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第二章 平面向量----小結(jié)與復(fù)習(xí) 一、教學(xué)目標(biāo)： 知識(shí)與技能： 1. 理解向量.零向量.向量的模.單位向量.平行向量.反向量.相等向量.兩向量的夾角等概念。 2. 了解平面向量基本定理. 3. 向量的加法的平行四邊形法則（共起點(diǎn)）和三角形法則（首尾相接）。 4. 了解向量形式的三角形不等式：|||-||≤||≤||+||(試問：取等號(hào)的條件是什么?)和向量形式的平行四邊形定理：2(||+||)=|－|+|+|. 5. 了解實(shí)數(shù)與向量的乘法（即數(shù)乘的意義）： 6. 向量的坐標(biāo)概念和坐標(biāo)表示法 7. 向量的坐標(biāo)運(yùn)算（加.減.實(shí)數(shù)和向量的乘法.數(shù)量積） 8. 數(shù)量積（點(diǎn)乘或內(nèi)積）的概念，=||||cos= 注意區(qū)別“實(shí)數(shù)與向量的乘法；向量與向量的乘法” 過程與方法： 通過本節(jié)學(xué)習(xí),讓學(xué)生深刻理解向量在處理有關(guān)平面幾何問題中的優(yōu)越性,活躍學(xué)生的思維,發(fā)展學(xué) 生的創(chuàng)新意識(shí),激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,并體會(huì)向量在幾何和現(xiàn)實(shí)生活中的意義.教學(xué)中要求盡量引導(dǎo)學(xué)生使用信息技術(shù)這個(gè)現(xiàn)代化手段. 情感、態(tài)度與價(jià)值觀 通過學(xué)習(xí)體會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想和方法，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生抽象概括、推理論證的能力．進(jìn)行辯證唯物主義思想教育、數(shù)學(xué)審美教育，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性． 二．重點(diǎn)難點(diǎn) 重點(diǎn)：平面向量的基本概念和基本解題方法 難點(diǎn)：知識(shí)的綜合運(yùn)用能力 三、教材與學(xué)情分析 平面向量部分有許多新的概念和獨(dú)特的運(yùn)算體系，學(xué)生掌握較為困難。在復(fù)習(xí)中一方面再次澄清基本概念，熟悉運(yùn)算方法。同時(shí)從本章知識(shí)的整體上來理解和把握，在具體問題解決中加深理解和知識(shí)的綜合運(yùn)用能力。 四、教學(xué)方法 問題引導(dǎo)，主動(dòng)探究，啟發(fā)式教學(xué)． 五、教學(xué)過程 （一）知識(shí)梳理、構(gòu)建網(wǎng)絡(luò) 1．平面向量的基本概念 主要應(yīng)掌握向量的概念、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等概念，這些概念是考試的熱點(diǎn)，一般都是以選擇題或填空題出現(xiàn)，尤其是單位向量常與向量的平行與垂直的坐標(biāo)形式結(jié)合考查，往往一些學(xué)生只求出一個(gè)而遺漏另一個(gè)． 2．向量的線性運(yùn)算 主要應(yīng)掌握向量加法的三角形法則與平行四邊形法則，甚至推廣到向量加法的多邊形法則；掌握向量減法的三角形法則；數(shù)乘向量運(yùn)算的性質(zhì)和法則及運(yùn)算律．同時(shí)要靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決三點(diǎn)共線、兩線段相等及兩直線平行等問題． 3．向量的坐標(biāo)運(yùn)算 主要應(yīng)掌握向量坐標(biāo)運(yùn)算的法則、公式進(jìn)行向量加、減與數(shù)乘運(yùn)算；能用向量共線的坐標(biāo)表示證明兩向量平行或證明三點(diǎn)共線；能用平面向量基本定理和基底表示平面內(nèi)任意一個(gè)向量． 4．平面向量的數(shù)量積 平面向量的數(shù)量積是向量的核心內(nèi)容，主要應(yīng)掌握向量的數(shù)量積的定義、法則和公式進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算，特別是向量的模、夾角、平行與垂直等運(yùn)算；能用向量數(shù)量積的坐標(biāo)形式求向量的模、夾角，證明向量平行或垂直，能解答有關(guān)綜合問題． 5．平面向量的應(yīng)用 2019-2020年人教A版高中數(shù)學(xué)必修四 第二章 小結(jié)與復(fù)習(xí) 教案 些解析幾何問題；二是能用向量解決一些物理問題，如力、位移、速度等問題. （二）典例解析、歸納提升 專題一　向量的共線問題 運(yùn)用向量平行(共線)證明常用的結(jié)論有：(1)向量a、b(a≠0)共線?存在唯一實(shí)數(shù)λ，使b＝λa；(2)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共線?x1y2－x2y1＝0；(3)向量a與b共線?|ab|＝|a||b|；(4)向量a與b共線?存在不全為零的實(shí)數(shù)λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0. 判斷兩向量所在的直線共線時(shí)，除滿足定理的要求外，還應(yīng)說明此兩直線有公共點(diǎn)． 【例1】 設(shè)坐標(biāo)平面上有三點(diǎn)A、B、C，i、j分別是坐標(biāo)平面上x軸，y軸正方向的單位向量，若向量＝i－2j，＝i＋mj，那么是否存在實(shí)數(shù)m，使A、B、C三點(diǎn)共線． 解　法一　假設(shè)滿足條件的m存在，由A、B、C三點(diǎn)共線，即∥， ∴存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ，i－2j＝λ(i＋mj)， ∴m＝－2，∴當(dāng)m＝－2時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線． 