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2019-2020年新人教B版高中數學(必修3）3.3.1《幾何概型》word教案之一 教學目標 1．知識目標 ①通過探究，讓學生理解幾何概型試驗的基本特征，并與古典概型相區(qū)別； ②理解并掌握幾何概型的定義； ③會求簡單的幾何概型試驗的概率. 2．情感目標 ①讓學生了解幾何概型的意義，加強與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，以科學的態(tài)度評價身邊的一些隨機現(xiàn)象； ②通過學習，讓學生體會生活和學習中與幾何概型有關的實例，增強學生解決實際問題的能力；同時，適當地增加學生合作學習交流的機會，培養(yǎng)學生的合作能力. 重點難點 重點：幾何概型概念的理解和公式的運用； 難點：幾何概型的應用. 只有掌握了幾何概型的概念及特點，才能夠判斷一個問題是否是幾何概型，才能夠用幾何概型的概率公式去解決這個問題.而在應用公式的過程中，幾何度量的正確選取是難點之一，要好好把握. 學情分析及教學內容分析 本節(jié)課是新教材人教B版必修3第三章第三節(jié)的第一課，它在課本中的位置排在古典概型之后，在概率的應用之前.我認為教材這樣安排的目的，一是為了體現(xiàn)和古典概型的區(qū)別和聯(lián)系，在比較中鞏固這兩種概型；二是為解決實際問題提供一種簡單可行的概率求法，在教材中起承上啟下的作用. 通過最近幾年的實際授課發(fā)現(xiàn)，學生在學習本節(jié)課時特別容易和古典概型相混淆，把幾何概型的“無限性”誤認為古典概型的“有限性”.究其原因是思維不嚴謹，研究問題時過于“想當然”，對幾何概型的概念理解不清.因此我認為要在幾何概型的特征和概念的理解上下功夫，不要浮于表面. 另外，在解決幾何概型的問題時，幾何度量的選擇也是需要特別重視的，在實際授課時，應當引導學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，找出適當的方法來解決問題. 為了更好地突出重點，突破難點，我將整個教學過程分為“問題引入——概念形成——探索歸納——鞏固深化”四個環(huán)節(jié). 教學過程 1．問題引入 引例1 北京奧運會圓滿閉幕，某玩具廠商為推銷其生產的福娃玩具，擴大知名度，特舉辦了一次有獎活動：顧客隨意擲兩顆骰子，如果點數之和大于10，則可獲得一套福娃玩具，問顧客能得到一套福娃玩具的概率是多少？ 設計意圖：復習鞏固古典概型的特點及其概率公式，為幾何概型的引入做好鋪墊. 引例2 廠商為了增強活動的趣味性，改變了活動方式，設立了一個可以自由轉動的轉盤（如圖1）轉盤被等分成8個扇形區(qū)域.顧客隨意轉動轉盤，如果轉盤停止轉動時，指針正好指向陰影區(qū)域，顧客則可獲得一套福娃玩具.問顧客能得到一套福娃玩具的概率是多少？ 設計意圖： 1．以實際問題引發(fā)學生的學習興趣和求知欲望； 2．以此為鋪墊，通過具體問題情境引入課題； 3．簡單直觀，符合學生的思維習慣和認知規(guī)律. 問題提出后，學生根據日常生活經驗很容易回答：“由面積比計算出概率為1/4.” 提問：為什么會想到用面積之比來解決問題的呢？這樣做有什么理論依據嗎？ 學生思考，回答：“上一節(jié)剛學習的古典概型的概率就是由事件所包含的基本事件數占試驗的基本事件總數的比例來解決的，所以聯(lián)想到用面積的比例來解決.” 教師繼續(xù)提問：這個問題是古典概型嗎？ 通過提問，引導學生回顧古典概型的特點：有限性和等可能性.發(fā)現(xiàn)這個問題雖然貌似古典概型，但是由于這個問題中的基本事件應該是“指針指向的位置”，而不是“指針指向的區(qū)域”，所以有無限多種可能，不滿足有限性這個特點，因此不是古典概型. 也就是說，我們不能用古典概型的概率公式去解決這個問題，剛才我們的解答只是猜測.到這里，我們自然而然地需要一個理論依據去支持這個猜測，從而引入幾何概型的概念. 2．概念形成 記引例2中的事件為“指針指向陰影區(qū)域”，通過剛才的分析，我們發(fā)現(xiàn)事件包含的基本事件有無數個，而試驗的基本事件總數也是無數個.如果我們仿照古典概型的概率公式，用事件包含的基本事件個數與試驗的基本事件總數的比例來解決這個問題，那樣就會出現(xiàn)“無數比無數”的情況，沒有辦法求解. 因此，我們需要一個量，來度量事件和，使這個比例式可以操作，這個量就稱為“幾何度量”.這就得到了幾何概型的概率公式，其中表示區(qū)域的幾何度量，表示子區(qū)域的幾何度量. 引例2就可以選取面積做幾何度量來解決. 通過上面的分析，引導學生發(fā)現(xiàn)：幾何概型與古典概型的區(qū)別在于它的試驗結果不是有限個，但是它的試驗結果在一個區(qū)域內均勻地分布，因此它滿足無限性和等可能性的特征.其求解思路與古典概型相似，都屬于“比例解法”. 3. 