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1、新編高考數(shù)學復習資料 學案47　圓的方程 導學目標： 1.掌握確定圓的幾何要素.2.掌握圓的標準方程與一般方程.3.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想． 自主梳理 1．圓的定義 在平面內，到________的距離等于________的點的________叫做圓． 2．確定一個圓最基本的要素是________和________． 3．圓的標準方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0)，其中________為圓心，____為半徑． 4．圓的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是____________________，其中圓心為____

2、____________________，半徑r＝________________________. 5．確定圓的方程的方法和步驟 確定圓的方程主要方法是待定系數(shù)法，大致步驟為： (1)根據題意，選擇標準方程或一般方程； (2)根據條件列出關于a，b，r或D、E、F的方程組； (3)解出a、b、r或D、E、F，代入標準方程或一般方程． 6．點與圓的位置關系 點和圓的位置關系有三種． 圓的標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，點M(x0，y0)， (1)點在圓上：(x0－a)2＋(y0－b)2____r2； (2)點在圓外：(x0－a)2＋(y0－b)2____r2；

3、(3)點在圓內：(x0－a)2＋(y0－b)2____r2. 自我檢測 1．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圓時，m的取值范圍為______________． 2．圓心在y軸上，半徑為1，且過點(1,2)的圓的方程是________． 3．點P(2，－1)為圓(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中點，則直線AB的方程是______________． 4．已知點(0,0)在圓：x2＋y2＋ax＋ay＋2a2＋a－1＝0外，則a的取值范圍是________． 5．過圓x2＋y2＝4外一點P(4,2)作圓的切線，切點為A、B，則△APB的外接圓方程為________．

4、探究點一　求圓的方程 例1　求經過點A(－2，－4)，且與直線l：x＋3y－26＝0相切于點B(8,6)的圓的方程． 變式遷移1　根據下列條件，求圓的方程． (1)與圓O：x2＋y2＝4相外切于點P(－1，)，且半徑為4的圓的方程； (2)圓心在原點且圓周被直線3x＋4y＋15＝0分成1∶2兩部分的圓的方程． 探究點二　圓的幾何性質的應用 例2　已知圓x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直線x＋2y－3＝0交于P，Q兩點，且OP⊥OQ (O為坐標原點)，求該圓的圓心坐標及半徑．

5、 變式遷移2　如圖，已知圓心坐標為(，1)的圓M與x軸及直線y＝x分別相切于A、B兩點，另一圓N與圓M外切且與x軸及直線y＝x分別相切于C、D兩點． (1)求圓M和圓N的方程； (2)過點B作直線MN的平行線l，求直線l被圓N截得的弦的長度． 探究點三　與圓有關的最值問題 例3　已知實數(shù)x、y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0. (1)求y－x的最大值和最小值； (2)求x2＋y2的最大值和最小值． 變式遷移3　如果實數(shù)x，y滿足方程(x－3

6、)2＋(y－3)2＝6，求的最大值與最小值． 1．求圓的標準方程就是求出圓心的坐標與圓的半徑，借助弦心距、弦、半徑之間的關系計算可大大簡化計算的過程與難度． 2．點與圓的位置關系有三種情形：點在圓內、點在圓上、點在圓外，其判斷方法是看點到圓心的距離d與圓半徑r的關系．dr時，點在圓外． 3．本節(jié)主要的數(shù)學思想方法有：數(shù)形結合思想、方程思想． (滿分：90分) 一、填空題(每小題6分，共48分) 1．(2011·重慶改編)在圓x2＋y2－2x－6y＝0內，過點E(0,

7、1)的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為________． 2．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，則a的取值范圍是______________． 3．圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0關于直線2ax－by＋2＝0 (a、b∈R)對稱，則ab的取值范圍是____________． 4．(2011·蘇州模擬)已知點P(2,1)在圓C：x2＋y2＋ax－2y＋b＝0上，點P關于直線x＋y－1＝0的對稱點也在圓C上，則實數(shù)a，b的值分別為________和________． 5．已知兩點A(－2,0)，B(0,2)，點C是圓x2＋y2－2x＝0上任意一

8、點，則△ABC面積的最小值為________． 6．(2010·天津)已知圓C的圓心是直線x－y＋1＝0與x軸的交點，且圓C與直線x＋y＋3＝0相切，則圓C的方程為________________． 7．圓心在直線2x－3y－1＝0上的圓與x軸交于A(1,0)、B(3，0)兩點，則圓的方程為______________． 8．設直線ax－y＋3＝0與圓(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A、B兩點，且弦AB的長為2，則a＝________. 二、解答題(共42分) 9．(14分)根據下列條件，求圓的方程： (1)經過A(6,5)、B(0,1)兩點，并且圓心C在直線3x＋10y＋

9、9＝0上； (2)經過P(－2,4)、Q(3，－1)兩點，并且在x軸上截得的弦長等于6. 10．(14分)(2011·南京模擬)已知點(x，y)在圓(x－2)2＋(y＋3)2＝1上． (1)求x＋y的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 11．(14分)如圖是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖，該圓拱跨度AB＝20米，拱高OP＝4米，每隔4米需用一支柱支撐，求支柱A2P2的高度(精確到0.01米)(≈28.72)．

