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2019-2020年蘇教版高中數(shù)學(xué)（選修1-2）3.1《數(shù)系的擴充》word教案2篇 一、數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念 　　1．復(fù)數(shù)的引入：回想數(shù)系的每一次擴充都主要來自兩個方面：一方面數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需要；另一方面由于實際的需要.而復(fù)數(shù)的引入屬于前者 　　我們知道，方程在實數(shù)范圍內(nèi)無解，于是需引入新數(shù)i使方程有解，顯然，需要 　　數(shù)系的擴充過程：自然數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集復(fù)數(shù)集． 　　2．復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：由實數(shù)的運算類似地得到新數(shù)i可以同實數(shù)進行加、減、乘運算，于是得到：形如的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，并且把的這一表現(xiàn)形式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，其中的a叫做復(fù)數(shù)的實部，b叫復(fù)數(shù)的虛部．注意復(fù)數(shù)的虛部是，而不是． 　　3．復(fù)數(shù)相等的充要條件 　　且 　　注意事項： 　　（1）復(fù)數(shù) 　?。?）復(fù)數(shù)集 　?。?）兩個實數(shù)可以比較大小，但兩個復(fù)數(shù)如果不全是實數(shù)，則不能比較大小. 二、復(fù)數(shù)的幾何意義 　　1．復(fù)數(shù)可以用平面直角坐標(biāo)系的點來唯一表示，于是： 　　復(fù)數(shù)集與坐標(biāo)系中的點集，可以建立一一對應(yīng)． 　　2．建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面.在復(fù)平面內(nèi)，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸，x軸的單位是１，y軸的單位是i，實軸與虛軸的交點叫做原點，且原點對應(yīng)復(fù)數(shù)0．于是有下面的一一對應(yīng)關(guān)系：復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點． 　　3．由于平面向量與坐標(biāo)平面的點一一對應(yīng)，于是有： 　　復(fù)數(shù)平面向量． 　　在這些意義下，我們就可以把復(fù)數(shù)說成點或向量，這給研究復(fù)數(shù)運算的幾何意義帶來了方便． 　　4．復(fù)數(shù)的模就是這個復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的模，復(fù)數(shù)的模為． 　　三、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算 　　1．復(fù)數(shù)的加法、減法 　?、龠\算法則． 　　其運算法則類似于多項式的合并同類項 ②復(fù)數(shù)加法的運算律 　　對于任意的，有： 　　交換律：． 　　結(jié)合律：． 　　③復(fù)數(shù)加法的幾何意義 　　設(shè)，分別與復(fù)數(shù)，對應(yīng)，根據(jù)向量加法的平行四邊形（三角形）法則，則有（如圖1）． 　　由平面向量的坐標(biāo)運算：，即得與復(fù)數(shù)對應(yīng)． 　　可見，復(fù)數(shù)的加法可以按向量加法的法則進行． 　?、軓?fù)數(shù)減法的幾何意義 　　設(shè)，分別與復(fù)數(shù)，對應(yīng)（如圖2）， 　　根據(jù)向量加法的三角形法則有：． 　　于是：． 　　由平面向量的坐標(biāo)運算：，即得與復(fù)數(shù)對應(yīng)． 　　于是得到向量的減法運算法則為：兩個復(fù)數(shù)的差與連接兩個向量的終點并指向被減數(shù)的向量相對應(yīng)． 　　2．復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算 　　①運算法則：． 　　兩個復(fù)數(shù)相乘類似于兩個多項式相乘，只是把換為，并且把實部與虛部分別合并即可． 　?、谶\算律：交換律：． 　　