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2019-2020年人教版高中數(shù)學必修二教案：4-1-2 圓的一般方程 項目 內容 課題 4.1.2 圓的一般方程 （1課時） 修改與創(chuàng)新 教學 目標 1.在掌握圓的標準方程的基礎上,理解記憶圓的一般方程的代數(shù)特征,由圓的一般方程確定圓的圓心、半徑.掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圓的條件,通過對方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圓的條件的探究,培養(yǎng)學生探索發(fā)現(xiàn)及分析、解決問題的能力. 2.能通過配方等手段,把圓的一般方程化為圓的標準方程.能用待定系數(shù)法和軌跡法求圓的方程,同時滲透數(shù)形結合、化歸與轉化等數(shù)學思想方法,提高學生的整體素質,激勵學生創(chuàng)新,勇于探索,培養(yǎng)學生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問題的實際能力. 教學重、 難點 教學重點：圓的一般方程的代數(shù)特征,一般方程與標準方程間的互化,根據(jù)已知條件確定方程中的系數(shù)D、E、F. 教學難點:對圓的一般方程的認識、掌握和運用 教學 準備 多媒體課件 教學過程 導入新課 ①說出圓心為(a,b),半徑為r的圓的標準方程. ②學生練習:將以C(a,b)為圓心,r為半徑的圓的標準方程展開并整理得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0. ③指出:如果D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,得到方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,這說明圓的方程還可以表示成另外一種非標準方程形式. ④能不能說方程x2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的曲線一定是圓呢?這就是我們本堂課的內容,教師板書課題:圓的一般方程. 推進新課 新知探究 提出問題 ①前一章我們研究直線方程用的什么順序和方法? ②這里我們研究圓的方程是否也能類比研究直線方程的順序和方法呢? ③給出式子x2+y2+Dx+Ey+F=0,請你利用配方法化成不含x和y的一次項的式子. ④把式子(x－a)2＋(y－b)2=r2與x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后的式子比較,得出x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的條件. ⑤對圓的標準方程與圓的一般方程作一比較,看各自有什么特點? 討論結果：①以前學習過直線,我們首先學習了直線方程的點斜式、斜截式、兩點式、截距式,最后學習一般式.大家知道,我們認識一般的東西,總是從特殊入手.如探求直線方程的一般形式就是通過把特殊的公式(點斜式、兩點式、…)展開整理而得到的. ②我們想求圓的一般方程,可仿照直線方程試一試！我們已經學習了圓的標準方程,把標準形式展開,整理得到,也是從特殊到一般. ③把式子x2+y2+Dx+Ey+F=0配方得(x+)2+(y+)2=. ④(x－a)2＋(y－b)2=r2中,r＞0時表示圓,r=0時表示點(a,b),r＜0時不表示任何圖形. 因此式子(x+)2+(y+)2=. (ⅰ)當D2+E2-4F＞0時,表示以(-,-)為圓心,為半徑的圓； (ⅱ)當D2+E2-4F=0時,方程只有實數(shù)解x=-,y=-,即只表示一個點(-,-); (ⅲ)當D2+E2-4F＜0時,方程沒有實數(shù)解,因而它不表示任何圖形. 綜上所述,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲線不一定是圓,由此得到圓的方程都能寫成x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲線不一定是圓,只有當D2+E2-4F＞0時,它表示的曲線才是圓.