新版全國(guó)通用高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題9 等差數(shù)列與等比數(shù)列含解析
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2、 1 【走向高考】(全國(guó)通用)20xx高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題9 等差數(shù)列與等比數(shù)列 一、選擇題 1.(文)(20xx·東北三省三校聯(lián)考)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a2+a4+a6 =12,則S7的值是( ) A.21 B.24 C.28 D.7 [答案] C [解析] ∵a2+a4+a6=3a4=12,∴a
3、4=4, ∴2a4=a1+a7=8,∴S7===28. [方法點(diǎn)撥] 1.熟記等差、等比數(shù)列的求和公式. 2.形如an+1=an+f(n)的遞推關(guān)系用累加法可求出通項(xiàng); 3.形如an+1=anf(n)的遞推關(guān)系可考慮用累乘法求通項(xiàng)an; 4.形如an+1=kan+b(k、b為常數(shù))可通過變形,設(shè)bn=an+構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng)an. (理)在等比數(shù)列{an}中,a1=a,前n項(xiàng)和為Sn,若數(shù)列{an+1}成等差數(shù)列,則Sn等于( ) A.a(chǎn)n+1-a B.n(a+1) C.na D.(a+1)n-1 [答案] C [解析] 利用常數(shù)列a,a,a,…判斷,則存
4、在等差數(shù)列a+1,a+1,a+1,…或通過下列運(yùn)算得到:2(aq+1)=(a+1)+(aq2+1),∴q=1,Sn=na. 2.(文)已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若S1=1,=4,則的值為( ) A. B. C. D.4 [答案] A [解析] 由等差數(shù)列的性質(zhì)可知S2,S4-S2,S6-S4成等差數(shù)列,由=4得=3,則S6-S4=5S2, 所以S4=4S2,S6=9S2,=. (理)(20xx·全國(guó)大綱文,8)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2=3,S4=15,則S6=( ) A.31 B.32 C.63 D.64 [答案] C
5、[解析] 解法1:由條件知:an>0,且 ∴∴q=2. ∴a1=1,∴S6==63. 解法2:由題意知,S2,S4-S2,S6-S4成等比數(shù)列,即(S4-S2)2=S2(S6-S4),即122=3(S6-15),∴S6=63. [方法點(diǎn)撥] 下標(biāo)成等差的等差、等比數(shù)列的項(xiàng)或前n項(xiàng)和的問題,??紤]應(yīng)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)求解. 3.(20xx·浙江理,3)已知{an}是等差數(shù)列,公差d不為零,前n項(xiàng)和是Sn.若a3,a4,a8成等比數(shù)列,則( ) A.a(chǎn)1d>0,dS4>0 B.a(chǎn)1d<0,dS4<0 C.a(chǎn)1d>0,dS4<0 D.a(chǎn)1d<0,dS4>0 [答案] B
6、 [解析] 考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和;等比數(shù)列的概念. ∵{an}為等差數(shù)列,且a3,a4,a8成等比數(shù)列, ∴(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d)? a1=-d, ∴S4=2(a1+a4)=2(a1+a1+3d)=-d, ∴a1d=-d2<0,dS4=-d2<0,故選B. 4.等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,則a1=( ) A. B.- C. D.- [答案] C [解析] ∵S3=a2+10a1,∴a1+a2+a3=a2+10a1,a3=9a1=a1q2,∴q2=9, 又∵a5=9,∴9=a3·q2=9a3
7、,∴a3=1, 又a3=9a1,故a1=. [方法點(diǎn)撥] 求基本量的問題,熟記等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)及前n項(xiàng)和公式,利用公式、結(jié)合條件,建立方程求解. 5.(20xx·江西省質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=3,an+2=3an(n∈N*),則數(shù)列{an}的前20xx項(xiàng)的和S20xx等于( ) A.31008-2 B.31008-3 C.320xx-2 D.320xx-3 [答案] A [解析] 因?yàn)閍1=1,a2=3,=3, 所以S20xx=(a1+a3+…+a20xx)+(a2+a4+…+a20xx)=+=31008-2. 6.(文)(20xx·新鄉(xiāng)、許昌、
