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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 學(xué)案76　不等式選講 (三)算術(shù)—幾何平均不等式與柯西不等式的應(yīng)用 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.理解二元柯西不等式的幾種不同形式.2.掌握兩個(gè)或三個(gè)正數(shù)的算術(shù)—幾何平均不等式.3.會(huì)用兩個(gè)或三個(gè)正數(shù)的算術(shù)—幾何平均不等式、柯西不等式求一些特定函數(shù)的最值． 自主梳理 1．算術(shù)——幾何平均不等式 (1)如果a，b>0，那么____________，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立． (2)如果a，b，c>0，那么________________，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，等號(hào)成立． (3)對(duì)于n個(gè)正數(shù)a1，a2，…，an，它們的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，即≥，當(dāng)且僅

2、當(dāng)__________________時(shí)等號(hào)成立． 2．柯西不等式 (1)二維形式：若a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，則 (a2＋b2)(c2＋d2)≥____________，當(dāng)且僅當(dāng)__________時(shí)，等號(hào)成立． (2)向量形式：設(shè)α、β是平面上的兩個(gè)向量，則__________________≥|α，β|，當(dāng)且僅當(dāng)α，β共線時(shí)等號(hào)成立． 3．三角形不等式 設(shè)x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，那么 ＋≥. 自我檢測(cè) 1．若x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝s，xy＝p，則下列命題中正確的序號(hào)是________． ①當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，s有最小值2； ②當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，

3、p有最大值； ③當(dāng)且僅當(dāng)p為定值時(shí)，s有最小值2； ④若s為定值，則當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，p有最大值. 2．若x，y∈R，且滿足x＋3y＝2，則3x＋27y＋1的最小值是________． 3．(2011·湖南)設(shè)x，y∈R，且xy≠0，則(x2＋)(＋4y2)的最小值為________． 4．函數(shù)y＝3＋3x＋(x<0)的最大值為________． 5．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，則a－b的取值范圍為______________． 探究點(diǎn)一　利用柯西不等式求最值 例1 已知x，y，a，b∈R＋，且＋＝1，求x＋y的最小值． 變式遷移1 若2

4、x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值． 探究點(diǎn)二　利用算術(shù)—幾何平均不等式求最值 例2 如圖(1)，將邊長(zhǎng)為1的正六邊形鐵皮的六個(gè)角各切去一個(gè)全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個(gè)無(wú)蓋的正六棱柱容器(圖(2))．當(dāng)這個(gè)正六棱柱容器的底面邊長(zhǎng)為多少時(shí)，容積最大，并求出最大容積． 變式遷移2 用一塊鋼錠燒鑄一個(gè)厚度均勻，且表面積為2平方米的正四棱錐形有蓋容器(如圖)，設(shè)容器高為h米，蓋子邊長(zhǎng)為a米． (1)求a關(guān)于h的解析式； (2)設(shè)容器的容積為V立方米，則當(dāng)h為何值時(shí)，V最大？求出V的

5、最大值．(求解本題時(shí)，不計(jì)容器厚度)． 探究點(diǎn)三　不等式的證明 例3 (1)已知a、b、c為正數(shù)，且滿足acos2θ＋bsin2θ

6、柯西不等式證明不等式和求最值時(shí)，要注意與柯西不等式的一般形式比較，根據(jù)需要，構(gòu)造“積和方”或“方和積”．柯西不等式等號(hào)成立的條件比較特殊，要牢記． 2．應(yīng)用算術(shù)—幾何平均不等式求最值，要積極創(chuàng)造條件，合理拆添項(xiàng)或配湊因式是常用的解題技巧，而拆與湊的前提在于“和定積最大，積定和最小”，注意滿足“一正二定三相等”三個(gè)條件，缺一不可． 3．利用不等式解決實(shí)際問題，首先要認(rèn)真審題，分清題意，建立合理的不等式模型或函數(shù)模型，最終通過解不等式或算術(shù)—幾何平均不等式實(shí)施解題． (滿分：90分) 一、填空題(每小題6分，共48分) 1．若x>1，則函數(shù)y＝x＋＋的最小值為________．

7、 2．函數(shù)y＝(x<0)的值域是________． 3．函數(shù)y＝x2(－2x)(0≤x≤)的最大值為_____________________________________． 4．設(shè)a>b>c，n∈N*，且＋≥恒成立，則n的最大值是________． 5．若3x＋4y＝2，則x2＋y2的最小值為________． 6．函數(shù)y＝＋的最大值為________． 7．函數(shù)y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx＋ny＋1＝0上，其中m，n>0，則＋的最小值為________． 8．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足3x2＋2y2≤6，則p＝2x＋y的最大值是____

