新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫(kù) 第7章學(xué)案34
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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 學(xué)案34 基本不等式及其應(yīng)用 導(dǎo)學(xué)目標(biāo): 1.了解基本不等式的證明過(guò)程.2.會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大(小)值問(wèn)題. 自主梳理 1.基本不等式≤ (1)基本不等式成立的條件:__________. (2)等號(hào)成立的條件:當(dāng)且僅當(dāng)______時(shí)取等號(hào). 2.幾個(gè)重要的不等式 (1)a2+b2≥______ (a,b∈R). (2)+≥____(a,b同號(hào)). (3)ab≤2 (a,b∈R). (4)2____. 3.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 設(shè)a>0,b>0,則a,b的算術(shù)平均數(shù)為_(kāi)_________,幾何平均數(shù)為_(kāi)_______,基本
2、不等式可敘述為:____________________________________. 4.利用基本不等式求最值問(wèn)題 已知x>0,y>0,則 (1)如果積xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)______時(shí),x+y有最____值是______(簡(jiǎn)記:積定和最小). (2)如果和x+y是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)______時(shí),xy有最____值是________(簡(jiǎn)記:和定積最大). 自我檢測(cè) 1.“a>b>0”是“ab<”的______________條件. 2.已知函數(shù)f(x)=x,a、b∈(0,+∞),A=f,B=f(),C=f,則A、B、C的大小關(guān)系是______________.
3、3.下列函數(shù)中,最小值為4的函數(shù)是________(填上正確的序號(hào)).
①y=x+;
②y=sin x+(0
4、. 變式遷移1 (2011·重慶改編)已知a>0,b>0,a+b=2,則y=+的最小值是________. 探究點(diǎn)二 基本不等式在證明不等式中的應(yīng)用 例2 已知a>0,b>0,a+b=1,求證:(1+)(1+)≥9. 變式遷移2 已知x>0,y>0,z>0. 求證:≥8. 探究點(diǎn)三 基本不等式的實(shí)際應(yīng)用 例3 (2010·鎮(zhèn)江模擬)某單位用2 160萬(wàn)元購(gòu)得一塊空地,計(jì)劃在該空地上建造一棟至少10層,每層2 000平方米的樓房.經(jīng)測(cè)算,如果將樓房建為x(x≥10)層,則每平方米的平均建筑費(fèi)用為56
5、0+48x(單位:元). (1)寫(xiě)出樓房平均綜合費(fèi)用y關(guān)于建造層數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式; (2)該樓房應(yīng)建造多少層時(shí),可使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少?最少值是多少? (注:平均綜合費(fèi)用=平均建筑費(fèi)用+平均購(gòu)地費(fèi)用,平均購(gòu)地費(fèi)用=) 變式遷移3 某國(guó)際化妝品生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場(chǎng)份額,擬在2012年英國(guó)倫敦奧運(yùn)會(huì)期間進(jìn)行一系列促銷(xiāo)活動(dòng),經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查和測(cè)算,化妝品的年銷(xiāo)量x萬(wàn)件與年促銷(xiāo)費(fèi)t萬(wàn)元之間滿(mǎn)足3-x與t+1成反比例,如果不搞促銷(xiāo)活動(dòng),化妝品的年銷(xiāo)量只能是1萬(wàn)件,已知2012年生產(chǎn)化妝品的設(shè)備折舊、維修等固定費(fèi)用為3萬(wàn)元,每生產(chǎn)1萬(wàn)件化妝品需再投
