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2019-2020年新人教B版高中數(shù)學(xué)（必修4）3.1.1《兩角和與差的余弦》word說課稿 一、教材分析： ㈠、地位和作用： 兩角和與差的正弦、余弦、正切是本章的重要內(nèi)容，是正弦線、余弦線和誘導(dǎo)公式等知識的延伸，是后繼內(nèi)容二倍角公式、和差化積、積化和差公式的知識基礎(chǔ)，對于三角變換、三角恒等式的證明和三角函數(shù)式的化簡、求值等三角問題的解決有重要的支撐作用。本課時(shí)主要講授平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式、兩角和與差的余弦公式以及誘導(dǎo)公式。 ㈡、教學(xué)目標(biāo)： 1、知識目標(biāo)： （1）使學(xué)生了解平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式的推導(dǎo)并熟記公式； （2）使學(xué)生理解兩角和與差的余弦公式和誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)； （3） 使學(xué)生能夠從正反兩個(gè)方向運(yùn)用公式解決簡單應(yīng)用問題。 2、能力目標(biāo)： ①、培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的意識和習(xí)慣； ②、培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)意識，特殊值法的應(yīng)用意識； ③、培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，邏輯推理能力和合作學(xué)習(xí)能力。 3、情感目標(biāo)： ①、通過觀察、對比體會公式的線形美，對稱美； ②、培養(yǎng)學(xué)生不怕困難，勇于探索的求知精神。 （設(shè)計(jì)依據(jù)：建構(gòu)主義理論認(rèn)為，學(xué)生的能力培養(yǎng)不是單方面的知識教育，而應(yīng)該是知識、能力、情感三維一體的一個(gè)完整體系，因此，我在教學(xué)中設(shè)計(jì)三方面的目標(biāo)要求。其中知識目標(biāo)是近期目標(biāo)，另兩個(gè)目標(biāo)是遠(yuǎn)期目標(biāo)。） ㈢、教學(xué)重、難點(diǎn)： 1、平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式的推導(dǎo)和應(yīng)用是本節(jié)的一個(gè)重點(diǎn)； 2、兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)和應(yīng)用是本節(jié)的又一個(gè)重點(diǎn)，也是本節(jié)的一個(gè)難點(diǎn)。 （設(shè)計(jì)依據(jù)：平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式在本節(jié)課中是‘兩角和余弦公式推導(dǎo)’的主要依據(jù)，在后繼知識中也有廣泛的應(yīng)用，所以是本節(jié)的一個(gè)重點(diǎn)。由于 ‘兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)和應(yīng)用’對后幾節(jié)內(nèi)容能否掌握具有決定意義，在三角變換、三角恒等式的證明、三角函數(shù)式的化簡求值等方面有著廣泛的應(yīng)用，因此也是本節(jié)的一個(gè)重點(diǎn)。由于其推導(dǎo)方法的特殊性和推導(dǎo)過程的復(fù)雜性，所以也是一個(gè)難點(diǎn)。） 二、教學(xué)方法： 1、創(chuàng)設(shè)情境----提出問題----探索嘗試----啟發(fā)引導(dǎo)----解決問題。 （設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)情境有利于問題自然、流暢地提出，提出問題是為了引發(fā)思考，思考的表現(xiàn)形式是探索嘗試，探索嘗試是思維活動(dòng)中最有意義的部分，激發(fā)學(xué)生積極主動(dòng)的思維活動(dòng)是我們每節(jié)課都應(yīng)追求的目標(biāo)。給學(xué)生的思維以適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)并不一定會降低學(xué)生思維的層次，反而能夠提高思維的有效性。從而體現(xiàn)教師主導(dǎo)作用和學(xué)生主體作用的和諧統(tǒng)一。） 2、教具：多媒體投影系統(tǒng)。 