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2019-2020年高三數(shù)學(xué) 知識點精析精練21 直線與平面 【復(fù)習(xí)要點】 【例題】 【例1】 正三棱錐P-ABC的高和底面邊長都等于a，EF是PA與BC的公垂線，E、F分別是垂足。（1）求證：側(cè)棱PA^截面BEC （2）求截面BEC的面積；（3）求截面BEC與底面ABC所成二面角的大小 解：1）略 2）易知F為BC的中點，在RtΔPAO中，AO=，PO=a， 所以PA=，又易知PA⊥BE， 在等腰三角形PAB中，可求得BE=， 所以在直角三角形EFB中，求得EF=，所以 3）∠EFA=300 【例2】 已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，A1C1=B1C1=2，D、D1分別是AB、A1B1的中點，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，異面直線AB1和C1B互相垂直. (1)求證：AB1⊥C1D1； (2)求證：AB1⊥面A1CD； (3)若AB1=3，求直線AC與平面A1CD所成的角. 解：(1)證明：∵A1C1=B1C1，D1是A1B1的中點，∴C1D1⊥A1B1于D1， 又∵平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，∴C1D1⊥平面A1B1BA， 而AB1平面A1ABB1，∴AB1⊥C1D1. (2)證明：連結(jié)D1D，∵D是AB中點，∴DD1CC1，∴C1D1∥CD，由(1)得CD⊥AB1，又∵C1D1⊥平面A1ABB1，C1B⊥AB1，由三垂線定理得BD1⊥AB1， 又∵A1D∥D1B，∴AB1⊥A1D而CD∩A1D=D，∴AB1⊥平面A1CD. (3)解：由(2)AB1⊥平面A1CD于O，連結(jié)CO1得∠ACO為直線AC與平面A1CD所成的角，∵AB1=3，AC=A1C1=2，∴AO=1，∴sinOCA=， ∴∠OCA=. 【例3】 兩個全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求證：MN∥平面BCE. 證法一：作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q為垂足，則MP∥AB，NQ∥AB. ∴MP∥NQ，又AM=NF，AC=BF， ∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45 ∴Rt△MCP≌Rt△NBQ ∴MP=NQ,故四邊形MPQN為平行四邊形 ∴MN∥PQ ∵PQ平面BCE，MN在平面BCE外， ∴MN∥平面BCE. 證法二：如圖過M作MH⊥AB于H，則MH∥BC， ∴ 連結(jié)NH，由BF=AC，F(xiàn)N=AM，得 , 由 ∴MN∥平面BCE. 【例4】 在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，側(cè)面BB1C1C⊥底面ABC. (1)若D是BC的中點，求證：AD⊥CC1； (2)過側(cè)面BB1C1C的對角線BC1的平面交側(cè)棱于M，若AM=MA1，求證：截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C； (3)AM=MA1是截面MBC1⊥平面BB1C1C的充要條件嗎？請你敘述判斷理由. 解： (1)證明：∵AB=AC，D是BC的中點，∴AD⊥BC ∵底面ABC⊥平面BB1C1C，∴AD⊥側(cè)面BB1C1C ∴AD⊥CC1. (2)證明：延長B1A1與BM交于N，連結(jié)C1N ∵AM=MA1，∴NA1=A1B1 ∵A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1 ∴C1N⊥C1B1 ∵底面NB1C1⊥側(cè)面BB1C1C，∴C1N⊥側(cè)面BB1C1C ∴截面C1NB⊥側(cè)面BB1C1C ∴截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C. (3)解：結(jié)論是肯定的，充分性已由(2)證明，下面證必要性. 