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1、 第七節(jié)　雙曲線 [考綱傳真]　1.了解雙曲線的實際背景，了解雙曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用.2.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道它的簡單的幾何性質．3.了解雙曲線的簡單應用．4.理解數形結合的思想． 1．雙曲線的定義 (1)平面內到兩定點F1、F2的距離之差的絕對值等于常數(大于零且小于|F1F2|)的點的集合叫作雙曲線，定點F1，F2叫作雙曲線的焦點，兩個焦點之間的距離叫作雙曲線的焦距． (2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c， 其中a，c為常數且a>0，c>0. ①當2a<|F1F2|時，M點的軌跡是雙曲線；

2、 ②當2a＝|F1F2|時，M點的軌跡是兩條射線； ③當2a>|F1F2|時，M點不存在． 2．雙曲線的標準方程和幾何性質 標準方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 圖形 性質 范圍 x≤－a或x≥a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 對稱性 對稱軸：坐標軸，對稱中心：原點 頂點 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 漸近線 y＝±x y＝±x 離心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ a，b，c的關系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(

3、正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)平面內到點F1(0,4)，F2(0，－4)距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線．(　　) (2)方程－＝1(mn>0)表示焦點在x軸上的雙曲線．(　　) (3)雙曲線方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的漸近線方程是－＝0，即±＝0.(　　) (4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．(教材改編)已知雙曲線－＝1(a>0)的離心率為2，則a＝(　　) A．2 B. C. D．1 D　[依題意，e＝＝＝2， ∴＝2a，則a2＝1，a＝1.] 3．(20xx·福州質

4、檢)若雙曲線E：－＝1的左、右焦點分別為F1，F2，點P在雙曲線E上，且|PF1|＝3，則|PF2|等于(　　) 【導學號：57962406】 A．11 B．9 C．5 D．3 B　[由題意知a＝3，b＝4，∴c＝5.由雙曲線的定義||PF1|－|PF2||＝|3－|PF2||＝2a＝6，∴|PF2|＝9.] 4．(20xx·全國卷Ⅰ)已知方程－＝1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是(　　) A．(－1,3)　　　　 B．(－1，) C．(0,3) D．(0，) A　[∵原方程表示雙曲線，且兩焦點間的距離為4. ∴則 因此－1

5、20xx·北京高考)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點B為該雙曲線的焦點．若正方形OABC的邊長為2，則a＝__________. 2　[雙曲線－＝1的漸近線方程為y＝±x，易得兩條漸近線方程互相垂直，由雙曲線的對稱性知＝1. 又正方形OABC的邊長為2，所以c＝2， 所以a2＋b2＝c2＝8，因此a＝2.] 雙曲線的定義及應用 　(20xx·全國卷Ⅰ改編)已知F是雙曲線C：x2－＝1的右焦點，P是C的左支上一點，A(0,6)．則△APF周長的最小值為__________． 32　[由雙曲線方程x2－＝1可知，a＝1，c

6、＝3， 故F(3,0)，F1(－3,0)， 當點P在雙曲線左支上運動時，由雙曲線定義知|PF|－|PF1|＝2.所以|PF|＝|PF1|＋2， 從而△APF的周長＝|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF1|＋2＋|AF|. 因為|AF|＝＝15為定值， 所以當(|AP|＋|PF1|)最小時，△APF的周長最小，A，F1，P三點共線． 又因為|AP|＋|PF1|≥|AF1|＝|AF|＝15. 所以△APF周長的最小值為15＋15＋2＝32.] [規(guī)律方法]　1.應用雙曲線的定義需注意的問題： 在雙曲線的定義中，要注意雙曲線上的點(動點)具備的幾何條件，即“到兩定點(焦點

7、)的距離之差的絕對值為一常數，且該常數必須小于兩定點間的距離”．若定義中的“絕對值”去掉，點的軌跡是雙曲線的一支．同時需注意定義的轉化應用． 2．在焦點三角形中，注意定義、余弦定理的活用，常將||PF1|－|PF2||＝2a平方，建立|PF1|·|PF2|間的聯系． [變式訓練1]　已知雙曲線C的離心率為2，焦點為F1，F2，點A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，則cos∠AF2F1＝(　　) A. B． C. D． A　[由e＝＝2得c＝2a，如圖，由雙曲線的定義得|F1A|－|F2A|＝2a. 又|F1A|＝2|F2A|，故|F1A|＝4a， |F2A|＝2a， ∴cos

8、∠AF2F1＝＝.] 雙曲線的標準方程 　(1)(20xx·廣州模擬)已知雙曲線C：－＝1的離心率e＝，且其右焦點為F2(5,0)，則雙曲線C的方程為(　　) 【導學號：57962407】 A.－＝1 B．－＝1 C.－＝1 D．－＝1 (2)(20xx·天津高考)已知雙曲線－＝1(b＞0)，以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A，B，C，D四點，四邊形ABCD的面積為2b，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B．－＝1 C.－＝1 D．－＝1 (1)C　(2)D　[(1)由焦點F2(5,0)知c＝5. 又e＝＝，得a＝4，b2＝c2