本節(jié)課中‘平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式’雖然以前曾經(jīng)用過，但其證明對學(xué)生來說仍然具有一定難度，為了使學(xué)生便于理解，采用幾何畫板動(dòng)畫演示，增加直觀性，減少講授時(shí)間；兩角和的余弦公式的推導(dǎo)也通過幾何畫板動(dòng)畫掩飾來幫助學(xué)生認(rèn)識、理解、加深印象。 （多媒體系統(tǒng)可以有效增加課堂容量，色彩的強(qiáng)烈對比可以突出對比效果；動(dòng)畫的應(yīng)用可以將抽象的問題直觀化，體現(xiàn)直觀性原則。） 三、學(xué)法指導(dǎo)： 1、要求學(xué)生做好正弦線、余弦線、同一坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)間距離公式，特別是用角的余弦和正弦表示終邊上特殊點(diǎn)的坐標(biāo)這些必要的知識準(zhǔn)備。(體現(xiàn)學(xué)習(xí)過程中循序漸進(jìn)，溫故知新的認(rèn)知規(guī)律。) 2、讓學(xué)生注意觀察、對比兩角和與差的余弦公式中正弦、余弦的順序；角的順序關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，并通過觀察體會公式的對稱美。 四、教學(xué)過程： 教學(xué)程序 課題引入 引言：同學(xué)們，前面我們學(xué)習(xí)了任意角的三角函數(shù)，我們知道它也是一種運(yùn)算。在以前的運(yùn)算中有乘法對加法的分配律：a(b+c)=ab+ac，那么：cos（α+β）=cosα+cosβ是否也成立呢？如果成立為什么？如果不成立，它又等于什么呢？這正是我們今天要研究的內(nèi)容。 揭示課題：兩角和與差的余弦。 通過創(chuàng)設(shè)問題情境，自然流暢地提出問題，揭示課題，引發(fā)學(xué)生思考。使學(xué)生目標(biāo)明確、迅速進(jìn)入角色。 （一）入門 揭示課題，展示目標(biāo)，指出重點(diǎn)，說明難點(diǎn)。 師：下列兩個(gè)等式成立嗎？ ⑴cos75=cos(45 30)=cos45 cos30 ⑵cos15=cos(45-30)=cos45-cos30 生：由于cos45 cos30= 1，而cos75＜1，因此，cos(45 30)≠cos45 cos30，由于cos45-cos30= 0，而cos15＞0，因此，cos(45-30)≠cos45-30 師：究竟cos75=? cos15=? 這就是我們這節(jié)課將共同學(xué)習(xí)與探討的兩角和與差的余弦公式。（板書“兩角和與差的余弦”） 這一章中一共有四十多個(gè)公式，這是其中第一個(gè)公式，如果我們抓住這第一公式，后面的公式則勢如破竹，迎刃而解，從中說明學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的必要性。 (二)入境 1、提出問題設(shè)置情境，導(dǎo)入新知 通過以上驗(yàn)證，我們很快知道cos（45-30）=cos45-cos30是錯(cuò)誤的，請同學(xué)們回顧一下我們提出的問題：cos（45 30），cos（45-30）能否用45與30的角的三角函數(shù)來表達(dá)？即如何用α與β。各自用三角函數(shù)表示cos(α β)=？，也就是我們可以把sinα、cosα、sinβ、cosβ當(dāng)成已知數(shù)去求cos(α β)。 2、學(xué)法指導(dǎo)，探索新知 在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，大家已體會到數(shù)形結(jié)合的思想是很重要的，我們現(xiàn)在怎么辦呢？ 生：建立平面直角坐標(biāo)系，把α、β與α β畫出來，根據(jù)單位圓中的正弦線與余弦線的定義。（此時(shí)教師把畫圖在黑板上） 師：啟發(fā)學(xué)生在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出單位圓，并以X軸正半軸為始邊分別作α、β、α β這三個(gè)角（圖1）。 生：共同始邊與單位圓交點(diǎn)坐標(biāo)是P1(1，0)，α、β、α β的終邊與單位圓的交點(diǎn)是： P2（cosα，sinα），P3(cosβ，sinβ) P4(cos（α β)，sin（α β） 師：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)P1、P2、P3、P4這四點(diǎn)坐標(biāo)，出現(xiàn)了cosα，cosβ，cos(α β)，α β的終邊與單位圓的交點(diǎn)P4的坐標(biāo)是用α β的三角函數(shù)線表示的，故可考慮尋找出與線段P1P4相等的另一線段，利用（多媒體展示）。