10、 學案47　圓的方程 答案 自主梳理 1．定點　定長　集合　2.圓心　半徑　3.(a，b)　r 4．D2＋E2－4F>0　　 6．(1)＝　(2)>　(3)< 自我檢測 1．m<或m>1　2.x2＋(y－2)2＝1　3.x－y－3＝0 4．(，－1)∪(，) 5．(x－2)2＋(y－1)2＝5 課堂活動區(qū) 例1　解題導引　(1)一可以利用圓的一般式方程，通過轉化三個獨立條件，得到有關三個待定字母的關系式求解；二可以利用圓的方程的標準形式，由條件確定圓心和半徑． (2)一般地，求圓的方程時，當條件中給出的是圓上若干點的坐標，

11、較適合用一般式，通過解三元方程組求待定系數(shù)；當條件中給出的是圓心坐標或圓心在某直線上、圓的切線方程、圓的弦長等條件，適合用標準式． 解　方法一　設圓心為C， 所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 則圓心C.∴kCB＝. 由kCB·kl＝－1，∴·＝－1.① 又有(－2)2＋(－4)2－2D－4E＋F＝0，② 又82＋62＋8D＋6E＋F＝0.③ 解①②③，可得D＝－11，E＝3，F(xiàn)＝－30. ∴所求圓的方程為x2＋y2－11x＋3y－30＝0. 方法二　設圓的圓心為C，則CB⊥l，從而可得CB所在直線的方程為y－6＝3(x－8)，即3x－y－18＝0.① 由A(－

12、2，－4)，B(8,6)，得AB的中點坐標為(3,1)． 又kAB＝＝1， ∴AB的垂直平分線的方程為y－1＝－(x－3)， 即x＋y－4＝0.② 由①②聯(lián)立后，解得 即圓心坐標為. ∴所求圓的半徑r＝＝. ∴所求圓的方程為2＋2＝. 變式遷移1　解　(1)設所求圓的圓心Q的坐標為(a，b)，圓Q的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝42，又∵OQ＝6， ∴聯(lián)立方程， 解得a＝－3，b＝3， 所以所求圓的方程為(x＋3)2＋(y－3)2＝16. (2) 如圖，因為圓周被直線3x＋4y＋15＝0分成1∶2兩部分，所以∠AOB＝120°，而圓心(0,0)到直線3x＋4y

13、＋15＝0的距離d＝＝3，在△AOB中，可求得OA＝6. 所以所求圓的方程為x2＋y2＝36. 例2　解題導引　(1)在解決與圓有關的問題中，借助于圓的幾何性質，往往會使得思路簡捷明了，簡化思路，簡便運算． (2)本題利用方程思想求m值，即“列出m的方程”求m值． 解　方法一　將x＝3－2y， 代入方程x2＋y2＋x－6y＋m＝0， 得5y2－20y＋12＋m＝0. 設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y1、y2滿足條件： y1＋y2＝4，y1y2＝. ∵OP⊥OQ，∴x1x2＋y1y2＝0. 而x1＝3－2y1，x2＝3－2y2. ∴x1x2＝9－6(y1＋y2)＋

14、4y1y2. ∴9－6(y1＋y2)＋5y1y2＝0， ∴9－6×4＋5×＝0， ∴m＝3，此時1＋36－3×4>0，圓心坐標為，半徑r＝. 方法二　 如圖所示， 設弦PQ中點為M， ∵O1M⊥PQ， ∴kO1M＝2. 又圓心坐標為， ∴O1M的方程為y－3＝2， 即y＝2x＋4.由方程組 解得M的坐標為(－1,2)． 則以PQ為直徑的圓可設為(x＋1)2＋(y－2)2＝r2. ∵OP⊥OQ，∴點O在以PQ為直徑的圓上． ∴(0＋1)2＋(0－2)2＝r2，即r2＝5，MQ2＝r2. 在Rt△O1MQ中，O1M2＋MQ2＝O1Q2. ∴2＋(3－2)2＋5

15、＝. ∴m＝3.∴半徑為，圓心為. 變式遷移2　解　(1)∵M的坐標為(，1)，∴M到x軸的距離為1，即圓M的半徑為1， 則圓M的方程為(x－)2＋(y－1)2＝1. 設圓N的半徑為r， 連結MA，NC，OM， 則MA⊥x軸，NC⊥x軸， 由題意知：M，N點都在∠COD的平分線上， ∴O，M，N三點共線． 由Rt△OAM∽Rt△OCN可知， OM∶ON＝MA∶NC，即＝?r＝3， 則OC＝3，則圓N的方程為(x－3)2＋(y－3)2＝9. (2)由對稱性可知，所求的弦長等于過A點與MN平行的直線被圓N截得的弦的長度， 此弦的方程是y＝(x－)，即x－y－＝0，

