《2018年秋高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.4 拋物線 2.4.1 拋物線及其標準方程學(xué)案 新人教A版選修2-1.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018年秋高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.4 拋物線 2.4.1 拋物線及其標準方程學(xué)案 新人教A版選修2-1.doc（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

2.4.1　拋物線及其標準方程 學(xué)習(xí)目標：1.掌握拋物線的定義及焦點、準線的概念．(重點)2.掌握拋物線的標準方程及其推導(dǎo)過程．(易錯點)3.明確p的幾何意義，并能解決簡單的求拋物線標準方程問題．(難點) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．拋物線的定義 平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線． 思考1：拋物線的定義中，若點F在直線l上，那么點的軌跡是什么？ [提示]　點的軌跡是過點F且垂直于直線l的直線． 2．拋物線的標準方程 圖形 標準方程 焦點坐標 準線方程 y2＝2px(p>0) F x＝－ y2＝－2px(p>0) F x＝ x2＝2py(p>0) F y＝－ x2＝－2py(p>0) F y＝ 思考2：(1)拋物線方程中p(p>0)的幾何意義是什么？ (2)根據(jù)拋物線方程如何確定焦點的位置？ [提示]　(1)p的幾何意義是焦點到準線的距離． (2)根據(jù)拋物線方程中一次式2px，2py來確定焦點位置，“x，y”表示焦點在x軸或y軸上，系數(shù)“2p”的正負確定焦點在坐標軸的正半軸或負半軸上． [基礎(chǔ)自測] 1．思考辨析 (1)并非所有二次函數(shù)的圖象都是拋物線．(　　) (2)拋物線是雙曲線的一支．(　　) (3)拋物線的標準方程有四種不同的形式，它們的共同點為“頂點在原點，焦點在坐標軸上．”(　　) [答案]　(1)　(2)　(3)√ 2．拋物線y2＝－8x的焦點坐標是(　　) A．(2,0)　　　　 B．(－2,0) C．(4,0) D．(－4,0) B　[拋物線y2＝－8x的焦點在x軸的負半軸上，且＝2，因此焦點坐標是(－2,0)．] 3．拋物線y2＝8x的焦點到準線的距離是(　　) A．1　 B．2 C．4　　　D．8 C　[由y2＝8x得p＝4，即焦點到準線的距離為4.] 4．拋物線x＝4y2的準線方程是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：46342105】 A．y＝ B．y＝－1 C．x＝－ D．x＝ C　[由x＝4y2得y2＝x，故準線方程為x＝－.] [合 作 探 究攻 重 難] 求拋物線的標準方程 　根據(jù)下列條件分別求出拋物線的標準方程： (1)準線方程為y＝； (2)焦點在y軸上，焦點到準線的距離為5； (3)經(jīng)過點(－3，－1)； (4)焦點為直線3x－4y－12＝0與坐標軸的交點． [思路探究]　(1)(2)→→ (3)→→ (4)→→ [解]　(1)因為拋物線的準線交y軸于正半軸，且＝，則p＝，所以所求拋物線的標準方程為x2＝－y. (2)已知拋物線的焦點在y軸上，可設(shè)方程為x2＝2my(m≠0)，由焦點到準線的距離為5，知|m|＝5，m＝5，所以滿足條件的拋物線有兩條，它們的標準方程分別為x2＝10y和x2＝－10y. (3)∵點(－3，－1)在第三象限，∴設(shè)所求拋物線的標準方程為y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)． 若拋物線的標準方程為y2＝－2px(p>0)，則由(－1)2＝－2p(－3)，解得p＝； 若拋物線的標準方程為x2＝－2py(p>0)，則由(－3)2＝－2p(－1)，解得p＝. ∴所求拋物線的標準方程為y2＝－x或x2＝－9y. (4)對于直線方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4， ∴拋物線的焦點為(0，－3)或(4,0)． 