將△P1OP4進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，線段P1P4的長度保持不變，將△P1OP4旋轉(zhuǎn)到哪里呢？（讓學(xué)生自己思考、探索、發(fā)現(xiàn)） 生：要想得到α、β、α β等量關(guān)系應(yīng)將△P1OP4旋轉(zhuǎn)到一邊與α或β終邊重合的位置，即將△P1OP4旋轉(zhuǎn)到△P5OP2的位置，如圖2，求出P5點(diǎn)坐標(biāo)為（cos(-β)，sin(-β)）。 師：讓學(xué)生自己用兩點(diǎn)間的距離公式完成由|P1P4|=|P2P5|得出結(jié)論的運(yùn)算過程。即：cos(α β)=cosαcosβ-sinαsinβ（板書）。接著引導(dǎo)學(xué)生觀察公式的結(jié)構(gòu)特征，并強(qiáng)調(diào)α、β為任意角，故啟發(fā)學(xué)生將上公式中的β?lián)Q為-β，公式怎樣？（提問）生：cos(α-β)=cosαcosβ sinαsinβ 師：再次引導(dǎo)學(xué)生將以上兩個(gè)公式進(jìn)行比較，注意區(qū)別 （三）入理 1、質(zhì)疑答辯，排難解惑 為了進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生對公式的理解記憶，下面設(shè)計(jì)三個(gè)例題：例1讓學(xué)生熟悉公式；例2是公式逆用來增強(qiáng)學(xué)生對公式記憶理解；例3作變式訓(xùn)練。從而提高學(xué)生的綜合計(jì)算能力。 例1：不查表，計(jì)算下列各式的值。 ⑴cos75 ⑵cos15 例2：化簡 ⑴cos42cos18-sin42sin18 ⑵cos70sin40-sin110cos40 例3：已知sinα= ，α∈（ ）；cos 的值。 以上三個(gè)例題都由學(xué)生自己先練，然后巡堂了解，及時(shí)用物投影機(jī)將學(xué)生的解答反饋、展示、講解。 2、互問互檢，鞏固強(qiáng)化 請學(xué)生結(jié)合例題，自己編相關(guān)的題讓同桌解答，教師巡堂視選較好的題，利用實(shí)物投影讓學(xué)生評價(jià)解答。 （四）診斷 1、分層總結(jié)，全體達(dá)標(biāo) 師：下面請同學(xué)們小結(jié)一個(gè)本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容。 生：兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)及其初步應(yīng)用。 師：在推導(dǎo)兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)過程中，運(yùn)用了什么數(shù)學(xué)思想方法？ 生：用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想解決問題。 2、承上啟下，留下懸念 為了下一課時(shí)的學(xué)習(xí)內(nèi)容并結(jié)合學(xué)生提出的問題安排，下面2道題練習(xí)，這樣可以達(dá)到承上啟下的目的，也激發(fā)了學(xué)生的求知欲望，留下很好的懸念。 ⑴不查表求sin（90-75），及sin（90 15）的值。 ⑵若α、β均為銳角，且 ， ，求角β。 1、畫出一個(gè)銳角、一個(gè)鈍角的正弦線、余弦線。 2、如果角α的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P，點(diǎn)P的坐標(biāo)能否用角α的三角函數(shù)值表示？怎樣表示？ 3、寫出同一坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)間距離公式。 通過復(fù)習(xí)使學(xué)生熟悉基礎(chǔ)知識、特別是用角的正、余弦表示特殊點(diǎn)的坐標(biāo)，為新課的推進(jìn)做準(zhǔn)備。 學(xué)生通過獨(dú)立思考和分組討論，可以用特殊值法證明猜想不成立，三種方法的出現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生多角度考慮問題的發(fā)散思維能力，合作學(xué)習(xí)的習(xí)慣。隨后的提問會激發(fā)學(xué)生想要解決問題的主觀需要，提高思維的主動(dòng)性。 1、通過幾何畫板動(dòng)態(tài)演示，給學(xué)生以直觀感受，讓他們認(rèn)識到：平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離和同一坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)間距離總能構(gòu)成一個(gè)直角三角形，利用勾股定理即可解決。 