16、圓心N到該直線的距離d＝， 則弦長為2＝. 例3　解題導引　與圓有關的最值問題，常見的有以下幾種類型： (1)形如μ＝形式的最值問題，可轉化為動直線斜率的最值問題；(2)形如t＝ax＋by形式的最值問題，可轉化為動直線截距的最值問題；(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉化為動點到定點的距離的平方的最值問題． 解　(1)y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距，當直線y＝x＋b與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時＝，解得b＝－2±. 所以y－x的最大值為－2＋，最小值為－2－. (2)x2＋y2表示圓上的一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，在原點與圓

17、心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值． 又圓心到原點的距離為＝2， 所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4， x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4. 變式遷移3　解　(1)設P(x，y)， 則P點的軌跡就是已知圓C：(x－3)2＋(y－3)2＝6. 而的幾何意義就是直線OP的斜率， 設＝k，則直線OP的方程為y＝kx. 當直線OP與圓相切時，斜率取最值． 因為點C到直線y＝kx的距離d＝， 所以當＝， 即k＝3±2時，直線OP與圓相切． 即的最大值為3＋2，最小值為3－2. 課后練習區(qū) 1．10 解析　圓的方程化為標準形式為(x－1)2＋(y－3)2＝1

18、0，由圓的性質可知最長弦|AC|＝2，最短弦BD恰以E(0,1)為中心，設點F為其圓心，坐標為(1,3)． 故EF＝，∴BD＝2＝2， ∴S四邊形ABCD＝AC·BD＝10. 2．(－2，)　3. 4．0?。? 解析　圓的方程可化為2＋(y－1)2＝1＋－b，由題知圓心在直線x＋y－1＝0上，∴－＋1－1＝0，∴a＝0，又點(2,1)在圓上，所以b＝－3. 5．3－ 解析　lAB：x－y＋2＝0，圓心(1,0)到lAB的距離d＝＝， ∴AB邊上的高的最小值為－1.又AB＝2. ∴S△min＝×2×＝3－. 6．(x＋1)2＋y2＝2 解析　直線x－y＋1＝0與x軸的交點為

19、(－1,0)，即圓C的圓心坐標為(－1,0)．又圓C與直線x＋y＋3＝0相切，∴圓C的半徑為r＝＝.∴圓C的方程為(x＋1)2＋y2＝2. 7．(x－2)2＋(y－1)2＝2 解析　所求圓與x軸交于A(1,0)，B(3,0)兩點，故線段AB的垂直平分線x＝2過所求圓的圓心，又所求圓的圓心在直線2x－3y－1＝0上，所以，兩直線的交點即為所求圓的圓心坐標，解之得為(2,1)，進一步可求得半徑為，所以，圓的標準方程為(x－2)2＋(y－1)2＝2. 8．0 解析　由于弦AB的長為2，則圓心(1,2)到直線ax－y＋3＝0的距離等于1，即＝1，解得a＝0. 9．解　(1)∵AB的中垂線方程

20、為3x＋2y－15＝0， 由解得(3分) ∴圓心為C(7，－3)．又CB＝， 故所求圓的方程為(x－7)2＋(y＋3)2＝65.(7分) (2)設圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，將P、Q點的坐標分別代入得 (8分) 又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，③ 由|x1－x2|＝6有D2－4F＝36.④ 由①②④解得D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－8或D＝－6，E＝－8，F(xiàn)＝0. 故所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.(14分) 10．解　(1)設t＝x＋y，則y＝－x＋t，t可視為直線y＝－x＋t的縱截距，所以x＋y的最大值和最小值就

21、是直線與圓有公共點時直線縱截距的最大值和最小值，即直線與圓相切時的縱截距． 由直線與圓相切，得圓心到直線的距離等于半徑， 即＝1，解得t＝－1或t＝－－1， 所以x＋y的最大值為－1， 最小值為－－1.(5分) (2)可視為點(x，y)與原點連線的斜率，的最大值和最小值就是過原點的直線與該圓有公共點時斜率的最大值和最小值，即直線與圓相切時的斜率． 設過原點的直線方程為y＝kx，由直線與圓相切，得圓心到直線的距離等于半徑，即＝1， 解得k＝－2＋或k＝－2－， 所以的最大值為－2＋， 最小值為－2－.(10分) (3)， 即，其最值可視為點(x，y)到定點(－1,2)的距離

22、的最值，可轉化為圓心(2，－3)到定點(－1,2)的距離與半徑的和或差． 又因為圓心到定點(－1,2)的距離為，所以的最大值為＋1，最小值為－1.(14分) 11．解　建立如圖所示的坐標系，設該圓拱所在圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由于圓心在y軸上，所以D＝0，那么方程即為x2＋y2＋Ey＋F＝0.(3分) 下面用待定系數(shù)法來確定E、F的值． 因為P、B都在圓上，所以它們的坐標(0,4)、(10,0)都是這個圓的方程的解， 于是有方程組(7分) 解得F＝－100，E＝21. ∴這個圓的方程是x2＋y2＋21y－100＝0.(10分) 把點P2的橫坐標x＝－2代入這個圓的方程， 得(－2)2＋y2＋21y－100＝0，y2＋21y－96＝0. ∵P2的縱坐標y>0，故應取正值， ∴y＝≈3.86(米)． 所以支柱A2P2的高度約為3.86米．(14分)