因此x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是D2+E2-4F＞0. 我們把形如x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的方程稱為圓的一般方程. ⑤圓的一般方程形式上的特點: x2和y2的系數(shù)相同,不等于0.沒有xy這樣的二次項. 圓的一般方程中有三個待定的系數(shù)D、E、F,因此只要求出這三個系數(shù),圓的方程就確定了. 與圓的標準方程相比較,它是一種特殊的二元二次方程,代數(shù)特征明顯,圓的標準方程則指出了圓心坐標與半徑大小,幾何特征較明顯. 應用示例 例1 判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程？如果是,請求出圓的圓心及半徑. (1)4x2+4y2-4x+12y+9=0; (2)4x2+4y2-4x+12y+11=0. 解:(1)由4x2+4y2-4x+12y+9=0,得D=-1,E=3,F=, 而D2+E2-4F=1+9-9=1＞0, 所以方程4x2+4y2-4x+12y+9=0表示圓的方程,其圓心坐標為(,-),半徑為； (2)由4x2+4y2-4x+12y+11=0,得 D=-1,E=3,F=,D2+E2-4F=1+9-11=-1＜0, 所以方程4x2+4y2-4x+12y+11=0不表示圓的方程. 點評:對于形如Ax2+By2+Dx+Ey+F=0的方程判斷其方程是否表示圓,要化為x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,再利用條件D2+E2-4F與0的大小判斷,不能直接套用.另外,直接配方也可以判斷. 變式訓練 求下列圓的半徑和圓心坐標： (1)x2+y2-8x+6y=0;(2)x2+y2+2by=0. 解:(1)把x2+y2-8x+6y=0配方,得(x－4)2＋(y+3)2=52,所以圓心坐標為(4,-3),半徑為5； (2)x2+y2+2by=0配方,得x2＋(y+b)2=b2,所以圓心坐標為(0,-b),半徑為|b|. 例2 求過三點O(0,0)、M1(1,1)、M2(4,2)的圓的方程,并求圓的半徑長和圓心坐標. 解:方法一：設所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,由O、M1、M2在圓上,則有 解得D=-8,E=6,F=0, 故所求圓的方程為x2+y2-8x+6y=0,即(x－4)2＋(y+3)2=52.所以圓心坐標為(4,-3),半徑為5. 方法二：先求出OM1的中點E(,),M1M2的中點F(,), 再寫出OM1的垂直平分線PE的直線方程y-=-(x-), ① AB的垂直平分線PF的直線方程y-=-3(x-), ② 聯(lián)立①②得得則點P的坐標為(4,-3),即為圓心.OP=5為半徑. 方法三：設所求圓的圓心坐標為P(a,b),根據(jù)圓的性質可得|OP|=|AP|=|BP|, 即x2+y2=(x-1)2+(y-1)2=(x-4)2+(y-2)2,解之得P(4,-3),OP=5為半徑. 方法四：設所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2=r2,因為O(0,0)、A(1,1)、B(4,2)在圓上,所以它們的坐標是方程的解.把它們的坐標代入上面的方程,可以得到關于a、b、r的方程組,即 解此方程組得所以所求圓的方程為(x－4)2＋(y+3)2=52,圓心坐標為(4,-3),半徑為5. 點評：請同學們比較,關于何時設圓的標準方程,何時設圓的一般方程.一般說來,如果由已知條件容易求圓心的坐標、半徑或需要用圓心的坐標、半徑列方程的問題,往往設圓的標準方程；如果已知條件和圓心坐標或半徑都無直接關系,往往設圓的一般方程. 例3 已知點P(10,0),Q為圓x2+y2=16上一動點.當Q在圓上運動時,求PQ的中點M的軌跡方程. 活動:學生回想求曲線方程的方法與步驟,思考討論,教師適時點撥提示,本題可利用平面幾何的知識,見中點作中線,利用中線定長可得方程,再就是利用求曲線方程的辦法來求. 圖1 解法一:如圖1,作MN∥OQ交x軸于N, 則N為OP的中點,即N(5,0). 