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2019-2020年人教版高中數(shù)學選修1-1教案：3-3-2函數(shù)的極值與導數(shù) 項目 內容 課題 （共 2 課時） 修改與創(chuàng)新 教學 目標 1.理解極大值、極小值的概念； 2.能夠運用判別極大值、極小值的方法來求函數(shù)的極值； 3.掌握求可導函數(shù)的極值的步驟. 教學重、 難點 教學重點：極大、極小值的概念和判別方法，以及求可導函數(shù)的極值的步驟. 教學難點：對極大、極小值概念的理解及求可導函數(shù)的極值的步驟. 教學 準備 多媒體課件 教學過程 一、導入新課： 觀察圖3.3-8，我們發(fā)現(xiàn)，時，高臺跳水運動員距水面高度最大．那么，函數(shù)在此點的導數(shù)是多少呢？此點附近的圖像有什么特點？相應地，導數(shù)的符號有什么變化規(guī)律？ 放大附近函數(shù)的圖像，如圖3.3-9．可以看出；在，當時，函數(shù)單調遞增，；當時，函數(shù)單調遞減，；這就說明，在附近，函數(shù)值先增（，）后減（，）．這樣，當在的附近從小到大經過時，先正后負，且連續(xù)變化，于是有． 對于一般的函數(shù)，是否也有這樣的性質呢？ 附：對極大、極小值概念的理解，可以結合圖象進行說明.并且要說明函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點附近的小區(qū)間而言的. 從圖象觀察得出，判別極大、極小值的方法.判斷極值點的關鍵是這點兩側的導數(shù)異號 二、講授新課： 1．問題：圖3.3-1（1），它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數(shù)的圖像，圖3.3-1（2）表示高臺跳水運動員的速度隨時間變化的函數(shù)的圖像． 運動員從起跳到最高點，以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態(tài)有什么區(qū)別？ 通過觀察圖像，我們可以發(fā)現(xiàn)： （1） 運動員從起點到最高點，離水面的高度隨時間的增加而增加，即是增函數(shù)．相應地，． （2） 從最高點到入水，運動員離水面的高度隨時間的增加而減少，即是減函數(shù)．相應地，． 2．函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系 觀察下面函數(shù)的圖像，探討函數(shù)的單調性與其導數(shù)正負的關系． 如圖3.3-3，導數(shù)表示函數(shù)在點處的切線的斜率．在處，，切線是“左下右上”式的，這時，函數(shù)在附近單調遞增；在處，，切線是“左上右下”式的，這時，函數(shù)在附近單調遞減． 結論：函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系 在某個區(qū)間內，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內單調遞增；如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內單調遞減． 說明：（1）特別的，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內是常函數(shù)． 3．求解函數(shù)單調區(qū)間的步驟： （1）確定函數(shù)的定義域； （2）求導數(shù)； （3）解不等式，解集在定義域內的部分為增區(qū)間； （4）解不等式，解集在定義域內的部分為減區(qū)間． 三．典例分析 例1．（課本例4）求的極值 解： 因為，所以 。 下面分兩種情況討論： （1）當>0,即，或時； （2）當<0,即時. 當x變化時， ，的變化情況如下表： -2 (-2,2) 2 + 0 － 0 + ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 因此，當時，有極大值，并且極大值為； 當時，有極小值，并且極小值為。 函數(shù)的圖像如圖所示。 例2求y=(x2－1)3+1的極值 解：y′=6x(x2－1)2=6x(x+1)2(x－1)2 令y′=0解得x1=－1，x2=0，x3=1 當x變化時，y′，y的變化情況如下表 -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 － 0 － 0 + 0 + ↘ 無極值 ↘ 極小值0 ↗ 無極值 ↗ ∴當x=0時，y有極小值且y極小值=0 1.極大值： 一般地，設函數(shù)f(x)在點x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f(x)＜f(x0)，就說f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值，記作y極大值=f(x0)，x0是極大值點 2.極小值：一般地，設函數(shù)f(x)在x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f(x)＞f(x0).就說f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極小值，記作y極小值=f(x0)，x0是極小值點 3.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值注意以下幾點： （?。O值是一個局部概念由定義，極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內最大或最小 （ⅱ）函數(shù)的極值不是唯一的即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內極大值或極小值可以不止一個 （ⅲ）極大值與極小值之間無確定的大小關系即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值，如下圖所示，是極大值點，是極小值點，而> （ⅳ）函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內部，區(qū)間的端點不能成為極值點 而使函數(shù)取得最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內部，也可能在區(qū)間的端點 4. 判別f(x0)是極大、極小值的方法: 若滿足，且在的兩側的導數(shù)異號，則是的極值點，是極值，并且如果在兩側滿足“左正右負”，則是的極大值點，是極大值；如果在兩側滿足“左負右正”，則是的極小值點，是極小值 5. 求可導函數(shù)f(x)的極值的步驟: (1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導數(shù)f′(x) (2)求方程f′(x)=0的根 (3)用函數(shù)的導數(shù)為0的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格.檢查f′(x)在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號即都為正或都為負，那么f(x)在這個根處無極值 如果函數(shù)在某些點處連續(xù)但不可導，也需要考慮這些點是否是極值點 四、鞏固練習： 1．求下列函數(shù)的極值. (1)y=x2－7x+6 (2)y=x3－27x (1)解：y′=(x2－7x+6)′=2x－7 令y′=0，解得x=. 當x變化時，y′，y的變化情況如下表. － 0 + ↘ 極小值 ↗ ∴當x=時，y有極小值，且y極小值=－. (2)解：y′=(x3－27x)′=3x2－27=3(x+3)(x－3) 令y′=0，解得x1=－3，x2=3. 當x變化時，y′，y的變化情況如下表. -3 (-3,3) 3 + 0 － 0 + ↗ 極大值54 ↘ 極小值-54 ↗ ∴當x=－3時，y有極大值，且y極大值=54. 當x=3時，y有極小值，且y極小值=－54 課堂小結： 函數(shù)的極大、極小值的定義以及判別方法.求可導函數(shù)f(x)的極值的三個步驟.還有要弄清函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點附近的小區(qū)間而言的，在整個定義區(qū)間可能有多個極值，且要在這點處連續(xù).可導函數(shù)極值點的導數(shù)為0，但導數(shù)為零的點不一定是極值點，要看這點兩側的導數(shù)是否異號.函數(shù)的不可導點可能是極值點 布置作業(yè)： P98—99 4,5 板書設計 3. 3.2函數(shù)的極值與導數(shù) 1. 極大值與極小值的概念 2. 判別f(x0)是極大、極小值的方法 3. 求可導函數(shù)f(x)的極值的步驟: (1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導數(shù)f′(x) (2)求方程f′(x)=0的根 (3)用函數(shù)的導數(shù)為0的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格.檢查f′(x)在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號即都為正或都為負，那么f(x)在這個根處無極值。 例1、例2 教學反思 在給出極值概念后，要比較、區(qū)分極值與最值的關系與區(qū)別，求極值時一定要學生注意判斷在導數(shù)為0的點的兩側的符號，只有導函數(shù)異號時，相的點才是極值點。 利用導數(shù)求極值是導數(shù)的重要應用，要補充一定量的練習讓學生熟練掌握。對函數(shù)的不可導點可能是極值點不做要求。