過M作ME⊥BC1于E，∵截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C ∴ME⊥側(cè)面BB1C1C，又∵AD⊥側(cè)面BB1C1C. ∴ME∥AD，∴M、E、D、A共面 ∵AM∥側(cè)面BB1C1C，∴AM∥DE ∵CC1⊥AM，∴DE∥CC1 ∵D是BC的中點，∴E是BC1的中點 ∴AM=DE=AA1，∴AM=MA1. 【例5】 已知斜三棱柱ABC-A’B’C’的底面是直角三角形，∠C=90，側(cè)棱與底面所成的角為α（0<α<90），B’在底面上的射影D落在BC上。 （1）求證：AC⊥面BB’C’C。 （2）當(dāng)α為何值時，AB’⊥BC’，且使得D恰為BC的中點。 解：（1）∵ B’D⊥面ABC，AC面ABC， ∴ B’D⊥AC， 又AC⊥BC，BC∩B’D=D， ∴ AC⊥面BB’C’C。 （2）由三垂線定理知道：要使AB’⊥BC’，需且只需AB’在面BB’C’C內(nèi)的射影B’C⊥BC’。即四邊形BB’C’C為菱形。此時，BC=BB’。 因為B’D⊥面ABC，所以，就是側(cè)棱B’B與底面ABC所成的角。 由D恰好落在BC上，且為BC的中點，所以，此時=。 即當(dāng)α=時，AB’⊥BC’，且使得D恰為BC的中點。 【例6】 如圖：已知四棱錐中，底面四邊形為正方形，側(cè)面PDC為正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E為PC中點。 （1）求證：平面EDB⊥平面PBC； （2）求二面角的平面角的正切值。 解：（1）要證兩個平面互相垂直，常規(guī)的想法是：證明其中一個平面過另一個平面的一條垂線。 首先觀察圖中已有的直線，不難發(fā)現(xiàn)，由于側(cè)面PDC為正三角形，所以，，那么我們自然想到：是否有？這樣的想法一經(jīng)產(chǎn)生，證明它并不是一件困難的事情。 ∵ 面PDC⊥底面ABCD，交線為DC， ∴ DE在平面ABCD內(nèi)的射影就是DC。 在正方形ABCD中，DC⊥CB， ∴ DE⊥CB。 又，， ∴ DE⊥。 又面EDB， ∴ 平面EDB⊥平面PBC。 （2）由（1）的證明可知：DE⊥。所以，就是二面角的平面角。 ∵ 面PDC⊥底面ABCD，交線為DC， 又平面ABCD內(nèi)的直線CB⊥ DC。 ∴ CB⊥面PDC。 又面PDC， ∴ CB⊥PC。 在Rt中，。 【例7】 如圖：在四棱錐中，⊥平面，∠，，，為的中點。 （1）求證：平面； （2）當(dāng)點到平面的距離為多少時，平面與平面所成的二面角為？ 解：題目中涉及到平面與平面所成的二面角，所以，應(yīng)作出這兩個平面的交線（即二面角的棱）。另一方面，要證平面，應(yīng)該設(shè)法證明CE平行于面內(nèi)的一條直線，充分利用中點（中位線）的性質(zhì)，不難發(fā)現(xiàn)，剛剛做出的二面角的棱正好符合要求。 （1）延長BC、AD交于點F。 在中，∠，所以，AB、CD都與AF垂直，所以，CD//AB，所以，∽。又，，所以，點D、C分別為線段AF、BF的中點。 又因為為的中點，所以，EC為的中位線，所以，EC//SF。 又，，所以，平面。 （2）因為：⊥平面，AB平面，所以，AB。又ABAF，，所以，AB面。 過A作AHSF于H，連BH，則BHSF，所以，就是平面與平面所成的二面角的平面角。 在Rt中，要使=，需且只需AH=AB=。 此時，在SAF中，，所以，。 在三棱錐S-ACD中，設(shè)點A到面SCD的距離為h，則 h= 因為AB//DC，所以，AB//面SCD。