2019版高考數(shù)學總復習 第五章 數(shù)列 31 數(shù)列求和課時作業(yè) 文.doc
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課時作業(yè) 31 數(shù)列求和 1．(2017北京卷)已知等差數(shù)列{an} 和等比數(shù)列{bn}滿足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5. (1)求{an}的通項公式； (2)求和：b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1. 解析：(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d. 因為a2＋a4＝10，所以2a1＋4d＝10， 解得d＝2，所以an＝2n－1. (2)設等比數(shù)列{bn}的公比為q， 因為b2b4＝a5，所以b1qb1q3＝9，解得q2＝3， 所以b2n－1＝b1q2n－2＝3n－1. 從而b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝. 2．(2018四川成都市高中畢業(yè)第一次診斷)已知數(shù)列{an}滿足a1＝－2，an＋1＝2an＋4. (1)證明：數(shù)列{an＋4}是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列{|an|}的前n項和Sn. 解析：(1)證明：∵a1＝－2，∴a1＋4＝2. ∵an＋1＝2an＋4，∴an＋1＋4＝2an＋8＝2(an＋4)， ∴＝2， ∴{an＋4}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列． (2)由(1)，可知an＋4＝2n，∴an＝2n－4. 當n＝1時，a1＝－2<0，∴S1＝|a1|＝2； 當n≥2時，an≥0. ∴Sn＝－a1＋a2＋…＋an＝2＋(22－4)＋…＋(2n－4)＝2＋22＋…＋2n－4(n－1)＝－4(n－1)＝2n＋1－4n＋2. 又當n＝1時，上式也滿足． ∴當n∈N*時，Sn＝2n＋1－4n＋2. 3．(2018西安質(zhì)檢)等差數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，a1＝1，前n項和為Sn；數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，b1＝1，且b2S2＝6，b2＋S3＝8. (1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式； (2)求＋＋…＋. 解析：(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d，d>0，{bn}的公比為q， 則an＝1＋(n－1)d，bn＝qn－1. 依題意有， 解得，或(舍去)． 故an＝n，bn＝2n－1. (2)由(1)知Sn＝1＋2＋…＋n＝n(n＋1)， ＝＝2(－)， ∵＋＋…＋＝2[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝2(1－)＝. 4．(2018陜西省寶雞市高三質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2an－2. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若數(shù)列的前n項和為Tn，求證：1≤Tn<3. 解析：(1)當n＝1時，a1＝2. 當n≥2時，Sn－1＝2an－1－2， 所以an＝Sn－Sn－1＝2an－2－(2an－1－2)，即＝2(n≥2，n∈N*)， 所以數(shù)列{an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，故an＝2n(n∈N*)． (2)證明：令bn＝＝， 則Tn＝＋＋＋…＋，① ①，得Tn＝＋＋＋…＋＋，② ①－②，得Tn＝－，整理得Tn＝3－， 由于n∈N*，顯然Tn<3. 又令cn＝，則＝<1，所以cn>cn＋1， 所以≤c1＝2，所以Tn≥1. 故1≤Tn<3. 5．(2018武漢市武昌區(qū)調(diào)研考試)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝9，a2為整數(shù)，且Sn≤S5. (1)求{an}的通項公式； (2)設數(shù)列的前n項和為Tn，求證：Tn≤. 解析：(1)由a1＝9，a2為整數(shù)可知，等差數(shù)列{an}的公差d為整數(shù)． 又Sn≤S5，∴a5≥0，a6≤0， 于是9＋4d≥0,9＋5d≤0， 解得－≤d≤－. ∵d為整數(shù)，∴d＝－2. 故{an}的通項公式為an＝11－2n. (2)證明：由(1)，得＝＝， ∴Tn＝＝. 令bn＝，由函數(shù)f(x)＝的圖象關(guān)于點(4.5,0)對稱及其單調(diào)性，知0
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