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1、 第三章 導數 1.【2007四川，文20】(本小題滿分12分) 設函數為奇函數，其圖象在點處的切線與直線垂直，導函數的最小值為 （Ⅰ）求的值. （Ⅱ）求函數的單調遞增區(qū)間，并求函數在上的最大值和最小值. 【答案】（Ⅰ）；（2）取得最小值為，取得最大值為. 【考點】本題考察函數的奇偶性、單調性、二次函數的最值、導數的運用等基礎知識，以及推理能力和運算能力. 2.【2008四川，文20】（本小題滿分12分） 設和是函數的兩個極值點。 （Ⅰ）求和的值； （Ⅱ）求的單調區(qū)間 【答案】：（Ⅰ）；（Ⅱ）的單調增區(qū)間是，單調減區(qū)間是. 【考點】：此題重點考察

2、利用導數研究函數的極值點，單調性，最值問題； 【突破】：熟悉函數的求導公式，理解函數極值與導數、函數單調性與導數的關系；重視圖象或示意圖的輔助作用。 3.【2009四川，文20】（本小題滿分12分） 已知函數的圖象在與軸交點處的切線方程是. （I）求函數的解析式； （II）設函數，若的極值存在，求實數的取值范圍以及函數取得極值時對應的自變量的值. 【答案】（I）；（II）①當時，函數無極值；②當時， 當時，有極大值；當時，有極小值. 4.【20xx四川，文22】（本小題滿分14分） 設（且），g(x)是f(x)的反函數. （Ⅰ）求； （Ⅱ）當時，恒有成立，求t的取值

3、范圍； （Ⅲ）當0＜a≤時，試比較f(1)+f(2)+…+f(n)與的大小，并說明理由. 【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）當時，；當時，；（Ⅲ），證明略. 【命題意圖】本題主要考查函數、反函數、不等式、導數及其應用等基礎知識，考查化歸、分類整合等數學思想，以及推理論證與分析問題、解決問題的能力. 5.【20xx四川，文22】(本小題滿分14分) 已知為正實數，為自然數，拋物線與軸正半軸相交于點，設為該拋物線在點處的切線在軸上的截距. （Ⅰ）用和表示； （Ⅱ）求對所有都有成立的的最小值； （Ⅲ）當時，比較與的大小，并說明理由. 6.【20xx四川，文21】(本小

4、題滿分14分) 已知函數，其中是實數。設，為該函數圖象上的兩點，且。 （Ⅰ）指出函數的單調區(qū)間； （Ⅱ）若函數的圖象在點處的切線互相垂直，且，證明：； （Ⅲ）若函數的圖象在點處的切線重合，求的取值范圍。 則， 7.【20xx四川，文21】已知函數，其中，為自然對數的底數。 （Ⅰ）設是函數的導函數，求函數在區(qū)間上的最小值； （Ⅱ）若，函數在區(qū)間內有零點，證明：. 【答案】（Ⅰ）當時， ；當時， ； 當時， .（Ⅱ）的范圍為. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）易得，再對分情況確定的單調區(qū)間，根據在上的單調性即可得在上的最小值.（Ⅱ）設為在區(qū)間內的一個零點，注

5、意到.聯(lián)系到函數的圖象可知，導函數在區(qū)間內存在零點，在區(qū)間內存在零點，即在區(qū)間內至少有兩個零點. 由（Ⅰ）可知，當及時，在內都不可能有兩個零點.所以.此時，在上單調遞減，在上單調遞增，因此，且必有.由得：，代入這兩個不等式即可得的取值范圍. 試題解析：（Ⅰ） ①當時，，所以. ②當時，由得. 若，則；若，則. 所以當時，在上單調遞增，所以. 當時，在上單調遞減，在上單調遞增，所以. 當時，在上單調遞減，所以. （Ⅱ）設為在區(qū)間內的一個零點，則由可知， 在區(qū)間上不可能單調遞增，也不可能單調遞減. 則不可能恒為正，也不可能恒為負. 故在區(qū)間內存在零點. 同理在區(qū)間內存在零點

6、. 所以在區(qū)間內至少有兩個零點. 由（Ⅰ）知，當時，在上單調遞增，故在內至多有一個零點. 當時，在上單調遞減，故在內至多有一個零點. 所以. 此時，在上單調遞減，在上單調遞增， 因此，必有 . 由得：，有 . 解得. 所以，函數在區(qū)間內有零點時，. 【考點定位】導數的應用及函數的零點.考查推理論證能力、運算求解能力、創(chuàng)新意識，考查函數與方程、數形結合、分類與整合、化歸與轉化等數學思想，并考查思維的嚴謹性. 8. 【20xx高考新課標1，文14】已知函數的圖像在點的處的切線過點，則 . 【答案】1 【解析】 試題分析：∵，∴，即切線斜率， 又∵

7、，∴切點為（1，），∵切線過（2,7），∴，解得1. 考點：利用導數的幾何意義求函數的切線；常見函數的導數； 9. 【20xx高考四川，文21】已知函數f(x)＝－2lnx＋x2－2ax＋a2，其中a>0. (Ⅰ)設g(x)為f(x)的導函數，討論g(x)的單調性； (Ⅱ)證明：存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在區(qū)間(1，＋∞)內有唯一解. 【解析】(Ⅰ)由已知，函數f(x)的定義域為(0，＋∞) g(x)＝f '(x)＝2(x－1－lnx－a) 所以g'(x)＝2－ 當x∈(0，1)時，g'(x)＜0，g(x)單調遞減 當x∈(1，＋∞)時，g'(

8、x)＞0，g(x)單調遞增 (Ⅱ)由f '(x)＝2(x－1－lnx－a)＝0，解得a＝x－1－lnx 令Φ(x)＝－2xlnx＋x2－2x(x－1－lnx)＋(x－1－lnx)2＝(1＋lnx)2－2xlnx 則Φ(1)＝1＞0，Φ(e)＝2(2－e)＜0 于是存在x0∈(1，e)，使得Φ(x0)＝0 令a0＝x0－1－lnx0＝u(x0)，其中u(x)＝x－1－lnx(x≥1) 由u'(x)＝1－≥0知，函數u(x)在區(qū)間(1，＋∞)上單調遞增 故0＝u(1)＜a0＝u(x0)＜u(e)＝e－2＜1 即a0∈(0，1) 當a＝a0時，有f '(x0)＝0，f(x0)＝Φ(

9、x0)＝0 再由(Ⅰ)知，f '(x)在區(qū)間(1，＋∞)上單調遞增 當x∈(1，x0)時，f '(x)＜0，從而f(x)＞f(x0)＝0 當x∈(x0，＋∞)時，f '(x)＞0，從而f(x)＞f(x0)＝0 又當x∈(0，1]時，f(x)＝(x－a0)2－2xlnx＞0 故x∈(0，＋∞)時，f(x)≥0 綜上所述，存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在區(qū)間(1，＋∞)內有唯一解. 【考點定位】本題主要考查導數的運算、導數在研究函數中的應用、函數的零點等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、創(chuàng)新意識，考查函數與方程、數形結合、化歸與轉化等數學思想.