當焦點為(0，－3)時，＝3，∴p＝6，此時拋物線的標準方程為x2＝－12y； 當焦點為(4,0)時，＝4，∴p＝8，此時拋物線的標準方程為y2＝16x. ∴所求拋物線的標準方程為x2＝－12y或y2＝16x. [規(guī)律方法]　1.用待定系數(shù)法求拋物線標準方程的步驟 2．求拋物線的標準方程時需注意的三個問題 (1)把握開口方向與方程間的對應(yīng)關(guān)系． (2)當拋物線的類型沒有確定時，可設(shè)方程為y2＝mx或x2＝ny，這樣可以減少討論情況的個數(shù)． (3)注意p與的幾何意義． [跟蹤訓(xùn)練] 1．根據(jù)下列條件確定拋物線的標準方程． (1)關(guān)于y軸對稱且過點(－1，－3)； (2)過點(4，－8)； (3)焦點在x－2y－4＝0上． [解]　(1)法一：設(shè)所求拋物線方程為x2＝－2py(p＞0)，將點(－1，－3)代入方程， 得(－1)2＝－2p(－3)，解得p＝，所以所求拋物線方程為x2＝－y. 法二：由已知，拋物線的焦點在y軸上，因此設(shè)拋物線的方程為x2＝my(m≠0)．又拋物線過點(－1，－3)，所以1＝m(－3)，即m＝－，所以所求拋物線方程為x2＝－y. (2)法一：設(shè)所求拋物線方程為y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p′y(p′＞0)，將點(4，－8)代入y2＝2px，得p＝8；將點(4，－8)代入x2＝－2p′y，得p′＝1.所以所求拋物線方程為y2＝16x或x2＝－2y. 法二：當焦點在x軸上時，設(shè)拋物線的方程為y2＝nx(n≠0)，又拋物線過點(4，－8)，所以64＝4n，即n＝16，拋物線的方程為y2＝16x； 當焦點在y軸上時，設(shè)拋物線的方程為x2＝my(m≠0)，又拋物線過點(4，－8)，所以16＝－8m，即m＝－2，拋物線的方程為x2＝－2y. 綜上，拋物線的標準方程為y2＝16x或x2＝－2y. (3)由得 由得 所以所求拋物線的焦點坐標為(0，－2)或(4,0)． 當焦點為(0，－2)時，由＝2，得p＝4，所以所求拋物線方程為x2＝－8y；當焦點為(4,0)時，由＝4，得p＝8，所以所求拋物線方程為y2＝16x. 綜上所述，所求拋物線方程為x2＝－8y或y2＝16x. 拋物線的定義的應(yīng)用 　(1)已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸上，拋物線上一點M(m，－3)到焦點的距離為5，求m的值、拋物線方程和準線方程． (2)已知拋物線y2＝4x的焦點是F，點P是拋物線上的動點，對于定點A(4,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值時的P點坐標. 【導(dǎo)學(xué)號：46342106】 (3)已知動圓M與直線y＝2相切，且與定圓C：x2＋(y＋3)2＝1外切，求動圓圓心M的軌跡方程． [思路探究]　(1)利用拋物線定義先求拋物線的方程，再求m和準線方程． (2)利用拋物線的定義，把|PF|轉(zhuǎn)化為到準線的距離． (3)利用|MC|的長度比點M到直線y＝2的距離大1求解． [解]　(1)設(shè)所求拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，由＋3＝5得p＝4，因此拋物線方程為x2＝－8y，其準線方程為y＝2，由m2＝24得m＝2. (2)如圖，作PN⊥l于N(l為準線)，作AB⊥l于B， 則|PA|＋|PF| ＝|PA|＋|PN|≥|AB|， 當且僅當P為AB與拋物線的交點時，取等號． ∴(|PA|＋|PF|)min＝|AB| ＝4＋1＝5. 此時yP＝2，代入拋物線得xP＝1， ∴P(1,2)． (3)設(shè)動圓圓心為M(x，y)，半徑為r， 則由題意可得M到圓心C(0，－3)的距離與直線y＝3的距離相等． 由拋物線的定義可知：動圓圓心的軌跡是以C(0，－3)為焦點，以y＝3為準線的一條拋物線，其方程為x2＝－12y. [規(guī)律方法]　拋物線定義的兩種應(yīng)用 (1)實現(xiàn)距離轉(zhuǎn)化．根據(jù)拋物線的定義，拋物線上任意一點到焦點的距離等于它到準線的距離，因此，由拋物線定義可以實現(xiàn)點點距與點線距的相互轉(zhuǎn)化，從而簡化某些問題． (2)解決最值問題．