探索歸納 問題1 在500ml水中有一個草履蟲，現(xiàn)從中隨機抽取2ml水樣放到顯微鏡下觀察，求發(fā)現(xiàn)草履蟲的概率. 問題2 取一根長為4米的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長度都不少于1米的概率是多少？ 設計意圖： 1．讓學生分別體會用體積、長度之比來度量概率，加深學生對幾何概型概念的理解； 2．強化解決幾何概型問題的關鍵是抓住問題的實質，找出臨界狀態(tài)。這是解決幾何概型問題的第一個關鍵. 問題3 如圖2, 設為圓周上一定點，在圓周上等可能地任取一點與連結，求弦長超過半徑的概率？ 由學生討論解答. 預期思路1：(見圖3) 根據題意，在圓周上隨機取一點，有無限種可能，而每一點被取到的機會都一樣，滿足幾何概型的特點，可以考慮用幾何概型求解. 先找臨界狀態(tài)，即弦長等于半徑時所取的點的位置.找到兩個位置，使得和是兩個全等的正三角形.即在取點時弦長剛好等于半徑；而在和兩段劣弧上取點時弦長小于半徑；在這段優(yōu)弧上取點時，弦長超過半徑。因此問題轉化 為弧長之比. . 預期思路2：（見圖4）也可以轉化為角度之比. . 預期思路3：（見圖5）也可以轉化為面積之比. . 提出問題：為什么這道題可以用弧長、角度、面積等不同的幾何度量去求解？ 由學生分組討論,給出回答：因為在半徑一致的情況下，弧長之比等于角度之比，也等于面積之比. . 設計意圖：加深學生對幾何概型的理解，從而抓住解決幾何概型問題的實質. 問題4 如圖6,將一個長與寬不等的長方形水平放置，長方形對角線將其分成四個區(qū)域.在四個區(qū)域內涂上紅、藍、黃、白四種顏色，并在中間裝個指針，使其可以自由轉動.對于指針停留的可能性，下列說法正確的是（ ） A．一樣大 B. 黃、紅區(qū)域大 C. 藍、白區(qū)域大 D. 由指針轉動圈數確定 設計意圖：通過與引例2對比，使學生發(fā)現(xiàn)這兩個問題選擇的正確幾何度量應該是“角度”，而不是“面積”.而引例2之所以用面積比也能解決問題，是因為其面積比恰好等于角度比. 提出問題：如何才能找到最恰當的幾何度量呢？ 引導學生找問題中的“提示”.如問題3中在圓周上任意取點，因此選取弧長作為幾何度量是最恰當的方法. 幾何度量的正確選擇是解決幾何概型問題的第二個關鍵. 4。鞏固深化 練習1 如圖7,在面積為的的邊上任取一點，求的面積小于的概率. 練習2 如圖8,向面積為的內任投一點，求的面積小于的概率. 練習3 如圖9,向體積為的三棱錐內任投一點，求三棱錐的體積小于的概率. 設計意圖：通過這3個問題的對比，加深學生對幾何度量選取的理解，關鍵是判斷在何處取點. 問題5 一海豚在水池中自由游弋，水池為長30m，寬20m的長方形(如圖10)，求此刻海豚嘴尖離岸邊不超過2m的概率. 問題6 平面上畫了一些彼此相距的平行線，把一枚半徑為的硬幣任意擲在這平面上(如圖11)，求硬幣不與任一條平行線相碰的概率． 設計意圖： 1．開拓學生的思路，進一步提高學生分析、解決問題的能力； 2．引導學生歸納總結解決幾何概型問題的第三個關鍵：物化為點. 如問題5 中，我們選擇了海豚的嘴尖為研究對象，問題6中，我們則選擇硬幣的中心為研究對象.物化為點之后，研究起來會更加便捷.在處理問題6時，先由學生自主思考，而后合作交流，發(fā)表自己的看法，培養(yǎng)學生概括歸納的能力。 5．課堂小結 這個工作我準備交給學生去做。讓學生自己總結：這節(jié)課你學到了什么？通過這節(jié)課你掌握了哪些方法？應該注意些什么問題？有哪些思想是在以后的學習中可以借鑒的等等，引導學生對這節(jié)課的內容加以鞏固深化. 課后反思 本節(jié)課采用了類比的思維方式，讓學生明確古典概型與幾何概型的異同。在啟發(fā)式教學方式的引領下，以問題串的形式開啟學生思維之門。通過課后檢測，發(fā)現(xiàn)本節(jié)課學生的學習效果比較不錯. 我認為本節(jié)課有以下五個方面做得比較成功. 1．通過具體的問題情境引入，容易激發(fā)學生的學習興趣和求知欲. 2．通過與古典概型對比，產生矛盾，促使學生迫切想去探求解決問題的方法. 3．分解難度，將抽象的概念“解剖”，易于理解. 4．問題設置層層遞進，由淺入深，有層次、有目標地解決各個難點，符合學生的學習規(guī)律. 5．本節(jié)課中所體現(xiàn)的極限思想、類比思想、轉化思想等將會對學生的思維發(fā)展有所幫助. 本節(jié)課的不足之處在于教師做的準備工作太多，問題設置得過于緊密，使得學生發(fā)揮的空間不夠.如何設計問題才能使學生的思維更活躍，不僅能認識問題、解決問題，還能創(chuàng)設問題？這也是我一直在思考的，還望各位同仁不吝賜教. 另外，經典的“約會問題”本來是幾何概型能夠解決的問題中最有代表性的，但是由于其中涉及到的線性規(guī)劃知識要在必修五中才能夠學到，因此本節(jié)課沒有將其設計在內. 以上就是我對《幾何概型》這節(jié)課的設計，歡迎各位專家朋友批評指正，謝謝大家！ 2