《新編【創(chuàng)新方案】高考數(shù)學(xué)理一輪突破熱點(diǎn)題型：第8章 第9節(jié)　圓錐曲線的綜合問(wèn)題》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《新編【創(chuàng)新方案】高考數(shù)學(xué)理一輪突破熱點(diǎn)題型：第8章 第9節(jié)　圓錐曲線的綜合問(wèn)題（7頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第九節(jié)　圓錐曲線的綜合問(wèn)題 考點(diǎn)一 圓錐曲線中的最值(或取值范圍)問(wèn)題 　 [例1]　(20xx·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)橢圓M：＋＝1 (a>b>0)右焦點(diǎn)的直線x＋y－＝0交M于A，B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，且OP的斜率為. (1)求M的方程； (2)C，D為M上的兩點(diǎn)，若四邊形ACBD的對(duì)角線CD⊥AB，求四邊形ACBD面積的最大值． [自主解答]　(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)， 則＋＝1，＋＝1，＝－1， 由此可得＝－＝1.因?yàn)閤1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝，所以

2、a2＝2b2. 又由題意知，M的右焦點(diǎn)為(，0)，故a2－b2＝3.因此a2＝6，b2＝3. 所以M的方程為＋＝1. (2)由解得或因此|AB|＝. 由題意可設(shè)直線CD的方程為y＝x＋n， 設(shè)C(x3，y3)，D(x4，y4)．由得3x2＋4nx＋2n2－6＝0. 于是x3,4＝.因?yàn)橹本€CD的斜率為1，所以|CD|＝|x4－x3|＝. 由已知，四邊形ACBD的面積S＝|CD|·|AB|＝. 當(dāng)n＝0時(shí)，S取得最大值，最大值為.所以四邊形ACBD面積的最大值為. 【互動(dòng)探究】 若本例的條件不變，則四邊形ACBD的面積有最小值嗎？若有，求出其值；若沒(méi)有，說(shuō)明理由． 解：由(

3、2)可知3x2＋4nx＋2n2－6＝0，又∵y＝x＋n與橢圓＋＝1相交， ∴Δ＝(4n)2－4×3(2n2－6)＝8(9－n2)>0，即－3

4、； (5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍． 2．圓錐曲線中常見(jiàn)最值問(wèn)題及解題方法 (1)兩類最值問(wèn)題：①涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問(wèn)題；②求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時(shí)確定與之有關(guān)的一些問(wèn)題． (2)兩種常見(jiàn)解法：①幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決；②代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值，最值常用基本不等式法、配方法等求解． 　如圖，橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2,

5、1)的距離為.不過(guò)原點(diǎn)O的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB被直線OP平分． (1)求橢圓C的方程； (2)求△ABP面積取最大值時(shí)直線l的方程． 解：(1)設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為F(－c,0)，則由題意得 得所以橢圓方程為＋＝1. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，線段AB的中點(diǎn)為M. 由題意知直線AB的斜率存在且不為零，故可設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋m(m≠0)， 由消去y，整理得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，① 則Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＞0， 所以線段AB的中點(diǎn)M. 因?yàn)镸在直線OP上，所以＝.得m＝0(舍

6、去)或k＝－. 此時(shí)方程①為3x2－3mx＋m2－3＝0，則 Δ＝3(12－m2)＞0，所以|AB|＝·|x1－x2|＝·. 設(shè)點(diǎn)P到直線AB的距離為d，則d＝＝.設(shè)△ABP的面積為S，則 S＝|AB|·d＝·. 其中m∈(－2，0)∪(0,2)． 令u(m)＝(12－m2)(m－4)2，m∈(－2，0)∪(0,2)， u′(m)＝－4(m－4)(m2－2m－6) ＝－4(m－4)(m－1－)(m－1＋)． 所以當(dāng)且僅當(dāng)m＝1－時(shí)，u(m)取到最大值．即S取到最大值． 綜上，所求直線l的方程為3x＋2y＋2－2＝0. 考點(diǎn)二 定 點(diǎn) 問(wèn) 題 　 [例2]　(2

7、0xx·陜西高考)已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)A(4,0)，且在y軸上截得弦MN的長(zhǎng)為8. (1)求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程； (2)已知點(diǎn)B(－1,0)，設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，若x軸是∠PBQ的角平分線，證明直線l過(guò)定點(diǎn)． [自主解答]　 (1)如圖，設(shè)動(dòng)圓圓心O1(x，y)，由題意，|O1A|＝|O1M|， 當(dāng)O1不在y軸上時(shí)，過(guò)O1作O1H⊥MN交MN于H，則H是MN的中點(diǎn)， ∴|O1M|＝，又|O1A|＝，∴＝， 化簡(jiǎn)得y2＝8x(x≠0)． 又當(dāng)O1在y軸上時(shí)，O1與O重合，點(diǎn)O1的坐標(biāo)(0,0)也滿足方程y2＝8x， ∴動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程為y

8、2＝8x. (2)證明：由題意，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 將y＝kx＋b代入y2＝8x中，得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0，其中Δ＝－32kb＋64>0. 由根與系數(shù)的關(guān)系得，x1＋x2＝，①x1x2＝，② 因?yàn)閤軸是∠PBQ的角平分線，所以＝－，即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0， (kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0， 2kx1x2＋(k＋b)(x1＋x2)＋2b＝0，③ 將①②代入③，得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0， ∴k＝－b，此時(shí)Δ>0，∴直線l的方程為y＝k(x

