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2019-2020年人教版高中數(shù)學(xué)必修二教案：2-2-2 平面與平面平行的判定 項目 內(nèi)容 課題 2.2.2 平面與平面平行的判定 2.2.4 平面與平面平行的性質(zhì) （1課時） 修改與創(chuàng)新 教學(xué) 目標(biāo) 1.通過圖形探究平面與平面平行的判定定理及其性質(zhì)定理. 2.熟練掌握平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用. 3.進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力,以及邏輯思維能力. 教學(xué)重、 難點 教學(xué)重點:平面與平面平行的判定與性質(zhì). 教學(xué)難點:平面與平面平行的判定. 教學(xué) 準(zhǔn)備 多媒體課件 教學(xué)過程 導(dǎo)入新課 三角板的一條邊所在直線與桌面平行，這個三角板所在的平面與桌面平行嗎？三角板的兩條邊所在直線分別與桌面平行，情況又如何呢？下面我們討論平面與平面平行的判定問題. 提出問題 ①回憶空間兩平面的位置關(guān)系. ②欲證線面平行可轉(zhuǎn)化為線線平行，欲判定面面平行可如何轉(zhuǎn)化？ ③找出恰當(dāng)空間模型加以說明. ④用三種語言描述平面與平面平行的判定定理. ⑤應(yīng)用面面平行的判定定理應(yīng)注意什么？ ⑥利用空間模型探究：如果兩個平面平行，那么一個平面內(nèi)的直線與另一個平面內(nèi)的直線具有什么位置關(guān)系？ ⑦回憶線面平行的性質(zhì)定理，結(jié)合模型探究面面平行的性質(zhì)定理. ⑧用三種語言描述平面與平面平行的性質(zhì)定理. ⑨應(yīng)用面面平行的性質(zhì)定理的難點在哪里？ ⑩應(yīng)用面面平行的性質(zhì)定理口訣是什么？ 活動：先讓學(xué)生動手做題后再回答，經(jīng)教師提示、點撥，對回答正確的學(xué)生及時表揚，對回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的思路. 問題①引導(dǎo)學(xué)生回憶兩平面的位置關(guān)系. 問題②面面平行可轉(zhuǎn)化為線面平行. 問題③借助模型鍛煉學(xué)生的空間想象能力. 問題④引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行語言轉(zhuǎn)換. 問題⑤引導(dǎo)學(xué)生找出應(yīng)用平面與平面平行的判定定理容易忽視哪個條件. 問題⑥引導(dǎo)學(xué)生畫圖探究，注意考慮問題的全面性. 問題⑦注意平行與異面的區(qū)別. 問題⑧引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行語言轉(zhuǎn)換. 問題⑨作輔助面. 問題⑩引導(dǎo)學(xué)生自己總結(jié)，把握面面平行的性質(zhì). 討論結(jié)果：①如果兩個平面沒有公共點，則兩平面平行若α∩β=,則α∥β. 如果兩個平面有一條公共直線，則兩平面相交若α∩β=AB,則α與β相交. 兩平面平行與相交的圖形表示如圖1. 圖1 ②由兩個平面平行的定義可知：其中一個平面內(nèi)的所有直線一定都和另一個平面平行.這是因為在這些直線中，如果有一條直線和另一平面有公共點，這點也必是這兩個平面的公共點，那么這兩個平面就不可能平行了. 另一方面，若一個平面內(nèi)所有直線都和另一個平面平行，那么這兩個平面平行，否則，這兩個平面有公共點，那么在一個平面內(nèi)通過這點的直線就不可能平行于另一個平面. 由此將判定兩個平面平行的問題轉(zhuǎn)化為一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行的問題，但事實上判定兩個平面平行的條件不需要一個平面內(nèi)的所有直線都平行于另一平面，到底要多少條直線（且直線與直線應(yīng)具備什么位置關(guān)系）與另一面平行，才能判定兩個平面平行呢？ ③如圖2,如果一個平面內(nèi)有一條直線與另一個平面平行，兩個平面不一定平行. 圖2 例如：AA′平面AA′D′D,AA′∥平面DCC′D′;但是,平面AA′D′D∩平面DCC′D′=DD′. 如圖3,如果一個平面內(nèi)有兩條直線與另一個平面平行，兩個平面也不一定平行. 圖3 例如：AA′平面AA′D′D,EF平面AA′D′D,AA′∥平面DCC′D′,EF∥平面DCC′D′;但是,平面AA′D′D∩平面DCC′D′=DD′. 如圖4,如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面一定平行. 圖4 例如：A′C′平面A′B′C′D′,B′D′平面A′B′C′D′,A′C′∥平面ABCD,B′D′∥平面ABCD;直線A′C′與直線B′D′相交. 