所以，點A、B到面SCD的距離相等。又因為E為SB中點，所以，點E到平面SCD的距離就等于點B到面SCD距離的一半，即。 【例8】 如圖，在三棱柱中，四邊形是菱形,四邊形是矩形,。（1）求證：平面； （2）若， 求AC＇與平面BCC＇所成角的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示） 解：（1）證明： ∵在三棱柱中， ∴CB⊥AB；又∵CB⊥； ∴ （2）解：由 過點A作AH⊥平面，H為垂足， 則H在上， 連結(jié) 連接 可知 因此，直線與平面所成的角是。 【例9】 在長方體中，AB=a，，；，由頂點A沿著長方體的表面到頂點的最短距離是多少？ 解：如圖所示 【直線與平面練習(xí)】 一、選擇題 1．在長方體ABCD—A1B1C1D1中，底面是邊長為2的正方形，高為4，則點A1到截面AB1D1的距離是( ) A. B. C. D. 2．在直二面角α—l—β中，直線aα,直線bβ,a、b與l斜交，則( ) A.a不和b垂直，但可能a∥b B.a可能和b垂直，也可能a∥b C.a不和b垂直，a也不和b平行 D.a不和b平行，但可能a⊥b 二、填空題 3．設(shè)X、Y、Z是空間不同的直線或平面，對下面四種情形，使“X⊥Z且Y⊥ZX∥Y”為真命題的是_________(填序號). ①X、Y、Z是直線 ②X、Y是直線，Z是平面 ③Z是直線，X、Y是平面 ④X、Y、Z是平面 4．設(shè)a,b是異面直線，下列命題正確的是_________. ①過不在a、b上的一點P一定可以作一條直線和a、b都相交 ②過不在a、b上的一點P一定可以作一個平面和a、b都垂直 ③過a一定可以作一個平面與b垂直 ④過a一定可以作一個平面與b平行 三、解答題 5．如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱PA垂直于底面，E、F分別是AB、PC的中點. (1)求證：CD⊥PD; (2)求證：EF∥平面PAD; (3)當(dāng)平面PCD與平面ABCD成多大角時，直線EF⊥平面PCD？ 6．如圖，在正三棱錐A—BCD中，∠BAC=30，AB=a,平行于AD、BC的截面EFGH分別交AB、BD、DC、CA于點E、F、G、H. (1)判定四邊形EFGH的形狀，并說明理由. (2)設(shè)P是棱AD上的點，當(dāng)AP為何值時，平面PBC⊥平面EFGH，請給出證明. 7．如圖，正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱長都相等，D、E分別是CC1和AB1的中點，點F在BC上且滿足BF∶FC=1∶3. (1)若M為AB中點，求證：BB1∥平面EFM； (2)求證：EF⊥BC； (3)求二面角A1—B1D—C1的大小. 8．如圖，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形且∠C1CB= ∠C1CD=∠BCD=60, (1)證明：C1C⊥BD； (2)假定CD=2，CC1=，記面C1BD為α,面CBD為β,求二面角α—BD—β的平面角的余弦值； (3)當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r，可使A1C⊥面C1BD？ 參考答案 一、1.解析：如圖，設(shè)A1C1∩B1D1=O1，∵B1D1⊥A1O1，B1D1⊥AA1，∴B1D1⊥平面AA1O1，故平面AA1O1⊥AB1D1，交線為AO1，在面AA1O1內(nèi)過A1作A1H⊥AO1于H，則易知A1H長即是點A1到平面AB1D1的距離，在Rt△A1O1A中，A1O1=，AO1=3，由A1O1A1A=hAO1,可得A1H=. 答案：C 2.解析：如圖，在l上任取一點P，過P分別在α、β內(nèi)作a′∥a,b′∥b,在a′上任取一點A，過A作AC⊥l，垂足為C，則AC⊥β,過C作CB⊥b′交b′于B，連AB，由三垂線定理知AB⊥b′， ∴△APB為直角三角形,故∠APB為銳角. 