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2019-2020年蘇教版高中數(shù)學(xué)（選修2-1）2.6《曲線與方程》word教案2篇 　　“曲線的方程與方程的曲線”的定義包括兩個(gè)方面：一是曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解———稱為純粹性；二是以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上———稱為完備性．兩者缺一不可，否則就容易導(dǎo)致失誤． 　　例１　方程的曲線是（　?。? 　?。粒畠蓚€(gè)點(diǎn)　　　　　　?。拢粋€(gè)圓 　　Ｃ．一條直線和一個(gè)圓　　Ｄ．兩條射線和一個(gè)圓 　　解析：有不少同學(xué)由原方程直接得或，從而誤選（Ｃ）． 　　以上解法忽視了定義域的限制，因此不符合軌跡的純粹性．事實(shí)上，直線上的點(diǎn)并不都適合該曲線（必須在圓上或圓外才行）．故應(yīng)選（Ｄ）． 　　例2　試求到兩坐標(biāo)軸距離之差恒為2的點(diǎn)的軌跡． 　　解析：設(shè)為軌跡上任意一點(diǎn)，則． 　　當(dāng)，時(shí)，方程為，此時(shí)軌跡為以為端點(diǎn)，斜率為１的兩條射線； 　　當(dāng)時(shí)，方程為，此時(shí)軌跡為以為端點(diǎn)，斜率為的兩條射線； 　　當(dāng)時(shí)，方程為，此時(shí)軌跡為以為端點(diǎn)，斜率為１的兩條射線； 　　當(dāng)時(shí)，方程為，此時(shí)軌跡為以為端點(diǎn)，斜率為的兩條射線．（曲線如右圖） 　　評(píng)注：求軌跡的方程時(shí)，如果在軌跡條件解析化過程中忽視了方程變形的同解性，就可能破壞軌跡的純粹性和完備性．本題易犯以下兩方面的錯(cuò)誤：一、如將方程兩邊平方，化為，即①，再兩邊平方得，即②，從而誤認(rèn)為軌跡為四條直線，就破壞了軌跡的純粹性．這是因?yàn)榉匠挞僦校癁棰诤蟀训膮^(qū)域的一些點(diǎn)也包括進(jìn)去了；二、如果將點(diǎn)到x軸的距離與到y(tǒng)軸的距離誤認(rèn)作y和x，得軌跡方程|，則不但會(huì)破壞軌跡的純粹性，還會(huì)破壞軌跡的完備性———失去軌跡的四條射線，同時(shí)多出兩條線段（即以為端點(diǎn)的兩條線段）． 　　例3　過原點(diǎn)作直線與曲線交于A、B兩點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程． 　　解析：設(shè)直線的方程為，把它代入曲線方程中，得， 　　設(shè)， 　　由根與系數(shù)的關(guān)系知 　　∴，，消去k，得， 　　又由于直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)， 　　所以， 　　解得或． 　　由，得或． 　　從而可得，線段的中點(diǎn)的軌跡方程是（或）． 　　評(píng)注：求軌跡方程時(shí)，一定要清除“多余”，彌補(bǔ)“遺漏”，以保證相應(yīng)軌跡的純粹性與完備性． 精析“曲線與方程” 　　一、曲線與方程的概念 　　1．對(duì)概念的理解 　　平面直角坐標(biāo)系建立以后，平面上的點(diǎn)，M與實(shí)數(shù)對(duì)（x，y）建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)形成了曲線C，與之對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)對(duì)的變化，就形成了方程．這樣，在曲線與方程之間就形成了某種對(duì)應(yīng)關(guān)系．這種對(duì)應(yīng)關(guān)系表現(xiàn)為： 　　如果曲線C上的點(diǎn)與方程的實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系 　?、偾€C上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解； 　?、谝苑匠痰慕鉃樽鴺?biāo)的點(diǎn)都在曲線C上． 　　那么，方程叫做曲線C的方程；曲線C叫做方程的曲線． 　　曲線與方程建立了上述嚴(yán)格的對(duì)應(yīng)關(guān)系后，兩者就成為同一關(guān)系的兩種不同表達(dá)形式．因此，我們就可以通過方程來研究曲線，也可以利用曲線來研究方程，這就是解析幾何處理問題的基本思想———數(shù)與形的統(tǒng)一． 　　注意：在坐標(biāo)系確定以后，曲線被它的方程惟一確定．但曲線的方程不是惟一的，因?yàn)樵谕蛔鴺?biāo)系下，還有同解方程． 　　2．對(duì)概念在兩種觀點(diǎn)下的再認(rèn)識(shí) （1）以軌跡的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)“曲線與方程” 條件①保證了曲線上所有的點(diǎn)都適合條件；條件②保證了適合條件的所有點(diǎn)都在曲線上．前者是說這樣的軌跡具有純粹性，后者是說軌跡具有完備性．①、②同時(shí)成立說明曲線C上符合條件的點(diǎn)既不能多也不能少，純粹性和完備性同時(shí)成立才能保證曲線與方程間的相互轉(zhuǎn)化． （2）以集合的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)“曲線與方程” 設(shè)集合，，條件①說明，條件②說明．若條件①、②同時(shí)成立，則可認(rèn)為既有，又有，從而集合相等，即． 　　