9、－a2＝9. ∴雙曲線C的標準方程為－＝1. (2)由題意知雙曲線的漸近線方程為y＝±x，圓的方程為x2＋y2＝4，聯立解得或 即第一象限的交點為. 由雙曲線和圓的對稱性得四邊形ABCD為矩形，其相鄰兩邊長為，，故＝2b，得b2＝12. 故雙曲線的方程為－＝1.故選D.] [規(guī)律方法]　1.確定雙曲線的標準方程也需要一個“定位”條件，兩個“定量”條件．“定位”是指確定焦點在哪條坐標軸上，“定量”是指確定a，b的值，常用待定系數法．若雙曲線的焦點不能確定時，可設其方程為Ax2＋By2＝1(AB<0)． 2．對于共焦點、共漸近線的雙曲線方程，可靈活設出恰當的形式求解．若已知漸近

10、線方程為mx＋ny＝0，則雙曲線方程可設為m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)． [變式訓練2]　(1)(20xx·全國卷Ⅱ)已知雙曲線過點(4，)，且漸近線方程為y＝±x，則該雙曲線的標準方程為________________． (2)設橢圓C1的離心率為，焦點在x軸上且長軸長為26，若曲線C2上的點到橢圓C1的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8，則曲線C2的標準方程為__________． (1)－y2＝1　(2)－＝1　[(1)∵雙曲線的漸近線方程為y＝±x， ∴可設雙曲線的方程為x2－4y2＝λ(λ≠0)． ∵雙曲線過點(4，)， ∴λ＝16－4×()2＝4， ∴雙曲線的標準方

11、程為－y2＝1. (2)由題意知橢圓C1的焦點坐標為F1(－5,0)，F2(5,0)，設曲線C2上的一點P，則||PF1|－|PF2||＝8. 由雙曲線的定義知：a＝4，b＝3. 故曲線C2的標準方程為－＝1，即－＝1.] 雙曲線的簡單幾何性質 　(1)(20xx·全國卷Ⅱ)已知F1，F2是雙曲線E：－＝1的左、右焦點，點M在E上，MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1＝，則E的離心率為(　　) A. B. C. D．2 (2)(20xx·石家莊調研)設雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點是F，左、右頂點分別是A1，A2，過F作A1A2的垂線與雙曲線交于B，C兩點．若A1B

12、⊥A2C，則該雙曲線的漸近線為__________. 【導學號：57962408】 (1)A　(2)x±y＝0　[(1)如圖，因為MF1⊥x軸，所以|MF1|＝. 在Rt△MF1F2中，由sin∠MF2F1＝得 tan∠MF2F1＝. 所以＝，即＝，即＝， 整理得c2－ac－a2＝0， 兩邊同除以a2得e2－e－1＝0. 解得e＝(負值舍去)． (2)由題設易知A1(－a,0)，A2(a,0)，B，C. 因為A1B⊥A2C， 所以·＝－1，整理得a＝b. 因此該雙曲線的漸近線為y＝±x，即x±y＝0.] [規(guī)律方法]　1.(1)求雙曲線的漸近線，要注意雙曲線焦點位

13、置的影響；(2)求離心率的關鍵是確定含a，b，c的齊次方程，但一定注意e>1這一條件． 2．雙曲線中c2＝a2＋b2，可得雙曲線漸近線的斜率與離心率的關系＝.抓住雙曲線中“六點”、“四線”、“兩三角形”，研究a，b，c，e間相互關系及轉化，簡化解題過程． [變式訓練3]　(20xx·全國卷Ⅱ)已知A，B為雙曲線E的左，右頂點，點M在E上，△ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為(　　) A. B．2 C. D． D　[不妨取點M在第一象限，如圖所示，設雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)，則|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°， ∴M點的坐標

14、為. ∵M點在雙曲線上，∴－＝1，a＝b， ∴c＝a，e＝＝.故選D.] [思想與方法] 1．求雙曲線標準方程的主要方法： (1)定義法：由條件判定動點的軌跡是雙曲線，求出a2，b2，得雙曲線方程． (2)待定系數法：即“先定位，后定量”，如果不能確定焦點的位置，應注意分類討論或恰當設置簡化討論． ①若已知雙曲線過兩點，焦點位置不能確定，可設方程為Ax2＋By2＝1(AB<0)． ②當已知雙曲線的漸近線方程bx±ay＝0，求雙曲線方程時，可設雙曲線方程為b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)． ③與雙曲線－＝1有相同的漸近線的雙曲線方程可設為－＝λ(λ≠0)． 2．已知雙曲線的標準方程求雙曲線的漸近線方程，只需將雙曲線的標準方程中“1”改為“0”即可． [易錯與防范] 1．區(qū)分雙曲線中a，b，c的關系與橢圓中a，b，c的關系，在橢圓中a2＝b2＋c2，在雙曲線中c2＝a2＋b2. 2．雙曲線的離心率大于1，橢圓的離心率e∈(0,1)．求它們的離心率，不要忽視這一前提條件，否則會產生增解或擴大取值范圍． 3．直線與雙曲線有一個公共點時，不一定相切，也可能直線與漸近線平行．