法二　假設(shè)滿足條件的m存在，根據(jù)題意可知：i＝(1,0)，j＝(0,1)， ∴＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)， ＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)，由A、B、C三點(diǎn)共線，即∥，故1m－1(－2)＝0， 解得m＝－2，∴當(dāng)m＝－2時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線． 【例2】 已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋2b與2a－4b平行，求實(shí)數(shù)k的值． 解　法一　向量ka＋2b與2a－4b平行，則存在唯一實(shí)數(shù)λ，使ka＋2b＝λ(2a－4b)． ∵ka＋2b＝k(1,2)＋2(－3,2)＝(k－6,2k＋4)，2a－4b＝2(1,2)－4(－3,2)＝(14，－4)， ∴(k－6,2k＋4)＝λ(14，－4)． ∴解得∴實(shí)數(shù)k的值為－1. 法二　∵ka＋2b＝k(1,2)＋2(－3,2)＝(k－6,2k＋4)，2a－4b＝2(1,2)－4(－3,2)＝(14，－4)， ka＋2b與2a－4b平行，∴(k－6)(－4)－(2k＋4)14＝0.解得k＝－1. 專題二　向量的夾角及垂直問題 1．求兩個(gè)向量的夾角主要利用兩個(gè)公式： (1)cos θ＝，求解的前提是：求出這兩個(gè)向量的數(shù)量積和模． (2)cos θ＝，求解的前提是：可以求出兩個(gè)向量的坐標(biāo)． 2．解決垂直問題，其關(guān)鍵在于將問題轉(zhuǎn)化為它們的數(shù)量積為零，與求夾角一樣，若向量能用坐標(biāo)表示，將它轉(zhuǎn)化為“x1x2＋y1y2＝0”較為簡單． 3．用向量方法解決平面幾何中的夾角與垂直問題的關(guān)鍵在于：選用適當(dāng)向量為基底，把所要研究的問題轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角與垂直問題，再利用向量知識(shí)求角． 【例3】 已知三個(gè)點(diǎn)A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)． (1)求證：AB⊥AD； (2)若四邊形ABCD為矩形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)以及矩形ABCD兩對角線所夾銳角的余弦值． (1)證明　∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，∴＝(1,1)，＝(－3,3)． ∵＝1(－3)＋13＝0，∴⊥，即AB⊥AD. (2)解　∵⊥，四邊形ABCD為矩形，∴＝. 設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則＝(x＋1，y－4)， ∴解得∴點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,5)． 從而＝(－2,4)，＝(－4,2)，且||＝2，||＝2，＝8＋8＝16， 設(shè)與的夾角為θ，則cos θ＝＝＝. ∴矩形ABCD的兩條對角線所夾銳角的余弦值為. 【例4】已知向量a＝(4，－2)，b＝(x,1)． (1)若a，b共線，求x的值； (2)若a⊥b，求x的值； (3)當(dāng)x＝2時(shí)，求a與b夾角θ的余弦值． 解　(1)∵a，b共線，∴－2x＝4.∴x＝－2. (2)∵a⊥b，∴4x－2＝0.∴x＝. (3)當(dāng)x＝2時(shí)，ab＝6，|a|＝，|b|＝.∴cos θ＝＝＝. 專題三　向量的長度(模)與距離的問題 向量的模不僅是研究向量的一個(gè)重要量，而且是利用向量的方法解決幾何問題的一個(gè)交匯點(diǎn)．一般地，求向量的模主要利用公式|a|2＝a2，將它轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積問題，再利用數(shù)量積的運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行展開、合并，使問題得以解決，或利用公式|a|＝，將它轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題，使問題得以解決． 【例5】 設(shè)|a|＝|b|＝1，|3a－2b|＝3，求|3a＋b|的值． 解　法一　∵|3a－2b|＝3，∴9a2－12ab＋4b2＝9.又∵|a|＝|b|＝1，∴ab＝. ∴|3a＋b|2＝(3a＋b)2＝9a2＋6ab＋b2＝9＋6＋1＝12.∴|3a＋b|＝2. 法二　設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．∵|a|＝|b|＝1，∴x＋y＝x＋y＝1. ∵3a－2b＝(3x1－2x2,3y1－2y2)，∴|3a－2b|＝＝3.∴x1x2＋y1y2＝. ∴|3a＋b|＝＝ ＝2. 專題四　平面向量與函數(shù)的綜合問題 平面向量既反映了數(shù)量關(guān)系，又體現(xiàn)了幾何圖形的位置關(guān)系，從而將數(shù)和形有機(jī)地結(jié)合起來，因此以平面向量的相關(guān)知識(shí)為載體，在知識(shí)交匯處設(shè)計(jì)創(chuàng)新力度較大、綜合性較強(qiáng)的試題，有效地溝通了知識(shí)間的橫向聯(lián)系，有助于知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建，有力地考查了學(xué)生的綜合能力． 【例6】 設(shè)0<|a|≤2，f(x)＝cos2x－|a|sin x－|b|的最大值為0，最小值為－4，且a與b的夾角為45，求|a＋b|. 解　f(x)＝1－sin2x－|a|sin x－|b|＝－2＋－|b|＋1. ∵0<|a|≤2，∴當(dāng)sin x＝－時(shí)，－|b|＋1＝0； 當(dāng)sin x＝1時(shí)，－|a|－|b|＝－4.由得 ∴|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝22＋222cos 45＋22＝8＋4， ∴|a＋b|＝＝2. 六、課堂小結(jié) 1．平面向量的基本概念 2．向量的線性運(yùn)算 3．向量的坐標(biāo)運(yùn)算 4．平面向量的數(shù)量積 5．平面向量的應(yīng)用 七、課后作業(yè) 1.課時(shí)練與測 八、教學(xué)反思