在拋物線中求解與焦點有關(guān)的兩點間距離和的最小值時，往往用拋物線的定義進行轉(zhuǎn)化，即化折線為直線解決最值問題． [跟蹤訓(xùn)練] 2．(1)已知點P是拋物線y2＝2x上的一個動點，則點P到點A(0,2)的距離與P到該拋物線準線的距離之和的最小值為(　　) A．　　　　　　 B．3 C． D． A　[由拋物線的定義可知，拋物線上的點到準線的距離等于到焦點的距離．由圖可得， ∴點P到準線x＝－的距離d＝|PF|， 易知點A(0,2)在拋物線y2＝2x的外部， 連接AF，交y2＝2x于點P′， 欲使所求距離之和最小，只需A，P′，F(xiàn)共線， ∴其最小值為 |AF|＝ ＝.] (2)若位于y軸右側(cè)的動點M到F的距離比它到y(tǒng)軸的距離大.求點M的軌跡方程． [解]　由于位于y軸右側(cè)的動點M到F的距離比它到y(tǒng)軸的距離大，所以動點M到F的距離與它到直線l：x＝－的距離相等．由拋物線的定義知動點M的軌跡是以F為焦點，l為準線的拋物線(不包含原點)，其方程應(yīng)為y2＝2px(p>0)的形式，而＝，所以p＝1,2p＝2，故點M的軌跡方程為y2＝2x(x≠0). 拋物線的實際應(yīng)用 [探究問題] 已知拋物線，如何建系，才能使拋物線方程為標準方程？ 提示：以拋物線的頂點為坐標原點，以拋物線的對稱軸為坐標軸建系． 　河上有拋物線型拱橋，當水面距拱頂5米時，水面寬為8米，一小船寬4米，高2米，載貨后船露出水面上的部分高米，問水面上漲到與拋物線拱頂相距多少米時，小船開始不能通航？ [思路探究]　→→→→ [解]　如圖，建立坐標系，設(shè)拱橋拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，由題意，將B(4，－5)代入方程得p＝，∴拋物線方程為x2＝－y. ∵當船的兩側(cè)和拱橋接觸時船不能通航． 設(shè)此時船面寬為AA′，則A(2，yA)， 由22＝－yA，得yA＝－. 又知船露出水面上部分為米，設(shè)水面與拋物線拱頂相距為h，則h＝|yA|＋＝2(米)，即水面上漲到距拋物線拱頂2米時，小船不能通航． [規(guī)律方法]　求拋物線實際應(yīng)用的五個步驟 (1)建立適當?shù)淖鴺讼担? (2)設(shè)出合適的拋物線標準方程． (3)通過計算求出拋物線的標準方程． (4)求出需要求出的量． (5)還原到實際問題中，從而解決實際問題． [跟蹤訓(xùn)練] 3．如圖241是拋物線形拱橋，當水面在l時，拱頂離水面2米，水面寬4米，若水面下降0.42米后，則水面寬為(　　) 圖241 A．2.2米 B．4.4米 C．2.4米 D．4米 B　[如圖建立直角坐標系， 設(shè)拋物線方程為x2＝my， 將A(2，－2)代入x2＝my， 得m＝－2 ∴x2＝－2y，代入B(x0，－2.42)得x0＝2.2， 故水面寬為4.4 m，故選B．] [當 堂 達 標固 雙 基] 1．準線方程為y＝的拋物線的標準方程為(　　) A．x2＝y(tǒng)　　　　 B．x2＝－y C．y2＝－x D．y2＝x B　[由準線方程為y＝知拋物線焦點在y軸負半軸上，且＝，則p＝.故所求拋物線的標準方程為x2＝－y.] 2．拋物線y＝x2的焦點坐標是(　　) A． B． C．(0,1) D．(1,0) C　[拋物線的標準方程為x2＝4y，從而焦點坐標為(0,1)．] 3．拋物線y2＝24ax(a>0)上有一點M，它的橫坐標是3，它到焦點的距離是5，則拋物線的方程為(　　) A．y2＝8x B．y2＝12x C．y2＝16x D．y2＝20x A　[由題意知6a＋3＝5，解得a＝，因此拋物線方程為y2＝8x.] 4．已知拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F1，若點A(2，－4)在拋物線上，則點A到焦點的距離為________. 【導(dǎo)學(xué)號：46342107】 4　[把點(2，－4)代入拋物線y2＝2px，得16＝4p，即p＝4，從而拋物線的焦點為(2,0)．故點A到焦點的距離為4.] 5．若拋物線y2＝－2px(p＞0)上有一點M，其橫坐標為－9，它到焦點的距離為10，求點M的坐標． [解]　由拋物線方程y2＝－2px(p＞0)，得其焦點坐標為F，準線方程為x＝.設(shè)點M到準線的距離為d，則d＝|MF|＝10，即－(－9)＝10，得p＝2，故拋物線方程為y2＝－4x. 由點M(－9，y)在拋物線上，得y＝6，故點M的坐標為(－9,6)或(－9，－6)．