6、入32萬(wàn)元的生產(chǎn)費(fèi)用,若將每件化妝品的售價(jià)定為其生產(chǎn)成本的150%與平均每件促銷(xiāo)費(fèi)的一半之和,則當(dāng)年生產(chǎn)的化妝品正好能銷(xiāo)完. (1)將2012年的利潤(rùn)y(萬(wàn)元)表示為促銷(xiāo)費(fèi)t(萬(wàn)元)的函數(shù). (2)該企業(yè)2012年的促銷(xiāo)費(fèi)投入多少萬(wàn)元時(shí),企業(yè)的年利潤(rùn)最大? (注:利潤(rùn)=銷(xiāo)售收入-生產(chǎn)成本-促銷(xiāo)費(fèi),生產(chǎn)成本=固定費(fèi)用+生產(chǎn)費(fèi)用) 1.a(chǎn)2+b2≥2ab對(duì)a、b∈R都成立;≥成立的條件是a≥0,b≥0;+≥2成立的條件是ab>0,即a,b同號(hào). 2.利用基本不等式求最值必須滿(mǎn)足一正、二定、三相等三個(gè)條件,并且和為定值時(shí),積有最大值,積為定值時(shí),
7、和有最小值. 3.使用基本不等式求最值時(shí),若等號(hào)不成立,應(yīng)改用單調(diào)性法.一般地函數(shù)y=ax+,當(dāng)a>0,b<0時(shí),函數(shù)在(-∞,0),(0,+∞)上是增函數(shù);當(dāng)a<0,b>0時(shí),函數(shù)在(-∞,0),(0,+∞)上是減函數(shù);當(dāng)a>0,b>0時(shí)函數(shù)在,上是減函數(shù),在,上是增函數(shù);當(dāng)a<0,b<0時(shí),可作如下變形:y=-來(lái)解決最值問(wèn)題. (滿(mǎn)分:90分) 一、填空題(每小題6分,共48分) 1.設(shè)a>0,b>0,若是3a與3b的等比中項(xiàng),則+的最小值為_(kāi)_______. 2.已知不等式(x+y)≥9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x,y恒成立,則正實(shí)數(shù)a的最小值為_(kāi)_______. 3.已知a
8、>0,b>0,則++2的最小值是______. 4.(2011·南京模擬)一批貨物隨17列貨車(chē)從A市以a km/h的速度勻速直達(dá)B市,已知兩地鐵路線(xiàn)長(zhǎng)400 km,為了安全,兩列車(chē)之間的距離不得小于2 km,那么這批貨物全部運(yùn)到B市,最快需要________h. 5.設(shè)x,y滿(mǎn)足約束條件,若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by (a>0,b>0)的最大值為12,則+的最小值為_(kāi)_______. 6.(2010·浙江)若正實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足2x+y+6=xy,則xy的最小值是________. 7.(2011·江蘇,8)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的一條直線(xiàn)與函數(shù)f(x)=的圖象交于P,Q兩點(diǎn),則
9、線(xiàn)段PQ長(zhǎng)的最小值是________.
8.已知f(x)=32x-(k+1)3x+2,當(dāng)x∈R時(shí),f(x)恒為正值,則k的取值范圍為_(kāi)_____________.
二、解答題(共42分)
9.(14分)(1)已知0
10、內(nèi)車(chē)流量至少為10千輛/小時(shí),則汽車(chē)的平均速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)? 11.(14分)某加工廠(chǎng)需定期購(gòu)買(mǎi)原材料,已知每千克原材料的價(jià)格為1.5元,每次購(gòu)買(mǎi)原材料需支付運(yùn)費(fèi)600元,每千克原材料每天的保管費(fèi)用為0.03元,該廠(chǎng)每天需要消耗原材料400千克,每次購(gòu)買(mǎi)的原材料當(dāng)天即開(kāi)始使用(即有400千克不需要保管). (1)設(shè)該廠(chǎng)每x天購(gòu)買(mǎi)一次原材料,試寫(xiě)出每次購(gòu)買(mǎi)的原材料在x天內(nèi)總的保管費(fèi)用y1關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式; (2)求該廠(chǎng)多少天購(gòu)買(mǎi)一次原材料才能使平均每天支付的總費(fèi)用y最小,并求出這個(gè)最小值. 學(xué)案34 基本不等式及其應(yīng)用 答
11、案 自主梳理 1.(1)a≥0,b≥0 (2)a=b 2.(1)2ab (2)2 (4)≤ 3. 兩個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù) 4.(1)x=y(tǒng) 小 2 (2)x=y(tǒng) 大 自我檢測(cè) 1.充分不必要 2.A≤B≤C 3.③ 4.-2-1 5.[,+∞) 課堂活動(dòng)區(qū) 例1 解題導(dǎo)引 基本不等式的功能在于“和與積”的相互轉(zhuǎn)化,使用基本不等式求最值時(shí),給定的形式不一定能直接適合基本不等式,往往需要拆添項(xiàng)或配湊因式(一般是湊和或積為定值的形式),構(gòu)造出基本不等式的形式再進(jìn)行求解.基本不等式成立的條件是“一正、二定、三相等”,“三相等”就是必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件.
