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第四章桿件的橫截面應力 4 1平面圖形的幾何性質 桿件承載能力除與其材料性能 加載方式和尺寸有關外 還與桿件截面的幾何形狀有關 一 靜矩和形心微面積dA乘以坐標z稱為dA對y軸的靜矩 同樣 dA對z軸的靜矩為 平面圖形A對兩坐標軸的靜矩為 靜矩是可加的 即 利用計算均質板形心的公式 可知計算幾何圖形形心的公式 C點是平面圖形A的形心的充分必要條件 平面圖形A對過C點任意方向軸的靜矩為零 SzC 0 SyC 0 根據(jù)靜矩定義和靜矩的可加性 為了簡化復雜圖形的形心計算 可以將復雜圖形A分為Ai i 1 2 n 則 這種方法稱為組合法 例1 求拋物線z hy2 b2下方面積的形心 解 例2 求圖示面積的形心 解 二 慣性矩 慣性積和慣性半徑 微面積元dA乘以坐標z的平方稱dA對y軸的慣性矩同樣 dA對z軸的慣性矩為dA對O點的極慣性矩為平面圖形A對兩坐標軸的慣性矩和對O點的極慣性矩分別為 慣性半徑定義為 微面積元dA乘以yz稱dA對yOz軸系的慣性積 平面圖形A對坐標軸系的慣性積為慣性積反映平面圖形對坐標軸系的對稱性 以上討論都與轉動慣量的計算方法相似 例4 3求矩形對邊軸和形心軸的慣性矩 解 例4 求圓對形心軸的慣性矩和極慣性矩 解 三 平行移軸公式 研究平面圖形對兩組相平行的軸系的慣性矩 慣性積之間的關系 首先根據(jù)坐標平移公式 取O1點為平面圖形的形心 且SyC SzC 0 可得對于慣性積 用同樣結果可以得到 針對形心軸系的平行移軸公式 以上公式與計算轉動慣量所用的平行軸定理非常相似 例5 求圖形對形心軸和y z軸的慣性矩 解 四 轉軸公式 研究將坐標系逆時針旋轉 角時 平面圖形A的慣性矩和慣性積在新 老軸系之間的變化規(guī)律 坐標旋轉公式 轉軸公式的推導 平面圖形A對旋轉后的y1軸的慣性矩 平面圖形A對旋轉后的z1軸的慣性矩 平面圖形A對新軸系的慣性積 經(jīng)整理后 由前面的推導 可以得到 平面圖形A對過O點任意方向軸的慣性矩之最大 最小值極值條件 慣性主方向 慣性主軸 平面圖形A對過O點沿慣性主方向的軸稱慣性主軸 對稱軸是慣性主軸 和該主軸垂直的軸也是慣性主軸 主慣性矩 是平面圖形A對過O點慣性主軸的慣性矩 也是平面圖形A對過O點各軸慣性矩的極大 極小值 過形心的慣性主軸稱為形心慣性主軸 形心主慣性軸 過圖形上的任何一個點 都可以找到一對相互垂直的慣性主軸 一 應力即 單位截面積上作用著的內(nèi)力平均應力 一點處的應力 正應力 切應力 4 2應力與應變的概念 應力的量綱 FL 2 單位 MPa 106N m2 二 應變概念 彈性變形 塑性變形應變 描述變形的劇烈程度 應變分為線 正 應變和切應變 平均線應變線應變切應變表示材料內(nèi)部兩正交線段在變形后的角度變化 或 切應變是直角的改變量 三 簡單的應力 應變關系1 胡克定律E 彈性模量 單位 GPa1GPa 109Pa2 波松比桿件在軸向伸長時其橫向同時縮短 波松比 橫向線應變3 剪切胡克定律4 EG 三者之間的關系 4 3軸力與彎矩所引起的應力 一 軸力在橫截面引起的應力 當桿段發(fā)生伸長 縮短時 其橫截面仍為平面 仍垂直于軸線 無任何轉動 桿的橫截面面積發(fā)生變化 在桿件橫截面上變形均勻 根據(jù)對材料的連續(xù)性假設 在桿件橫截面上內(nèi)力均勻分布 即桿件在拉壓時橫截面上僅有正應力 且在橫截面上均勻分布 例4 6 如圖桿件 已知qx 試求桿件中的最大應力 解 先作桿件的軸力圖 可以發(fā)現(xiàn) FN的最大值出現(xiàn)在桿的兩端 故最大應力也出現(xiàn)在桿的兩端 斜截面上的應力 拉壓桿任一斜截面上的應力也是均勻分布的 正應力和切應力 最大切應力 一點的應力狀態(tài) 過該點所有方向的截面上的正 切應力的總和 一般用微單元體來描述 彎矩在橫截面引起的應力1 純彎曲和平面假設純彎曲 桿件的橫截面上只有彎矩 無其它內(nèi)力 平面假設 梁在變形后 橫截面仍然保持為平面 仍垂直于變形后的軸線 繞中性軸發(fā)生轉動 中性軸和中性層 梁在變形后 橫截面上一部分材料受拉 另一部分材料受壓 兩部分的界線為一直線 稱中性軸 各截面的中性軸連成中性層 中性層上無伸長 縮短變形 既不受拉也不受壓 縱向纖維互不擠壓假設 梁中各平行于軸線的縱向截面上無正應力 2 純彎曲梁的彎曲正應力 變形幾何關系 物理關系 應力應變關系 應用胡克定律得 靜力學關系 由軸力為零 結論 在純彎曲時 中性軸過形心 由正應力的合成結果是彎矩 由 1 2 3 式 得純彎曲梁橫截面正應力的計算公式 3 橫力彎曲時的正應力 在截面上一般FS和M都非零 嚴格地講 由于FS的作用 橫力彎曲時平面假設不能成立 但對于細長梁來說 由此引入的誤差很小 故認為 FS引起的橫截面翹曲對變形幾何關系的影響較小 在橫力彎曲時 縱向纖維互不擠壓的假設也不能成立 但因為在絕大多數(shù)情況下 縱截面上的正應力不大 因此對變形幾何關系的影響較小 總之 在橫力彎曲時 對于細長梁 上面的應力公式可以繼續(xù)使用 工程上關心梁的最大正應力 對于塑性材料制成的梁 通常采用中性軸對稱截面 這時最大拉 壓應力相等 即 Wz 抗彎截面系數(shù) 對于矩形截面 對于圓形截面對于環(huán)形截面 4 4扭矩所引起的應力