結(jié)合律：． 　　分配律：． 　　③虛數(shù)i的乘方及其規(guī)律：，，，，，，，，． 　　可見，，，，，即具有周期性且最小正周期為4． 　?、芄曹棌?fù)數(shù) 　　與互為共軛復(fù)數(shù)，即當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)． 　　它的幾何意義是：共軛的兩個復(fù)數(shù)關(guān)于x軸對稱．主要用于復(fù)數(shù)的化簡以及復(fù)數(shù)的除法運算. 　　3．復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算 　　運算法則： 　　其實質(zhì)是分母“實數(shù)化”，即分子以及分母同乘以分母的“實數(shù)化”因式．類似于以前所學(xué)的把分母“有理化”． 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入復(fù)習(xí)指導(dǎo) 『教材重點』：１．復(fù)數(shù)的相等，復(fù)數(shù)與實數(shù)以及虛數(shù)的關(guān)系，復(fù)數(shù)的幾何意義；２．復(fù)數(shù)的加減、乘除運算法則，以及復(fù)數(shù)加法、減法的幾何意義；３．體會數(shù)學(xué)思想方法－類比法． 　　　　　『教材難點』：復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)加法以及復(fù)數(shù)減法的幾何意義，復(fù)數(shù)的除法． 　『復(fù)習(xí)過程指導(dǎo)』 在復(fù)習(xí)本章時，我們重點從數(shù)學(xué)思想方法上勾通知識的內(nèi)在聯(lián)系：(1)復(fù)數(shù)與實數(shù)、有理數(shù)的聯(lián)系；（2）復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的加法、減法運算與平面向量的加法、減法運算的聯(lián)系；（3）復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的加法、減法、乘法運算與多項式的加法、減法、乘法運算的聯(lián)系． 在知識上，在學(xué)法上，在思想方法上要使知識形成網(wǎng)絡(luò)，以增強記憶，培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)邏輯思維能力．其數(shù)學(xué)思想方法（類比法、化一般為特殊法）網(wǎng)絡(luò)如下： 　　　　　 多項式運算 類比 復(fù)數(shù) 轉(zhuǎn) 化 運算 　類比 向量 運算 實數(shù) 運算 類比 數(shù)軸上向量運算 轉(zhuǎn)化 有理數(shù) 運算 　　　一．?dāng)?shù)學(xué)思想方法總結(jié) 1數(shù)學(xué)思想方法之一：類比法 ?。?）復(fù)數(shù)的運算 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法、減法運算法則 　　　　　　 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算運算法則： 　　　　　　 顯然在運算法則上類似于多項式的加減法（合并同類項），以及多項式的乘法，這就給我們對復(fù)數(shù)的運算以及記憶帶來了極大的方便． （2）復(fù)數(shù)的幾何意義 我們知道，實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)的；有序?qū)崝?shù)對與直角坐標(biāo)平面內(nèi)的點一一對應(yīng)；類似的我們有： 復(fù)數(shù)集C＝與坐標(biāo)系中的點集一一對應(yīng)．于是： 復(fù)數(shù)集＝復(fù)平面內(nèi)的點 　　　　　　復(fù)數(shù)集＝平面向量 例1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)＋(1＋i)2對應(yīng)的點 位于　( ) (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限 解答：復(fù)數(shù)＋(1＋i)2＝ 　　?。? 因為復(fù)數(shù)對應(yīng)著直角坐標(biāo)平面內(nèi)的點， 　　　　　故在第二象限，答案為B． 　　　　此題一方面考查了復(fù)數(shù)的運算能力，另一方面考察了對復(fù)數(shù)的幾何意義的理解． 例2．