可以判定,平面A′B′C′D′∥平面ABCD. ④兩個平面平行的判定定理： 如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行. 以上是兩個平面平行的文字語言，另外面面平行的判定定理的符號語言為： 若aα，bα，a∩b=A,且a∥α,b∥β，則α∥β. 圖形語言為：如圖5, 圖5 ⑤利用判定定理證明兩個平面平行，必須具備： (Ⅰ)有兩條直線平行于另一個平面; (Ⅱ)這兩條直線必須相交. 尤其是第二條學(xué)生容易忽視，應(yīng)特別強調(diào). ⑥如圖6,借助長方體模型，我們看到，B′D′所在的平面A′C′與平面AC平行，所以B′D′與平面AC沒有公共點.也就是說，B′D′與平面AC內(nèi)的所有直線沒有公共點.因此，直線B′D′與平面AC內(nèi)的所有直線要么是異面直線，要么是平行直線. 圖6 ⑦直線與平面平行的性質(zhì)定理用文字語言表示為： 如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行. 因為，直線B′D′與平面AC內(nèi)的所有直線要么是異面直線，要么是平行直線，只要過B′D′作平面BDD′B′與平面AC相交于直線BD，那么直線B′D′與直線BD平行. 如圖7. 圖7 ⑧兩個平面平行的性質(zhì)定理用文字語言表示為： 如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行. 兩個平面平行的性質(zhì)定理用符號語言表示為：a∥b. 兩個平面平行的性質(zhì)定理用圖形語言表示為：如圖8. 圖8 ⑨應(yīng)用面面平行的性質(zhì)定理的難點是：過某些點或直線作一個平面. ⑩應(yīng)用線面平行性質(zhì)定理的口訣：“見到面面平行，先過某些直線作兩個平面的交線.” 應(yīng)用示例 例1 已知正方體ABCD—A1B1C1D1，如圖9,求證：平面AB1D1∥平面BDC1. 圖9 活動：學(xué)生自己思考或討論，再寫出正確的答案.教師在學(xué)生中巡視學(xué)生的解答，發(fā)現(xiàn)問題及時糾正,并及時評價. 證明：∵ABCD—A1B1C1D1為正方體， ∴D1C1∥A1B1,D1C1=A1B1. 又∵AB∥A1B1,AB=A1B1, ∴D1C1∥AB,D1C1=AB. ∴四邊形ABC1D1為平行四邊形. ∴AD1∥BC1. 又AD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1， ∴BC1∥平面AB1D1. 同理，BD∥平面AB1D1. 又BD∩BC1=B，∴平面AB1D1∥平面BDC1. 變式訓(xùn)練 如圖10,在正方體ABCD—EFGH中，M、N、P、Q、R分別是EH、EF、BC、CD、AD的中點，求證：平面MNA∥平面PQG. 圖10 證明：∵M(jìn)、N、P、Q、R分別是EH、EF、BC、CD、AD的中點，∴MN∥HF,PQ∥BD.∵BD∥HF, ∴MN∥PQ. ∵PR∥GH,PR=GH;MH∥AR,MH=AR,∴四邊形RPGH為平行四邊形，四邊形ARHM為平行四邊形. ∴AM∥RH,RH∥PG.∴AM∥PG. ∵M(jìn)N∥PQ,MN平面PQG,PQ平面PQG,∴MN∥平面PQG. 同理可證，AM∥平面PQG.又直線AM與直線MN相交， ∴平面MNA∥平面PQG. 點評：證面面平行，通常轉(zhuǎn)化為證線面平行，而證線面平行又轉(zhuǎn)化為證線線平行，所以關(guān)鍵是證線線平行. 例2 證明兩個平面平行的性質(zhì)定理. 解：如圖11,已知平面α、β、γ滿足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,求證:a∥b. 圖11 證明：∵平面α∥平面β, ∴平面α和平面β沒有公共點. 又aα，bβ, ∴直線a、b沒有公共點. 又∵α∩γ=a，β∩γ=b, ∴aγ，bγ.∴a∥b. 變式訓(xùn)練 如果兩個平面分別平行于第三個平面，那么這兩個平面互相平行. 解：已知α∥β，γ∥β，求證：α∥γ. 證明：如圖12，作兩個相交平面分別與α、β、γ交于a、c、e和b、d、f, 圖12 . 知能訓(xùn)練 已知：a、b是異面直線，a平面α,b平面β，a∥β，b∥α. 求證：α∥β. 證明：如圖13,在b上任取點P，顯然Pa.于是a和點P確定平面γ，且γ與β有公共點P. 圖13 設(shè)γ∩β=a′，∵a∥β，∴a′∥a.∴a′∥α. 這樣β內(nèi)相交直線a′和b都平行于α，∴α∥β. 拓展提升 1.如圖14，兩條異面直線AB、CD與三個平行平面α、β、γ分別相交于A、E、B及C、F、D，又AD、BC與平面的交點為H、G. 圖14 求證：EHFG為平行四邊形. 證明：AC∥EG.同理,AC∥HF. EG∥HF.同理,EH∥FG.故EHFG是平行四邊形. 課堂小結(jié) 知識總結(jié)：利用面面平行的判定定理和面面平行的性質(zhì)證明線面平行. 方法總結(jié)：見到面面平行,利用面面平行的性質(zhì)定理轉(zhuǎn)化為線線平行,本節(jié)是“轉(zhuǎn)化思想”的典型素材. 作業(yè) 課本習(xí)題2.2 A組7、8. 板書設(shè)計 教學(xué)反思