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大題精做10 圓錐曲線：定點(diǎn)、定值問題 [2019甘肅聯(lián)考]已知橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，直線的斜率為， 且原點(diǎn)到直線的距離為． （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）若不經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且與圓相切． 試探究的周長是否為定值，若是，求出定值；若不是，請說明理由． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由題可知，，，則， 直線的方程為，即，所以， 解得，， 又，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． （2）因?yàn)橹本€與圓相切， 所以，即． 設(shè)，，聯(lián)立，得， 所以， ，， 所以． 又，所以． 因?yàn)?，同理? 所以， 所以的周長是， 則的周長為定值． 1．[2019安慶期末]已知橢圓過點(diǎn)，焦距長，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)． （1）求橢圓的方程； （2）已知點(diǎn)，求證：為定值． 2．[2019東莞期末]已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，左右焦點(diǎn)分別為和，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)． （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）過橢圓的右頂點(diǎn)作兩條相互垂直的直線，，分別與橢圓交于點(diǎn)，（均異于點(diǎn)）， 求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)． 3．[2019漳州一模]已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，離心率為． （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）過橢圓的右焦點(diǎn)且斜率存在的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，證明：為定值．  1．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由條件焦距為，知，從而將代入方程， 可得，，故橢圓方程為． （2）當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線交橢圓于，， 由，可得， ，，，， ， 化簡得， 當(dāng)直線斜率為0時(shí)，，，， 即證為定值，且為． 2．【答案】（1）；（2）見解析． 【解析】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為， ，， ∴，∴，∴， 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． （2）①直線斜率存在，設(shè)直線，，， 聯(lián)立方程，消去得， ，， ，又， 由，得， 即，∴， ∴， ∴．解得，，且均滿足， 當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線過定點(diǎn)，與已知矛盾； 當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線過定點(diǎn)． ②由橢圓的對稱性所得，當(dāng)直線，的傾斜角分別為，，易得直線， ，直線，分別與橢圓交于點(diǎn)，， 此時(shí)直線斜率不存在，也過定點(diǎn)， 綜上所述，直線恒過定點(diǎn)． 3．【答案】（1）；（2）詳見解析． 【解析】解法一：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為， 由拋物線的焦點(diǎn)為，得，① 又，② 由①②及，解得， 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． （2）依題意設(shè)直線的方程為， 設(shè)點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立方程， 得，， 所以，，的中點(diǎn)坐標(biāo)為， 的垂直平分線為， 令，得，， 又，所以， 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與原點(diǎn)重合，則，，所以； 綜上所述，為定值． 解法二： （1）同解法一． （2）依題意，當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為， 設(shè)點(diǎn)，，聯(lián)立方程，得， 所以， ，， ， ， 所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為， 的垂直平分線為， 令，得，所以，所以； 當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，點(diǎn)與原點(diǎn)重合，則，，所以； 綜上所述，為定值．