12、解 (1)∵x>0,y>0,+=1, ∴x+y=(x+y)=++10≥6+10=16. 當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí),上式等號(hào)成立,又+=1, ∴x=4,y=12時(shí),(x+y)min=16. (2)∵x<,∴5-4x>0. y=4x-2+=-+3 ≤-2 +3=1, 當(dāng)且僅當(dāng)5-4x=, 即x=1時(shí),上式等號(hào)成立,故當(dāng)x=1時(shí),ymax=1. (3)由2x+8y-xy=0,得2x+8y=xy,∴+=1. ∴x+y=(x+y)=10++ =10+2≥10+2×2× =18, 當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=2y時(shí)取等號(hào). 又2x+8y-xy=0,∴x=12,y=6. ∴當(dāng)x=12,y=6時(shí),x+y
13、取最小值18. 變式遷移1 解析 ∵a+b=2,∴=1. ∴+=(+)()=+(+)≥+2=(當(dāng)且僅當(dāng)=,即b=2a時(shí),“=”成立),故y=+的最小值為. 例2 解題導(dǎo)引 “1”的巧妙代換在不等式證明中經(jīng)常用到,也會(huì)給解決問(wèn)題提供簡(jiǎn)捷的方法. 在不等式證明時(shí),列出等號(hào)成立的條件不僅是解題的必要步驟,而且也是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)化是否有誤的一種方法. 證明 方法一 因?yàn)閍>0,b>0,a+b=1, 所以1+=1+=2+.同理1+=2+. 所以(1+)(1+)=(2+)(2+) =5+2(+)≥5+4=9. 所以(1+)(1+)≥9(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)等號(hào)成立). 方法二 (1+)(1+
14、)=1+++ =1++=1+,因?yàn)閍,b為正數(shù),a+b=1, 所以ab≤()2=,于是≥4,≥8, 因此(1+)(1+)≥1+8=9(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)等號(hào)成立). 變式遷移2 證明 ∵x>0,y>0,z>0, ∴+≥>0,+≥>0, +≥>0. ∴ ≥=8. 當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=z時(shí)等號(hào)成立. 所以(+)(+)(+)≥8. 例3 解題導(dǎo)引 1.用基本不等式解應(yīng)用題的思維程序?yàn)椋? →→→→ 2.在應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題時(shí),要注意以下四點(diǎn):(1)先理解題意,設(shè)變量,一般把要求最值的變量定為函數(shù);(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,把實(shí)際問(wèn)題抽象為函數(shù)最值問(wèn)題;(3)在定義域內(nèi)求
15、函數(shù)最值;(4)正確寫(xiě)出答案. 解 (1)依題意得 y=(560+48x)+ =560+48x+ (x≥10,x∈N*). (2)∵x>0,∴48x+≥2=1 440, 當(dāng)且僅當(dāng)48x=,即x=15時(shí)取到“=”, 此時(shí),平均綜合費(fèi)用的最小值為560+1 440=2 000(元). 答 當(dāng)該樓房建造15層時(shí),可使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少,最少值為2 000元. 變式遷移3 解 (1)由題意可設(shè)3-x=, 將t=0,x=1代入,得k=2.∴x=3-. 當(dāng)年生產(chǎn)x萬(wàn)件時(shí), ∵年生產(chǎn)成本=年生產(chǎn)費(fèi)用+固定費(fèi)用, ∴年生產(chǎn)成本為32x+3=32+3. 當(dāng)銷(xiāo)售x(萬(wàn)件)時(shí),