答案：C 二、3.解析：①是假命題，直線X、Y、Z位于正方體的三條共點棱時為反例，②③是真命題，④是假命題，平面X、Y、Z位于正方體的三個共點側(cè)面時為反例. 答案：②③ 4.④ 三、5.證明：(1)∵PA⊥底面ABCD，∴AD是PD在平面ABCD內(nèi)的射影， ∵CD平面ABCD且CD⊥AD，∴CD⊥PD. (2)取CD中點G，連EG、FG， ∵E、F分別是AB、PC的中點，∴EG∥AD，F(xiàn)G∥PD ∴平面EFG∥平面PAD，故EF∥平面PAD (3）解：當(dāng)平面PCD與平面ABCD成45角時，直線EF⊥面PCD 證明：G為CD中點，則EG⊥CD,由(1)知FG⊥CD，故∠EGF為平面PCD與平面ABCD所成二面角的平面角.即∠EGF=45，從而得∠ADP=45，AD=AP 由Rt△PAE≌Rt△CBE,得PE=CE 又F是PC的中點，∴EF⊥PC，由CD⊥EG，CD⊥FG，得CD⊥平面EFG，CD⊥EF即EF⊥CD，故EF⊥平面PCD. 6.(1)證明： 同理EF∥FG，∴EFGH是平行四邊形 ∵A—BCD是正三棱錐，∴A在底面上的射影O是△BCD的中心， ∴DO⊥BC，∴AD⊥BC， ∴HG⊥EH，四邊形EFGH是矩形. (2)作CP⊥AD于P點，連結(jié)BP，∵AD⊥BC，∴AD⊥面BCP ∵HG∥AD，∴HG⊥面BCP，HG面EFGH.面BCP⊥面EFGH， 在Rt△APC中，∠CAP=30，AC=a,∴AP=a. 7.(1)證明：連結(jié)EM、MF，∵M、E分別是正三棱柱的棱AB和AB1的中點， ∴BB1∥ME，又BB1平面EFM，∴BB1∥平面EFM. (2)證明：取BC的中點N，連結(jié)AN由正三棱柱得：AN⊥BC， 又BF∶FC=1∶3，∴F是BN的中點，故MF∥AN， ∴MF⊥BC，而BC⊥BB1，BB1∥ME. ∴ME⊥BC，由于MF∩ME=M，∴BC⊥平面EFM， 又EF平面EFM，∴BC⊥EF. (3)解：取B1C1的中點O，連結(jié)A1O知，A1O⊥面BCC1B1，由點O作B1D的垂線OQ，垂足為Q，連結(jié)A1Q，由三垂線定理，A1Q⊥B1D，故∠A1QD為二面角A1—B1D—C的平面角，易得∠A1QO=arctan. 8.(1)證明：連結(jié)A1C1、AC，AC和BD交于點O，連結(jié)C1O， ∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC=CD 又∵∠BCC1=∠DCC1，C1C是公共邊，∴△C1BC≌△C1DC，∴C1B=C1D ∵DO=OB，∴C1O⊥BD，但AC⊥BD，AC∩C1O=O ∴BD⊥平面AC1，又C1C平面AC1，∴C1C⊥BD. (2)解：由(1)知AC⊥BD，C1O⊥BD，∴∠C1OC是二面角α—BD—β的平面角. 在△C1BC中，BC=2，C1C=，∠BCC1=60，∴C1B2=22+()2－22cos60=. ∵∠OCB=30,∴OB=,BC=1,C1O=,即C1O=C1C. 作C1H⊥OC，垂足為H，則H是OC中點且OH=，∴cosC1OC= (3)解：由(1)知BD⊥平面AC1，∵A1O平面AC1，∴BD⊥A1C，當(dāng)=1時，平行六面體的六個面是全等的菱形，同理可證BC1⊥A1C，又∵BD∩BC1=B，∴A1C⊥平面C1BD.  【練習(xí)2】 1．下列命題中，正確的是( ) A．如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直 B．如果一個平面內(nèi)兩條直線都平行于另一平面，那么這兩個平面平行。 C．如果兩條直線都平行于同一平面，那么這兩條直線平行 D．如果一條直線上有兩個點到一個平面的距離相等，那么這條直線和這個平面平行。 2．