因為|MN|=|OQ|=2(定長). 所以所求點M的軌跡方程為(x-5)2+y2=4. 點評:用直接法求軌跡方程的關鍵在于找出軌跡上的點應滿足的幾何條件,然后再將條件代數(shù)化.但在許多問題中,動點滿足的幾何條件較為隱蔽復雜,將它翻譯成代數(shù)語言時也有困難,這就需要我們探討求軌跡問題的新方法.轉移法就是一種很重要的方法.用轉移法求軌跡方程時,首先分析軌跡上的動點M的運動情況,探求它是由什么樣的點控制的. 解法二:設M(x,y)為所求軌跡上任意一點Q(x0,y0). 因為M是PQ的中點,所以 (*) 又因為Q(x0,y0)在圓x2+y2=16上,所以x02+y02=16.將(*)代入得 (2x-10)2+(2y)2=16. 故所求的軌跡方程為(x-5)2+y2=4. 點評:相關點法步驟:①設被動點M(x,y),主動點Q(x0,y0). ②求出點M與點Q坐標間的關系 (Ⅰ) ③從(Ⅰ)中解出 (Ⅱ) ④將(Ⅱ)代入主動點Q的軌跡方程(已知曲線的方程),化簡得被動點的軌跡方程. 這種求軌跡方程的方法也叫相關點法,以后要注意運用. 變式訓練 已知線段AB的端點B的坐標是(4,3),端點A在圓(x+1)2+y2=4上運動,求線段AB的中點M的軌跡方程. 解:設點M的坐標是(x,y), 點A的坐標是(x0,y0). 由于點B的坐標是(4,3)且M是線段AB的中點,所以x=,y=.于是有x0=2x-4,y0=2y-3. ① 因為點A在圓(x+1)2+y2=4上運動,所以點A的坐標滿足方程(x+1)2+y2=4,即(x0+1)2+y02=4.② 把①代入②,得(2x-4+1)2+(2y-3)2=4,整理,得(x-)2+(y-)2=1. 所以點M的軌跡是以(,)為圓心,半徑長為1的圓. 知能訓練 課本練習1、2、3. 拓展提升 問題：已知圓x2+y2-x-8y+m=0與直線x+2y-6=0相交于P、Q兩點,定點R(1,1),若PR⊥QR,求實數(shù)m的值. 解:設P(x1, y1)、Q(x2,y2), 由消去y得5x2+4m-60=0. ① 由題意,方程①有兩個不等的實數(shù)根,所以60-4m＞0,m＜15. 由韋達定理 因為PR⊥QR,所以kPRkQR=-1.所以=-1,即(x1-1)(x2-1)+(y1-1)(y2-1)=0, 即x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+2=0. ② 因為y1=3-,y2=3,所以y1y2=(3-)(3)=9-(x1+x2)+=9+, y1+y2=6,代入②得x1x2+5=0,即(m-12)+5=0. 所以m=10,適合m＜15.所以實數(shù)m的值為10. 課堂小結 1.任何一個圓的方程都可以寫成x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲線不一定是圓,只有D2+E2-4F＞0時,方程表示圓心為(-,-),半徑為r=的圓. 2.求圓的方程,應根據(jù)條件特點選擇合適的方程形式：若條件與圓心、半徑有關,則宜用標準方程；若條件主要是圓所經過的點的坐標,則宜用一般方程. 3.要畫出圓的圖像,必須要知道圓心坐標和半徑,因此應掌握利用配方法將圓的一般方程化為標準方程的方法. 作業(yè) 習題4.1 A組1、6,B組1、2、3. 板書設計 4.1.2 圓的一般方程 圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0 例1 D2+E2-4F＞0 變式 例2 例3 變式 教學反思 這是一節(jié)介紹新知識的課,而且這節(jié)課還非常有利于展現(xiàn)知識的形成過程.因此,在設計這節(jié)課時,力求“過程、結論并重；知識、能力、思想方法并重”. 在展現(xiàn)知識的形成過程中,盡量避免學生被動接受,引導學生探索,重視探索過程.一方面,把直線一般方程探求過程進行回顧、類比,學生從中領會探求方法；另一方面,“把標準方程展開→認識一般方程”這一過程充分運用了“通過特殊認識一般”的科學思想方法.同時,通過類比進行條件的探求——“D2+E2－4F”與“Δ”(判別式)類比.在整個探求過程中充分利用了“舊知識”及“舊知識的形成過程”,并用它探求新知識.這樣的過程,既是學生獲得新知識的過程,更是培養(yǎng)學生能力的過程.