點坐

9、標和準線方程. 【領悟技法】 1．涉及拋物線幾何性質(zhì)的問題常結(jié)合圖形思考，通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂點、對稱軸、開口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想解題的直觀性． 2．求拋物線方程應注意的問題 (1)當坐標系已建立時，應根據(jù)條件確定拋物線方程屬于四種類型中的哪一種； (2)要注意把握拋物線的頂點、對稱軸、開口方向與方程之間的對應關系； (3)要注意參數(shù)p的幾何意義是焦點到準線的距離，利用它的幾何意義來解決問題． 【觸類旁通】 【變式一】如圖，過拋物線y2＝2px (p>0)的焦點F的直線l交拋物線于點A、B，交其準線于點C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此

10、拋物線方程為(　　) A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝x 【答案】C 【變式二】【廣西欽州市高三上第一次檢測】拋物線的焦點為，點為該拋物線上的動點，點是拋物線的準線與坐標軸的交點，則的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由題意可知，拋物線的準線方程為x=﹣1，A（﹣1，0）， 過P作PN垂直直線x=﹣1于N， 由拋物線的定義可知PF=PN，連結(jié)PA，當PA是拋物線的切線時，有最小值，則∠APN最大，即∠PAF最大，就是直線PA的斜率最大， 設在P

11、A的方程為：y=k（x+1），所以， 解得：k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0， 所以△=（2k2﹣4）2﹣4k4=0，解得k=±1， 所以∠NPA=45°， =cos∠NPA=． 故選B． 【綜合點評】1、拋物線的定義與方程的形式是解決拋物線幾何性質(zhì)問題時必須要考慮的兩個重要因素． 2、求動點的軌跡方程時，可用定義法列等量關系，化簡求解；也可判斷后，用類似于公式法的待定系數(shù)法求解，但要判斷準確，注意挖掘題目中的隱含條件，防止重、漏解. 考點2 拋物線的定義及應用 【2-1】過拋物線y 2=4x的焦點作直線，交拋物線于A(x1, y 1) ，B(x2, y 2)兩點，如果

12、x1+ x2=6，那么|AB|=（ ） A．8 B．10 C．6 D．4 【答案】A 【解析】由于，因此，根據(jù)焦點弦公式. 【2-2】【浙江省溫州市高三第二次模擬】過拋物線的焦點的直線交該拋物線于，兩點．若（為坐標原點），則_______. 【答案】 【解析】設，則由拋物線的定義可得，則，故，故直線的方程為代入拋物線方程整理可得，則，則，所以，應填答案。 【2-3】【20xx課標II，文12】已知是拋物線的焦點，是上一點，的延長線交軸于點。若為的中點，則 。 【答案】6 【解析】如圖所示，不妨設點M位于第一象限

13、，設拋物線的準線與軸交于點，做與點，與點， 點評：拋物線的定義是聯(lián)系拋物線上的點到焦點距離和到準線距離的橋梁，解題時要注意合理轉(zhuǎn)化． 【綜合點評】 1．已知漸近線方程y＝mx，若焦點位置不明確要分m＝或m＝討論，求離心率值，需要尋求的等式，求離心率取值范圍，需尋求關于的不等式關系，并結(jié)合求． 2．注意數(shù)形結(jié)合思想在處理漸近線夾角，離心率范圍求法中的應用． 【領悟技法】 1．拋物線上的點到焦點距離等于到準線距離，注意轉(zhuǎn)化思想的運用． 2.利用拋物線定義可以解決距離的最大和最小問題，該類問題一般情況下都與拋物線的定義有關．實現(xiàn)由點到點的距離與點到直線的距離的轉(zhuǎn)化． (1)將拋物

14、線上的點到準線的距離轉(zhuǎn)化為該點到焦點的距離，構造出“兩點之間線段最短”，使問題得解． (2)將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離，利用“與直線上所有點的連線中垂線段最短”原理解決． 【觸類旁通】 【變式1】【湖北省部分重點中學高三起點】拋物線的焦點為，過焦點傾斜角為的直線與拋物線相交于兩點兩點，若，則拋物線的方程為 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【變式2】【20xx高考浙江理數(shù)】若拋物線y2=4x上的點M到焦點的距離為10，則M到y(tǒng)軸的距離是_______． 【答案】 【解析】 【綜合點評】利用拋物線定義進行距

15、離轉(zhuǎn)化的同時，要注意平面幾何知識在其中的重大運用． 考點3 直線和拋物線的位置關系 【3-1】20xx課標II，文12】過拋物線的焦點，且斜率為的直線交于點（在軸上方）， 為的準線，點在上且,則到直線的距離為( ) A. B. C. D. 【答案】C 【3-2】【浙江省溫州市高三8月模擬】過拋物線的焦點的直線分別交拋物線于兩點，交直線于點，若，則______________． 【答案】0 【解析】直線是拋物線的準線，如圖設在直線上的射影分別是，，，，，因為，所以，，又，所以． 【3-3】【20xx課標1，文20】設A，B為曲線C：y=上兩點