下面的四個命題：( ) （1）若直線a//平面a，則平面a內(nèi)的任何直線都與直線a平行 （2）若直線a^平面a，則平面a內(nèi)的任何直線都與直線a垂直 （3）若平面a//平面b，則平面b內(nèi)的任何直線都與平面a平行 （4）若平面a^平面b，則平面b內(nèi)的任何直線都與平面a垂直； 其中正確的命題的個數(shù)是：( ) A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知平面a與平面b相交，直線m^平面a，則：( ) A．b內(nèi)不一定存在直線與m平行，但必存在直線與m垂直 B．b內(nèi)必存在直線與m平行，且必存在直線與m垂直 C．b內(nèi)不一定存在直線與m平行，不一定存在直線與m垂直 D．b內(nèi)必存在直線與m平行，不一定存在直線與m垂直 4．已知a、b、g表示不同的平面，a、b表示不同的直線，下列命題中正確的是：( ) A．如果a//a，a^b，那么a^b B．如果a^b，b^g，那么a^g C．如果a^a，a^b，那么a//b D．如果a//b，b//a，那么a//a 5．設(shè)a，b表示平面，L表示不在a內(nèi)也不在b內(nèi)的直線，存在下列三個事實：（1）L^a；（2）a^b；（3）L//b，若以其中兩個作為條件，另一個作為結(jié)論，則可以構(gòu)成三個命題，這三個命題中，正確命題的個數(shù)是：( ) A．0 B．1 C．2 D．3 6．設(shè)a、b、c是不同的直線，α，b是不同的平面，下列三個命題： （1）若a//b，則a與c所成的角和b與c所成的角相等 （2）若a//b，則a與α所成的解和b與α所成的角相等 （3）若α//b，則a與α所成的角和a與b所成的角相等 其中，正確命題的個數(shù)是：( ) A．0 B．1 C．2 D．3 7．已知m、n是直線，a、b、g是平面，給出下列命題 （1）若a^g，b^g則a//b （2）若u^a，u^b，則a//b （3）若a內(nèi)不共線的三點到平面b的距離都相等，則a//b （4）若n a，m a，且n//b，m//b，則a//b； （5）若m，n為異面直線，且n a，n//b，m b，m//a，則a//b 其中正確的兩個命題是：( ) A．（1）與（2） B．（3）與（4） C．（2）與（5） D．（2）與（3） 8．已知直二面角a—L—b，且a a，b b， 且a,b與L均不垂直，則下列命題正確的是；( ) A．a(chǎn)和b不可能垂直，也不可能平行 B．a(chǎn)和b不可能垂直，但可能平行 C．a(chǎn)和b可能垂直，但不可能平行 D．a(chǎn)和b可能垂直，也可能平行 9．已知直線l1，l2與平面a，有下面四個命題： （1）若l1//a,l1//l2,則l2//a （2）若l1a,l2a=A,，則l1,l2異面 （3）若l1^a,l2^a,，則l1//l2 （4）若l1^l2,l1^a，則l2//a 其中真命題有：( ) A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 10．正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線BD1與直線AC所成的角是：( ) A．30 b．45 c．60 d．90 11．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面于A點，邊PB、PC、PD、AC、BD，則互相垂直的平面有：( ) A．5對 B．6對 C．7對 D．8對 12．空間有6個點，任意四點都不共面，過其中任意兩點均有一條直線，則成為異面直線的對數(shù)為( ) A．15 B．30 C．45 D．60 13．下面命題中 （1）兩條異面直線a，b中，a//平面a，則b//a （2）若平面a//平面b，a a，則a//b （3）若ab=a，直線a^b，若使b^a，則只須bb，且a^b （4）直線a，ba，直線la=A且l^a，b^a，則b與l在a內(nèi)的射影垂直( ) A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（2）（3） D．