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育才學校2019屆高三上學期期末考試卷 數(shù)學試題（理科） 請在答題卡指定區(qū)域位置作答，在其它地方作答無效。 第I卷 選擇題 60分 一、選擇題(共12小題,每小題5分,共60分) 1.已知全集， ， ，則集合=（ ） A. B. C. D. 2.已知復數(shù)（為虛數(shù)單位），則（ ） A. B. C. 2 D. 3.已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 4.如圖所示的一個算法的程序框圖，則輸出的最大值為（ ） A. B. 2 C. D. 5.已知等差數(shù)列的前項和為，且， .若，則（ ） A. 420 B. 340 C. -420 D. -340 6.已知雙曲線： ，圓： ，若雙曲線的一條漸近線與圓有兩個不同的交點，則雙曲線的離心率的范圍是（ ） A. B. C. D. 7.設函數(shù)， ，若實數(shù)， 滿足， ，則（ ） A. B. C. D. 8.已知四棱錐的三視圖如圖所示，則四棱錐外接球的表面積是（ ） A. B. C. D. 9.將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象，則的值可以為（ ） A. B. C. D. 10.設， 分別是正方形的邊， 上的點，且， ，如果（， 為實數(shù)），則的值為（ ）． A. B. C. D. 11.設滿足約束條件若目標函數(shù)的最小值大于，則的取值范圍為 A. B. C. D. 12.在四面體中， 與均是邊長為的等邊三角形，二面角的大小為，則四面體外接球的表面積為（ ） A. B. C. D. 第II卷 非選擇題 90分 二、填空題(共4小題,每小題5分,共20分) 13.已知函數(shù)，且在上的最大值為，若函數(shù)有四個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為_______. 14.已知分別是雙曲線的左右焦點，過的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點，若為等邊三角形，則的面積為__________． 15.如圖，在棱長為的正四面體中，動點在側面內(nèi)，底面，垂足為，若，則長度的最小值為________. 16.設曲線在點處的切線與軸的交點的橫坐標為，則 的值為__________． 三、解答題(共6小題 ,共70分) 17. (10分)已知的內(nèi)角所對的邊分別為，. （1）； （2）若的平分線交于點，且的面積為，求的長. 18. (12分)已知函數(shù). （1）若，函數(shù)的極大值為，求實數(shù)的值； （2）若對任意的， 在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍. 19. (12分)設等差數(shù)列的公差為d，前n項和為 成等比數(shù)列． (1)求數(shù)列的通項公式； (2)設，求數(shù)列的前n項和． 20. (12分)如圖，已知拋物線的焦點為，橢圓的中心在原點，為其右焦點，點為曲線和在第一象限的交點，且． （1）求橢圓的標準方程； （2）設為拋物線上的兩個動點，且使得線段的中點在直線上， 為定點，求面積的最大值． 21. (12分)如圖所示，在四棱錐中， 平面是的中點, . （1）證明： 平面； （2）若是上的點，且，求二面角的正弦值. 22. (12分)已知函數(shù). （1）若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍； （2）若函數(shù)有兩個極值點，試判斷函數(shù)的零點個數(shù). 高三理科數(shù)學答案 一、選擇題(共12小題,每小題5分,共60分) 1.D 2.A 3.A 4.C 5.D 6.A 7.D 8.B 9.C 10.C 11.B 12.A 二、填空題(共4小題,每小題5分,共20分) 13. 14. 15. 16.-1 三、解答題(共6小題 ,共70分) 17.(1) (2) 解析： （1）因為，所以. 于是，. （2）由可得. 設的面積為，∴， ∴.則. ∵為的平分線，∴，∴. 又.∴. 在中,由余弦定理可得 ，∴. 18.(1) ；(2) . 解析： （1）∵， ∴ . ①當時， ， 令，得； ，得， 所以在上單調(diào)遞增， 上單調(diào)遞減． 所以的極大值為，不合題意． ②當時， ， 令，得； ，得或， 所以在上單調(diào)遞增， 和上單調(diào)遞減. 所以的極大值為，解得．符合題意． 綜上可得． （2）令， ， 當時， ， 則對恒成立等價于， 即對恒成立. （ⅰ）當時， ， ， ， 此時，不合題意. （ⅱ）當時，令， 則，其中， ， 令， 則在區(qū)間上單調(diào)遞增， ①當時，則， 所以對， ， 從而在上單調(diào)遞增， 所以對任意， ， 即不等式在上恒成立． ②時， 由， 及在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得 存在唯一的，使得，且時， . 從而時， ，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減， 所以當時， ， 即，不符合題意． 綜上所述． 所以實數(shù)的取值范圍為． 19.（1）；（2）. 解析： （1）∵， 又 ∴ 又成等比數(shù)列． ∴， 即， 解得， ∴。 (2)由（1）可得， . 20.（1）橢圓的標準方程為； （2）面積的最大值為． 解析：（1）設橢圓的方程為，半焦距為． 由已知，點，則． 設點，據(jù)拋物線定義，得．由已知，，則． 從而，所以點． 設點為橢圓的左焦點，則，． 據(jù)橢圓定義，得，則． 從而，所以橢圓的標準方式是． （2）設點，，，則． 兩式相減，得，即．因為為線段的中點，則． 所以直線的斜率． 從而直線的方程為，即． 聯(lián)立，得，則． 所以． 設點到直線的距離為，則． 所以． 由，得．令，則． 設，則． 由，得．從而在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)， 所以，故面積的最大值為． 21.解析： （1）證明：因為平面，所以， 因為，所以， 設，由余弦定可得， 因為，故， 所以，因為，故平面. （2）以為原點，以所在的直線分別為 軸，建立空間直角坐標系， 則， 所以可得， ， 設平面的法向量， 則有： ， 設平面的法向量， 則有： ， 故, 設二面角的平面角為 ，則. 22.（1）（2）3 解析：（1）令，由題意知的圖象與的圖象有兩個交點. . 當時，，∴在上單調(diào)遞增； 當時，，∴在上單調(diào)遞減. ∴. 又∵時，，∴時，. 又∵時，. 綜上可知，當且僅當時，與的圖象有兩個交點，即函數(shù)有兩個零點. （2）因為函數(shù)有兩個極值點， 由，得有兩個不同的根，（設）. 由（1）知，，，且， 且函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 則 . 令， 則 ， 所以函數(shù)在上單調(diào)遞增， 故，.又，；，， 所以函數(shù)恰有三個零點.