9、－1)，∴直線l過(guò)定點(diǎn)(1,0)． 【方法規(guī)律】 圓錐曲線中定點(diǎn)問(wèn)題的兩種解法 (1)引進(jìn)參數(shù)法：引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒(méi)有關(guān)系，找到定點(diǎn)． (2)特殊到一般法：根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無(wú)關(guān)． 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓＋＝1的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F.設(shè)過(guò)點(diǎn)T(t，m)的直線TA、TB與此橢圓分別交于點(diǎn)M(x1，y1)、N(x2，y2)，其中m>0，y1>0，y2<0. (1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足PF2－PB2＝4，求點(diǎn)P的軌跡； (2)設(shè)t＝9，求證：直線MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)(其坐標(biāo)與

10、m無(wú)關(guān))． 解：由題設(shè)得A(－3,0)，B(3,0)，F(xiàn)(2,0)． (1)設(shè)點(diǎn)P(x，y)，由PF2＝(x－2)2＋y2，PB2＝(x－3)2＋y2，PF2－PB2＝4， 得(x－2)2＋y2－(x－3)2－y2＝4，化簡(jiǎn)得x＝.故所求點(diǎn)P的軌跡為直線x＝. (2)證明：由題設(shè)知，直線AT的方程為y＝(x＋3)，直線BT的方程為y＝(x－3)． 點(diǎn)M(x1，y1)滿足解得＝－·， 因?yàn)閤1≠－3，則＝－·，解得x1＝，從而得y1＝. 點(diǎn)N(x2，y2)滿足解得x2＝，y2＝. 若x1＝x2，則由＝及m>0，得m＝2，此時(shí)直線MN的方程為x＝1，過(guò)點(diǎn)D(1,0)． 若x1≠x

11、2，則m≠2，直線MD的斜率kMD＝＝， 直線ND的斜率kND＝＝，得kMD＝kND，所以直線MN過(guò)D點(diǎn)． 因此，直線MN必過(guò)x軸上的點(diǎn)(1,0)． 高頻考點(diǎn) 考點(diǎn)三 圓錐曲線中的定值問(wèn)題　　 1．圓錐曲線中的定值問(wèn)題，是近幾年來(lái)高考命題的熱點(diǎn)，多以解答題的形式出現(xiàn)，試題難度較大，多為高檔題． 2．高考中關(guān)于圓錐曲線中的定值問(wèn)題有以下幾個(gè)命題角度： (1)求代數(shù)式為定值； (2)求點(diǎn)到直線的距離為定值； (3)求某線段長(zhǎng)為定值． [例3]　(20xx·江西高考)橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率e＝，a＋b＝3. (1)求橢圓C的方程； (2)如

12、圖所示，A，B，D是橢圓C的頂點(diǎn)，P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，直線DP交x軸于點(diǎn)N，直線AD交BP于點(diǎn)M，設(shè)BP的斜率為k，MN的斜率為m.證明：2m－k為定值． [自主解答]　(1)因?yàn)閑＝＝，所以a＝c，b＝c. 代入a＋b＝3，得c＝，a＝2，b＝1.故橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)證明：法一：因?yàn)锽(2,0)，P不為橢圓頂點(diǎn)，則直線BP的方程為y＝k(x－2)，①把①代入＋y2＝1， 解得P.直線AD的方程為：y＝x＋1.② ①與②聯(lián)立解得M.由D(0,1)，P，N(x,0)三點(diǎn)共線知 ＝，解得N. 所以MN的斜率為m＝＝＝， 則2m－k＝－k＝(定值)．

13、 法二：設(shè)P(x0，y0)(x0≠0，x0≠±2)，則k＝， 直線AD的方程為：y＝(x＋2)，直線BP的方程為：y＝(x－2)， 直線DP的方程為：y－1＝x，令y＝0，由于y0≠1，可得N 聯(lián)立解得M， 因此MN的斜率為 m＝＝ ＝＝， 所以2m－k＝－ ＝ ＝ ＝ ＝(定值)． 圓錐曲線中的定值問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略 (1)求代數(shù)式為定值．依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式、化簡(jiǎn)即可得出定值； (2)求點(diǎn)到直線的距離為定值．利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡(jiǎn)、變形求得； (3)求某線段長(zhǎng)度為定值．利用長(zhǎng)度公式求

14、得解析式，再依據(jù)條件對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)、變形即可求得． 如圖所示，已知點(diǎn)A(1，)是離心率為的橢圓C：＋＝1(a>b>0)上的一點(diǎn)，斜率為的直線BD交橢圓C于B、D兩點(diǎn)，且A、B、D三點(diǎn)不重合． (1)求橢圓C的方程； (2)△ABD的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； (3)求證：直線AB、AD斜率之和為定值． 解：(1)由題意，可得e＝＝，＋＝1，a2＝b2＋c2， 解得a＝2，b＝，c＝，所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)設(shè)直線BD的方程為y＝x＋m，D(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得4x2＋2mx＋m2－4＝0， 所以

15、Δ＝－8m2＋64>0，則－2