8、____． 二、解答題(共42分) 9．(12分)設(shè)a，b，c為正數(shù)，求證：(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥9abc. 10．(14分)設(shè)x、y均大于0，且x＋y＝1，求證：(x＋)2＋(y＋)2≥. 11．(16分)某養(yǎng)殖廠需要定期購(gòu)買飼料，已知該廠每天需要飼料200公斤，每公斤飼料的價(jià)格為1.8元，飼料的保管與其他費(fèi)用為平均每公斤每天0.03元，購(gòu)買飼料每次支付運(yùn)費(fèi)300元，求該廠多少天購(gòu)買一次飼料才能使平均每天支付的費(fèi)用最?。? 學(xué)案76　不等式選講 (三)算術(shù)—幾何平均不等

9、式與柯西不等式的應(yīng)用 答案 自主梳理 1．(1)≥　(2)≥　(3)a1＝a2＝…＝an 2．(1)(ac＋bd)2　ad＝bc　(2)|α||β| 自我檢測(cè) 1．④ 解析　∵x，y∈(0，＋∞)， ∴x＋y≥2， 又x＋y＝s，xy＝p， ∴當(dāng)s一定，即x＝y(tǒng)＝時(shí)，p有最大值； 當(dāng)p一定，即x＝y(tǒng)＝時(shí)，s有最小值2. 2．7 解析　3x＋27y＋1≥2＋1＝2＋1＝7， 當(dāng)且僅當(dāng)“3x＝27y”即x＝3y且x＋3y＝2時(shí)， 上式取“＝”，此時(shí)x＝1，y＝. 3．9 解析　(x2＋)(＋4y2)＝5＋＋4x2y2≥5＋2＝9， 當(dāng)且僅當(dāng)x2y2＝時(shí)“＝”

10、成立． 4．3－2 解析　∵x<0， ∴y＝3＋3x＋＝3－[(－3x)＋(－)]≤3－2. 當(dāng)且僅當(dāng)－3x＝－， 即x＝－時(shí)取等號(hào)． ∴當(dāng)x＝－時(shí)，函數(shù)y＝3＋3x＋有最大值3－2. 5．[－2，2] 解析　由柯西不等式得，[12＋(－1)2](a2＋b2)≥(a－b)2， ∴(a－b)2≤20， ∴－2≤a－b≤2，當(dāng)且僅當(dāng)“b＝－a”時(shí)上式“＝”成立． 由得，或. 課堂活動(dòng)區(qū) 例1 解題導(dǎo)引　由于＋＝1，則可以構(gòu)造x＋y＝[()2＋()2][()2＋()2]≥(＋)2的形式，從而利用柯西不等式求出最值． 利用柯西不等式求最值，實(shí)際上就是利用柯西不等式進(jìn)行放縮，

11、但放縮時(shí)要注意等號(hào)成立的條件是否符合題意． 解　∵x，y，a，b∈R＋，＋＝1， ∴x＋y＝[()2＋()2][()2＋()2] ≥(＋)2. 當(dāng)且僅當(dāng)·＝·， 即＝時(shí)取等號(hào)． ∴(x＋y)min＝(＋)2. 變式遷移1 解　由柯西不等式得： (4x2＋9y2)(12＋12)≥(2x＋3y)2＝1.∴4x2＋9y2≥. 當(dāng)且僅當(dāng)2x×1＝3y×1，即2x＝3y時(shí)取等號(hào)． 由得. ∴4x2＋9y2的最小值為. 例2 解題導(dǎo)引　運(yùn)用算術(shù)—幾何平均不等式解決應(yīng)用問題的步驟是： (1)弄清量與量之間的關(guān)系，將要求最大值(或最小值)的變量表示為其他變量的函數(shù)； (2)建立相應(yīng)

12、的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)中的最值問題；(3)在定義域內(nèi)求函數(shù)的最值；(4)根據(jù)實(shí)際意義寫出正確答案． 解　如圖，設(shè)正六棱柱的底面B1B2B3B4B5B6的邊長(zhǎng)為x(0

13、x·(2－2x) ≤·[]3＝. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝2－2x，即x＝時(shí)，Vmax＝. 故當(dāng)正六棱柱容器的底面邊長(zhǎng)為時(shí)，最大容積為. 變式遷移2 解　(1)設(shè)h′是正四棱錐的斜高，由題設(shè)可得： ，消去h′.解得：a＝(h>0)． (2)由V＝a2h＝(h>0)， 得：V＝，而h＋≥2＝2. 所以0