2、兩角和余弦公式的證明中存在兩個(gè)困難：①三角函數(shù)表示單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)，它雖然算理簡單，但學(xué)生由于陌生而很不習(xí)慣，通過前 面習(xí)環(huán)節(jié)應(yīng)該有所熟悉。②在用到：cos2（α+β）+sin2（α+β）=1時(shí)，需要教師特別指出，公式中只要求是“同角”，并不在乎角的具體度數(shù)和形式。 3、兩角和的余弦學(xué)完之后，要強(qiáng)調(diào)其中兩角均為任意角，這樣一來，兩角差的余弦只是兩角和的余弦的特殊形式。 4、兩個(gè)誘導(dǎo)公式學(xué)生在初中就學(xué)習(xí)過，但今天應(yīng)通過證明，并將以前的銳角拓展到任意角。（2）式的證明實(shí)際上是（1）式的逆應(yīng)用，體現(xiàn)了代數(shù)思想，也實(shí)踐了學(xué)以制用的原則。 5、例1的作用一方面讓學(xué)生熟練兩角和與差的余弦公式，另一方面也向?qū)W生展示了公式的一種實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，即：將非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的和與差。 例2的目的在于熟悉公式，同時(shí)對同角三角函數(shù)關(guān)系有復(fù)習(xí)的作用，其難度不是很大，在提供了公式之后，學(xué)生應(yīng)當(dāng)能夠完成. 小結(jié) 本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了下面兩組公式，在公式的記憶上，我們應(yīng)注意函數(shù)和符號的變化。 1、平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式： P1P2= (x2-x1)2+(y2-y1)2 2、兩角和與差的余弦： （同名之積相加減，運(yùn)算符號左右反。） cos（α+β）= cosα cosβ- sinα sinβ cos（α-β）= cosα cosβ+ sinα sinβ 7、小節(jié)以十四字口訣概括兩角和與差的三角函數(shù)關(guān)系式，既體現(xiàn)了公式的本質(zhì)特征，又朗朗上口，便于記憶。有助于學(xué)生對本節(jié)課的內(nèi)容更好地掌握。 練習(xí)鞏固 8、課堂練習(xí)有助于學(xué)生進(jìn)一步熟悉公式，加深學(xué)生對公式的理解和認(rèn)識?；仞伣虒W(xué)效果。思考題對學(xué)生本節(jié)課所學(xué)知識方法的考察要求較高，但能力較強(qiáng)學(xué)生能夠完成，也是為下一節(jié)課的內(nèi)容做準(zhǔn)備。體現(xiàn)問題必須略高于學(xué)生現(xiàn)有知識水平的原則。 設(shè)計(jì)說明 本節(jié)課授課內(nèi)容為是第一課時(shí)。本節(jié)課的教學(xué)對正弦線、余弦線定義；用角的余弦、正弦表示單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)；同圓上相等的圓心角所對的弦長相等這些知識有較強(qiáng)的依耐性，因此在復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)做了必要的準(zhǔn)備。本節(jié)課采用“創(chuàng)設(shè)情境----提出問題----探索嘗試----啟發(fā)引導(dǎo)----解決問題”的過程來實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。有利于知識產(chǎn)生、發(fā)展、解決這一認(rèn)知過程的完整體現(xiàn)。在教學(xué)手段上使用多媒體技術(shù)，使重點(diǎn)得到突出，抽象變得直觀，有效增加課堂容量。 在教學(xué)過程環(huán)節(jié)，采用先提出問題，再逐步展開的方式，能夠充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，讓學(xué)生的探索具有明確的目的性，減少盲目性。在兩角和的余弦公式得到后，利用代數(shù)思想推出兩角差的余弦公式和誘導(dǎo)公式，使學(xué)生進(jìn)一步體會代數(shù)思想的深刻性。通過對公式的對比，可以加深學(xué)生對公式特征的印象，同時(shí)體會公式的線形美與對稱美，給學(xué)生以美的陶冶。作業(yè)的布置中，突出了學(xué)生學(xué)習(xí)的個(gè)體差異現(xiàn)實(shí)，使學(xué)有余力的學(xué)生產(chǎn)生挑戰(zhàn)的心理感受，也為下一節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備。