16、年銷(xiāo)售收入為 ×150%+t. 由題意,生產(chǎn)x萬(wàn)件化妝品正好銷(xiāo)完,由年利潤(rùn)=年銷(xiāo)售收入-年生產(chǎn)成本-促銷(xiāo)費(fèi),得年利潤(rùn)y= (t≥0). (2)y==50- ≤50-2=50-2=42(萬(wàn)元), 當(dāng)且僅當(dāng)=,即t=7時(shí),ymax=42, ∴當(dāng)促銷(xiāo)費(fèi)投入7萬(wàn)元時(shí),企業(yè)的年利潤(rùn)最大. 課后練習(xí)區(qū) 1.4 2.4 解析 不等式(x+y)≥9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x,y恒成立,則1+a++≥a+2+1≥9, ∴≥2或≤-4(舍去).∴正實(shí)數(shù)a的最小值為4. 3.4 解析 因?yàn)椋?≥2+2 =2≥4,當(dāng)且僅當(dāng)=且 =, 即a=b=1時(shí),取“=”號(hào). 4.8 解析 第一列貨車(chē)到達(dá)B
17、市的時(shí)間為 h,由于兩列貨車(chē)的間距不得小于2 km,所以第17列貨車(chē)到達(dá)時(shí)間為+=+≥8,當(dāng)且僅當(dāng)=,即a=100 km/h時(shí)成立,所以最快需要8 h. 5. 解析 不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分,當(dāng)直線(xiàn)ax+by=z (a>0,b>0)過(guò)直線(xiàn)x-y+2=0與直線(xiàn)3x-y-6=0的交點(diǎn)(4,6)時(shí),目標(biāo)函數(shù)z=ax+by (a>0,b>0)取得最大值12,即4a+6b=12,即2a+3b=6,而+=·=+≥+2=(a=b=時(shí),取“=”). 6.18 解析 由x>0,y>0,2x+y+6=xy,得 xy≥2+6(當(dāng)且僅當(dāng)2x=y(tǒng)時(shí),取“=”), 即()2-2-6≥0,
18、
∴(-3)·(+)≥0.
又∵>0,∴≥3,即xy≥18.
故xy的最小值為18.
7.4
解析 過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與f(x)=交于P、Q兩點(diǎn),則直線(xiàn)的斜率k>0,設(shè)直線(xiàn)方程為y=kx,由得或
∴P(,),Q(-,-)或P(-,-),Q(,).
∴PQ=
=2≥4.
8.(-∞,2-1)
解析 由f(x)>0得32x-(k+1)·3x+2>0,解得k+1<3x+,而3x+≥2,
∴k+1<2,k<2-1.
9.解 (1)∵0 19、-3x)的最大值為.(7分)
(2)已知點(diǎn)(x,y)在直線(xiàn)x+2y=3上移動(dòng),∴x+2y=3.
∴2x+4y≥2=2=2=4.
(12分)
當(dāng)且僅當(dāng)即x=,y=時(shí),“=”成立.
∴當(dāng)x=,y=時(shí),2x+4y的最小值為4.
(14分)
10.解 (1)y==≤
=≈11.08.(6分)
當(dāng)v=,即v=40千米/小時(shí)時(shí),車(chē)流量最大,最大值為11.08千輛/小時(shí).(9分)
(2)據(jù)題意有≥10,(11分)
化簡(jiǎn)得v2-89v+1 600≤0,即(v-25)(v-64)≤0,
所以25≤v≤64.
所以汽車(chē)的平均速度應(yīng)控制在[25,64]這個(gè)范圍內(nèi).
(14分)
11.解 20、 (1)每次購(gòu)買(mǎi)原材料后,當(dāng)天用掉的400千克原材料不需要保管費(fèi),第二天用掉的400千克原材料需保管1天,第三天用掉的400千克原材料需保管2天,第四天用掉的400千克原材料需保管3天,…,第x天(也就是下次購(gòu)買(mǎi)原材料的前一天)用掉最后的400千克原材料需保管(x-1)天.
∴每次購(gòu)買(mǎi)的原材料在x天內(nèi)總的保管費(fèi)用
y1=400×0.03×[1+2+3+…+(x-1)]
=6x2-6x.(6分)
(2)由(1)可知,購(gòu)買(mǎi)一次原材料的總費(fèi)用為6x2-6x+600+1.5×400x,
∴購(gòu)買(mǎi)一次原材料平均每天支付的總費(fèi)用為
y=(6x2-6x+600)+1.5×400=+6x+594.(9分)
∴y≥2+594=714,(12分)
當(dāng)且僅當(dāng)=6x,即x=10時(shí),取等號(hào).
∴該廠(chǎng)10天購(gòu)買(mǎi)一次原材料可以使平均每天支付的總費(fèi)用y最小,且最小為714元.(14分)
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