14、＋b＋c≥3>0， 從而(a＋b＋c)2≥9>0， 又＋＋≥3>0， ∴(＋＋)(a＋b＋c)2≥3·9＝27.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，等號(hào)成立． 變式遷移3 證明　∵a，b，c∈R＋，∴(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥3>0， ＋＋≥3>0， ∴(a＋b＋c)(＋＋)≥. 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，等號(hào)成立． 課后練習(xí)區(qū) 1．8 解析　y＝x＋＋＝＋≥2＝8. 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝2＋時(shí)等號(hào)成立． 2．[－3,0) 解析　y＝＝. ∵x＋＝－[(－x)＋(－)]≤－2. ∴x＋＋1≤－1. ∴0>≥－3，即－3≤y<0. ∴原函數(shù)的值域?yàn)閇－3,0)． 3.

15、 解析　y＝x2(－2x)＝x·x(－2x)， ∵0≤x≤，∴－2x≥0， ∴y≤[]3＝. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝x＝－2x，即x＝時(shí)，ymax＝. 4．4 解析　∵＋ ＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4， ∴＋≥4，∴＋≥. 又∵＋≥恒成立， ∴≥，又∵a>c，∴a－c>0，∴4≥n，即n≤4. 5. 解析　柯西不等式(32＋42)(x2＋y2)≥(3x＋4y)2， 得25(x2＋y2)≥4，所以x2＋y2≥.① 不等式①中當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)等號(hào)成立，x2＋y2取得最小值， 解方程組得 因此當(dāng)x＝，y＝時(shí)，x2＋y2取得最小值，最小值為. 6. 解析　函數(shù)的定義域?yàn)閇1,6]．

16、y2＝(＋)2 ＝(×＋1×)2 ≤[()2＋12]×[()2＋()2]＝3×5＝15. ∴y2≤15.∴y≤. 當(dāng)且僅當(dāng)×＝1×，即x＝時(shí)等號(hào)成立． ∴原函數(shù)的最大值為. 7．8 解析　函數(shù)y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)A(－2，－1)． 則(－2)m＋(－1)·n＋1＝0,2m＋n＝1，m，n>0. ＋＝(＋)·(2m＋n)＝4＋＋ ≥4＋2＝8，(m＝，n＝時(shí)取等號(hào)) 即＋的最小值為8. 8. 解析　∵(3x2＋2y2)[()2＋()2]≥(2x＋y)2， ∴(2x＋y)2≤×6＝11.∴－≤2x＋y≤， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式取“＝”

17、． 即或. ∴x＝，y＝時(shí)，Pmax＝. 9．證明　由算術(shù)—幾何平均不等式可得： a＋b＋c≥3， ① a2＋b2＋c2≥3， ② ①②相乘得(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥9abc即為所證結(jié)論．(12分) 10．證明　方法一　要證(x＋)2＋(y＋)2≥， 只需證x2＋y2＋＋＋4≥. (3分) ∵x＋y＝1， 即要證(1－2xy)＋≥， 即要證4x3y3＋15x2y2＋4xy－2≤0， (5分) 即要證(4xy－1)(x2y2＋4xy＋2)≤0， (8分) 即要證[4xy－(x＋y)2](x2y2＋4xy＋2)≤0， (10分

18、) 即要證(x－y)2(x2y2＋4xy＋2)≥0.(12分) ∵x、y均大于0，x＋y＝1，故上式成立． 故所證不等式(x＋)2＋(y＋)2≥成立． (14分) 方法二　∵x＋y＝1， ∴xy≤()2＝， ∴≥4. (4分) 又∵(12＋12)[(x＋)2＋(y＋)2] ≥(x＋＋y＋)2 (8分) ＝(x＋y＋)2＝(1＋)2≥(1＋4)2＝25. (12分) 即2[(x＋)2＋(y＋)2]≥25. ∴(x＋)2＋(y＋)2≥. (14分) 11．解　設(shè)該廠應(yīng)隔x(x∈N*)天購(gòu)買一次飼料，平均每天支付的費(fèi)用為y. ∵飼料的保管與其他費(fèi)用每天比前一天少 200×0.03＝6(元)， (2分) ∴x天飼料的保管與其他費(fèi)用共是： 6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝3x2－3x(元)． (8分) 從而有y＝(3x2－3x＋300)＋200×1.8＝＋3x＋357≥417. (14分) 當(dāng)且僅當(dāng)＝3x， 即x＝10時(shí)，y有最小值417. 即每隔10天購(gòu)買一次飼料才能使平均每天支付的費(fèi)用最?。? (16分)