16、，A與B的橫坐標之和為4． （1）求直線AB的斜率； （2）設M為曲線C上一點，C在M處的切線與直線AB平行，且AMBM，求直線AB的方程． 【答案】（1）1； （2）． 【解析】 將代入得． 當，即時，． 從而． 由題設知，即，解得． 所以直線AB的方程為． 【綜合點評】在解決直線與拋物線位置關系的問題時，其方法類似于直線與橢圓的位置關系．在解決此類問題時，除考慮代數(shù)法外，還應借助平面幾何的知識，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解． 【領悟技法】 .已知過拋物線的焦點F的直線交拋物線于A、B兩點。 設A(x1,y1)，B(x2,y2)，則： ①焦點弦長 ② ③，其中|

17、AF|叫做焦半徑， ④焦點弦長最小值為2p。根據(jù)時，即AB垂直于x軸時，弦AB的長最短，最短值為2p。 【觸類旁通】 【變式一】【20xx北京，理18】已知拋物線C：y2=2px過點P（1，1）.過點（0，）作直線l與拋物線C交于不同的兩點M，N，過點M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點A，B，其中O為原點. （Ⅰ）求拋物線C的方程，并求其焦點坐標和準線方程； （Ⅱ）求證：A為線段BM的中點. 【答案】（Ⅰ）方程為，拋物線C的焦點坐標為（，0），準線方程為.（Ⅱ）詳見解析. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）代入點求得拋物線的方程，根據(jù)方程表示焦點坐標和準線方程；（Ⅱ）設直線l的方

18、程為（），與拋物線方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關系，直線ON的方程為，聯(lián)立求得點 的坐標，證明. 【變式2】【20xx課標3，文20】在直角坐標系xOy中，曲線與x軸交于A，B兩點，點C的坐標為.當m變化時，解答下列問題： （1）能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況？說明理由； （2）證明過A，B，C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值. 【答案】（1）不會；（2）詳見解析 【解析】試題分析：（1）設，由AC⊥BC得；由韋達定理得，矛盾，所以不存在（2）可設圓方程為,因為過，所以 ，令 得，即弦長為3. 令得，所以過A，B，C三點的圓在y軸上截得的弦長為，所以 所以過A，B，C三點的圓在y軸

19、上截得的弦長為定值 解法2：設過A，B，C三點的圓與y軸的另一個交點為D， 由可知原點O在圓內(nèi)，由相交弦定理可得， 又，所以， 所以過A，B，C三點的圓在y軸上截得的弦長為，為定值. 【綜合點評】拋物線弦的中點坐標和方程的兩根之和的密切聯(lián)系是解決中點弦問題的關鍵，方程的思想也是解析幾何的核心思想. 【易錯試題常警惕】 易錯典例：求過點的直線，使它與拋物線僅有一個交點。 易錯分析：對直線和拋物線有一個交點理解有誤以及． 正確解析：1.當所求直線斜率不存在時，即直線垂直軸，因為過點，所以即軸，它正好與拋物線相切。 2.當所求直線斜率為零時，直線為y = 1平行軸，它正好與拋物線

20、只有一個交點。 3.一般地，設所求的過點的直線為,則， 令解得k = ,∴ 所求直線為 綜上，滿足條件的直線為： 溫馨提示：直線和拋物線有一個交點有兩種情況：相切以及平行于對稱軸． 【學科素養(yǎng)提升之思想方法篇】 數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休——數(shù)形結(jié)合思想 我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過:"數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休。""數(shù)"與"形"反映了事物兩個方面的屬性。我們認為，數(shù)形結(jié)合，主要指的是數(shù)與形之間的一一對應關系。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結(jié)合起來，通過"以形助數(shù)"或"以數(shù)解形"即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復雜問題簡單化，抽象問題

21、具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的. 數(shù)形結(jié)合的思想，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化.在運用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對數(shù)學題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當設參、合理用參，建立關系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍. 【典例】【20xx浙江，21】如圖，已知拋物線，點A，，拋物線上的點．過點B作直線AP的垂線，垂足為Q． （Ⅰ）求直線AP斜率的取值范圍； （Ⅱ）求的最大值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 【解析】 （Ⅱ）聯(lián)立直線AP與BQ的方程 解得點Q的橫坐標是，因為|PA|== |PQ|= ，所以|PA||PQ|= 令，因為，所以 f(k)在區(qū)間上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，因此當k=時，取得最大值．