非零復(fù)數(shù)分別對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)向量，若= 則向量與的關(guān)系必有（ ） A ．= B． C ． D．共線 圖１ A B C 解答： 由向量的加法及減法可知： 　　　　?。? 　　　　　　?。?　　　　 由復(fù)數(shù)加法以及減法的幾何意義可知： 　對應(yīng)的模 　對應(yīng)的模 　　　　　　又因為=，且非零復(fù)數(shù)分別對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)向量　 　　　　　　所以四邊形OACB是正方形 　　　　　　因此，故答案選B． 　　注：此題主要考察了復(fù)數(shù)加法以及減法的幾何意義 （3）復(fù)數(shù)的化簡 虛數(shù)除法運算的分母“實數(shù)化”，類似的有實數(shù)運算的分母“有理化”． 例３若復(fù)數(shù)（∈R，i為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實數(shù)的值為 （A）-2 　 　 (B)4 　　(C) -6 　 (D)6 解答：由＝＝ ＝　 　因為復(fù)數(shù)是純虛數(shù) 　　　　所以且 　　　　解得 　　　　故答案選C． 　　注：這里在復(fù)數(shù)的化簡中主要用了一對共軛復(fù)數(shù)的積是實數(shù)＝５，一般地（）（）＝ 　　這也是一個復(fù)數(shù)與實數(shù)轉(zhuǎn)化的過程，即是純虛數(shù)可得：且 2．?dāng)?shù)學(xué)思想方法之二　　轉(zhuǎn)化法 　　　　　我們知道在運算上，高次方程要轉(zhuǎn)化為低次方程，多元方程要轉(zhuǎn)化為一元方程進行運算；實數(shù)的運算要轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的運算；類似地，有關(guān)虛數(shù)的運算要轉(zhuǎn)化為實數(shù)的運算． 　　　　　基礎(chǔ)知識：復(fù)數(shù) 例４若 , ，且為純虛數(shù)，則 實數(shù)a的值為 ． 　解答：＝＝ 因為為純虛數(shù) 所以且．解得 　　　例５．設(shè)、、、，若為實數(shù)，則， （A）（B） （C）（D） 　解答：　由　　 　　　因為 為實數(shù)， 　　　所以其虛部，即 　　　故答案選C． 這里先把分母“實數(shù)化”，即分子以及分母同乘以分母的“實數(shù)化”因式． 類似于以前所學(xué)的實數(shù)化簡時的把分母“有理化”．再把它轉(zhuǎn)化為實數(shù)的運算． 　　二．解題規(guī)律總結(jié) 　　?。庇嘘P(guān)虛數(shù)單位的運算及拓展 虛數(shù)的乘方及其規(guī)律：，＝－１，，，……（） 拓展（1）任何相鄰四個數(shù)的和為０； 　　（2）指數(shù)成等差的四個數(shù)的和為０；　 例如：＝０ 　　　　　　　　（3）連續(xù)多個數(shù)相加的規(guī)律．　 　　　　　　　 例6．求…的值 　　　　　解答：共有xx－10＋１＝１997項 　　　　　　由于1997＝4499＋1 　　　　　　由于連續(xù)4個的和等于0 　　　　　　因此原式＝＝－ 　2．有關(guān)復(fù)數(shù)的幾個常用化簡式 ，， 例7．　　　?。ā　。? A．　　B．－　　C．　　D．－ 　　　解答： 　　　　　故答案選A 　　　　　　3．有關(guān)復(fù)數(shù)的綜合運算 　　　　　例７、（本題滿分12分）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程（為虛數(shù)單位） 　　解法一．設(shè)，則 　　　由于 　　　＝＝ 所以＝ 　　　根據(jù)復(fù)數(shù)的相等得 　　　解得 　　　因此，即為所求． 　　　　　　　解題評注：（1）設(shè)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式（）以代入法解題的一種基本而常用的方法；（2）復(fù)數(shù)的相等（＝　?。┦菍崿F(xiàn)復(fù)數(shù)運算轉(zhuǎn)化為實數(shù)運算的重要方法．這兩種方法必須切實掌握； 　　　　　三．高考命題趨勢 　從新教材的特點來看，高考題的難度不會大，主要以客觀題的形式考察基礎(chǔ)知識．以上結(jié)合高考題給出了復(fù)習(xí)的方法，以及重點難點，希望同學(xué)們結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法，使知識形成網(wǎng)絡(luò)，系統(tǒng)全面的掌握所學(xué)知識．