二、求曲線的方程的流程圖 　　流程圖可簡(jiǎn)記為： 　　注意：1．建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系．坐標(biāo)系建立得適當(dāng)，可使運(yùn)算過程簡(jiǎn)單，所得的方程也比較簡(jiǎn)單．在實(shí)際解題過程中，應(yīng)充分利用圖形的幾何特性．如中心對(duì)稱圖形，可利用它的對(duì)稱中心作為坐標(biāo)原點(diǎn)；軸對(duì)稱圖形，可以利用它的對(duì)稱軸作為坐標(biāo)軸；條件中若有直角，可考慮將直角的兩直角邊作為坐標(biāo)軸等． 　　2．由條件列出方程．根據(jù)曲線上的點(diǎn)所滿足的條件列出方程是最重要的一環(huán)．應(yīng)認(rèn)真分析題設(shè)條件，綜合利用平面幾何的知識(shí)，列出幾何等式，再利用解析幾何的一些相關(guān)概念、公式、性質(zhì)、定理等將幾何等式坐標(biāo)化，便得曲線的方程，還要將所得方程化簡(jiǎn)，使求得的方程是最簡(jiǎn)單的形式． 　　3．求曲線的方程與求軌跡是有不同要求和區(qū)別的．若是求軌跡，則不僅要求出方程，而且還要說明和討論所求軌跡是什么樣的圖形，在何處等，即圖形的形狀、位置、大小都要加以說明、討論等． 　　三、曲線的交點(diǎn) 求曲線的交點(diǎn)就是求這兩條曲線的方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解．方程組有幾組實(shí)數(shù)解，這兩條曲線就有幾個(gè)交點(diǎn)．若方程組無(wú)實(shí)數(shù)解，那么這兩條曲線就沒有交點(diǎn)．因此兩條曲線有交點(diǎn)的充要條件是由這兩條曲線的方程所組成的方程組有實(shí)數(shù)解． 巧用條件 妙求橢圓方程 已知曲線軌跡為橢圓求其方程時(shí)，常用待定系數(shù)法，在許多情況下，若恪守常規(guī)，常會(huì)導(dǎo)致過程繁瑣，運(yùn)算量增大，但如果對(duì)題目條件合理使用，對(duì)標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行“改造”，?？杀芊本秃?jiǎn)，事半功倍，現(xiàn)舉幾例，尋求橢圓方程的巧妙求法． 一．改造設(shè)法之一：巧設(shè)，避免討論． 例1．求經(jīng)過兩點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程． 分析：由條件，不能確定焦點(diǎn)在軸還是軸上，若直接設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程，需分兩種情況討論，則解答繁瑣；若設(shè)方程為，則包含了上述兩種情況，簡(jiǎn)化了解題過程，有效地避免了討論 解：設(shè)所求橢圓方程為，將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得，解得，，故所求橢圓方程為 點(diǎn)評(píng)：事實(shí)上，中，當(dāng)時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在軸上；當(dāng)時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在軸上． 二．改造設(shè)法之二：利用共焦點(diǎn)橢圓系，巧設(shè)橢圓方程． 例2．求經(jīng)過點(diǎn)且與橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程． 分析：當(dāng)一組橢圓具有某一相同性質(zhì)時(shí)，我們稱之為橢圓系．本題可用共焦點(diǎn)橢圓系方程求解． 解：設(shè)所求橢圓方程為，將M點(diǎn)坐標(biāo)代入得，解得或（舍去），故所求橢圓方程為． 點(diǎn)評(píng)：與橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓系方程為且． 三．改造設(shè)法之三：利用共離心率橢圓系，巧設(shè)橢圓方程． 例3．求經(jīng)過點(diǎn)且與橢圓有相同離心率的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程． 分析：離心率，可由與的比值確定，故一組橢圓中，無(wú)論焦點(diǎn)在軸還是軸上，只要比值相等，它們的離心率就相同．本題可用共離心率橢圓系方程求解． 解：設(shè)所求橢圓方程為或，將M點(diǎn)坐標(biāo)代入得或，解得或，故所求橢圓方程為或． 點(diǎn)評(píng)：與橢圓有相同離心率的橢圓系方程為(焦點(diǎn)在軸上)或（焦點(diǎn)在軸上）． 四．改造求解過程，體會(huì)知識(shí)靈活運(yùn)用． 例4．求焦點(diǎn)為且過點(diǎn)的橢圓方程 常規(guī)解法：設(shè)所求橢圓方程為，則由題意得，消去得，整理得，解得或（舍去，因此時(shí)），于是，故所求橢圓方程為． 改造解法一：設(shè)所求橢圓方程為，由定義得，即，平方整理得，因，則，故所求橢圓方程為． 改造解法二：由題意，所求橢圓與共焦點(diǎn)，則由例題2知，可設(shè)方程為，將點(diǎn)坐標(biāo)代入得，解之得，故所求橢圓方程為． 點(diǎn)評(píng)：常規(guī)解法中聯(lián)立方程組消元后，需要解一個(gè)4次方程，運(yùn)算量較大，且容易出錯(cuò)；而改造解法中，法一巧妙地運(yùn)用定義，避免了繁瑣的運(yùn)算，是一種可取的好方法；法二則運(yùn)用共焦點(diǎn)橢圓系，簡(jiǎn)化了求解過程，也很巧妙