（2）（3）（4） 14．直線L與△ABC三邊均不相交，L上有四點D、E、F、G且這四點均不在直線AB、AC、BC上，則A、B、C、D、E、F、G七個點可確定三角形的個數(shù)是；( ) A．35 B．33 C．31 D．29 15．設(shè)a、b表示直線，a、b、g表示平面，給出下列命題： （1）若a^g，且b^g，則a//b （2）若a內(nèi)有不共線的三個點到b的距離相等，則a//b （3）若a a,b b,且a//b,b//a,則a//b （4）若a，b是異面直線，aa,bb,且a//b,b//a,則a//b 其中正確命題的序號是 。（注，把你認為正確的命題的序號都填上） 16．已知a,b,c是三條不重合的直線，a、b、g是三個不重合的平面，給出下面六個命題： （1）若a//c,b//c，則a//b （2）若a//g,b//g，則a//b （3）若a//c,b//c,，則a//b （4）若a//g,b//g，則a//b （5）若a//c,a//c，則a//a （6）若a//g,a//g，則a//a 其中正確的命題的序號是： 。 17．已知m，l是異面直線，給出下列命題 （1）一定存在平面a過m且與l平行 （2）一定存在平面a與m、l都垂直 （3）一定存在平面a過m且與l垂直 （4）一定存在平面a與m、l的距離相等 其中不正確的命題的序號 18．設(shè)a、b表示直線，a、b、g表示平面，給出下列命題： （1）若a^g，且b^g，則a//b （2）若a內(nèi)有不共線的三個點到b的距離相等，則a//b （3）若a a,b b,且a//b,b//a,則a//b （4）若a，b是異面直線，aa,bb,且a//b,b//a,則a//b 其中正確命題的序號是 。（注，把你認為正確的命題的序號都填上） 19．已知a,b,c是三條不重合的直線，a、b、g是三個不重合的平面，給出下面六個命題： （1）若a//c,b//c，則a//b （2）若a//g,b//g，則a//b （3）若a//c,b//c,，則a//b （4）若a//g,b//g，則a//b （5）若a//c,a//c，則a//a （6）若a//g,a//g，則a//a 其中正確的命題的序號是： 。 20．已知m，l是異面直線，給出下列命題 （1）一定存在平面a過m且與l平行 （2）一定存在平面a與m、l都垂直 （3）一定存在平面a過m且與l垂直 （4）一定存在平面a與m、l的距離相等 其中不正確的命題的序號 。 21．是不重合的2個平面，在上任取5個點，在上任取4個點，由這些點所確定的平面的個數(shù)最多是（ C ） A．42個 B．70個 C．72個 D．84個 22．若平面⊥平面，又直線，直線，且，則（ D ） A． B． C．且 D．或 23．已知二面角是直二面角，P為棱AB上一點，PQ、PR分別在平面、內(nèi)，且，則為（ B ） A．45 B．60 C．120 D．150 24．正方體的棱長為，由它的互不相鄰的四個頂點連線所構(gòu)成的四面體的體積是 （ C ） A． B． C． D． 26．平行六面體的棱長均為4，由同一頂點出發(fā)的三條棱上分別取1，，則三棱錐的體積與平行六面體的體積之比是（ A ） A．1∶64 B．2∶7 C．7∶19 D．3∶16 27．在正方體中，二面角的度數(shù)是（ C ） A．45 B．60 C．120 D．135 28．正方形被對角線BD和以A為圓心，AB為半徑的圓弧分成三部分，繞AD旋轉(zhuǎn)，所得旋轉(zhuǎn)體的體積之比是（ C ） A．2∶1∶1 B．1∶2∶1 C．1∶1∶1 D．2∶2∶1 29．在四棱錐的四個側(cè)面中，直角三角形最多可有（ D ） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個