8、平頂山調(diào)研)設(shè){an}是等比數(shù)列,Sn是{an}的前n項(xiàng)和,對(duì)任意正整數(shù)n,有an+2an+1+an+2=0,又a1=2,則S101的值為( ) A.2 B.200 C.-2 D.0 [答案] A [解析] 設(shè)公比為q,∵an+2an+1+an+2=0,∴a1+2a2+a3=0,∴a1+2a1q+a1q2=0,∴q2+2q+1=0,∴q=-1,又∵a1=2, ∴S101===2. (理)(20xx·哈三中二模)等比數(shù)列{an},滿足a1+a2+a3+a4+a5=3,a+a+a+a+a=15,則a1-a2+a3-a4+a5的值是( ) A.3 B. C.- D.5 [答
9、案] D [解析] 由條件知,∴=5, ∴a1-a2+a3-a4+a5===5. 7.(文)在等差數(shù)列{an}中,a1+a2+a3=3,a18+a19+a20=87,則此數(shù)列前20項(xiàng)的和等于( ) A.290 B.300 C.580 D.600 [答案] B [解析] 由a1+a2+a3=3,a18+a19+a20=87得, a1+a20=30, ∴S20==300. (理)已知等比數(shù)列{an}中,各項(xiàng)都是正數(shù),且a1,a3,2a2成等差數(shù)列,則=( ) A.1+ B.1- C.3+2 D.3-2 [答案] C [解析] 由條件知a3=a1+2a2, ∴a1q
10、2=a1+2a1q, ∵a1≠0,∴q2-2q-1=0, ∵q>0,∴q=1+, ∴=q2=3+2. 8.(20xx·福建理,8)若a,b是函數(shù)f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的兩個(gè)不同的零點(diǎn),且a,b,-2這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列,也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列,則p+q的值等于( ) A.6 B.7 C.8 D.9 [答案] D [解析] 由韋達(dá)定理得a+b=p,a·b=q,因?yàn)閜>0,q>0,則a>0,b>0,當(dāng)a,b,-2適當(dāng)排序后成等比數(shù)列時(shí),-2必為等比中項(xiàng),故a·b=(-2)2=4,故q=4,b=.當(dāng)適當(dāng)排序后成等差數(shù)列時(shí),-2必不是等差中項(xiàng),當(dāng)a是等
11、差中項(xiàng)時(shí),2a=-2,解得a=1,b=4,;當(dāng)b是等差中項(xiàng)時(shí),=a-2,解得a=4,b=1,綜上所述,a+b=p=5,所以p+q=9,選D. 9.已知數(shù)列{an},{bn}滿足a1=b1=1,an+1-an==2,n∈N+,則數(shù)列{ban}的前10項(xiàng)的和為( ) A.(49-1) B.(410-1) C.(49-1) D.(410-1) [答案] D [解析] 由a1=1,an+1-an=2得,an=2n-1, 由=2,b1=1得bn=2n-1, ∴ban=2an-1=22(n-1)=4n-1, ∴數(shù)列{ban}前10項(xiàng)和為=(410-1). 10.(文)若數(shù)列{a
12、n}為等比數(shù)列,且a1=1,q=2,則Tn=++…+等于( ) A.1- B.(1-) C.1- D.(1-) [答案] B [解析] 因?yàn)閍n=1×2n-1=2n-1,所以an·an+1=2n-1·2n=2×4n-1, 所以=×()n-1,所以{}也是等比數(shù)列, 所以Tn=++…+=×=(1-),故選B. (理)(20xx·唐山市一模)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1+a3=,a2+a4=,則( ) A.4n-1 B.4n-1 C.2n-1 D.2n-1 [答案] C [解析] 設(shè)公比為q,則a1(1+q2)=,a2(1+q2)=,∴q=,∴a1
13、+a1=,∴a1=2. ∴an=a1qn-1=2×()n-1,Sn==4[1-()n],∴==2(2n-1-) =2n-1. [點(diǎn)評(píng)] 用一般解法解出a1、q,計(jì)算量大,若注意到等比數(shù)列的性質(zhì)及求,可簡(jiǎn)明解答如下: ∵a2+a4=q(a1+a3),∴q=, ∴====2n-1. 11.給出數(shù)列,,,,,,…,,,…,,…,在這個(gè)數(shù)列中,第50個(gè)值等于1的項(xiàng)的序號(hào)是( ) A.4900 B.4901 C.5000 D.5001 [答案] B [解析] 根據(jù)條件找規(guī)律,第1個(gè)1是分子、分母的和為2,第2個(gè)1是分子、分母的和為4,第3個(gè)1是分子、分母的和為6,…,第50個(gè)1是分
14、子、分母的和為100,而分子、分母的和為2的有1項(xiàng),分子、分母的和為3的有2項(xiàng),分子、分母的和為4的有3項(xiàng),…,分子、分母的和為99的有98項(xiàng),分子、分母的和為100的項(xiàng)依次是:,,,…,,,…,,第50個(gè)1是其中第50項(xiàng),在數(shù)列中的序號(hào)為1+2+3+…+98+50=+50=4901. [點(diǎn)評(píng)] 本題考查歸納能力,由已知項(xiàng)找到規(guī)律,“1”所在項(xiàng)的特點(diǎn)以及項(xiàng)數(shù)與分子、分母的和之間的關(guān)系,再利用等差數(shù)列求和公式即可. 二、填空題 12.(文)(20xx·廣東理,10)在等差數(shù)列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,則a2+a8=________. [答案] 10 [解析] 本
15、題考查等差數(shù)列的性質(zhì)及簡(jiǎn)單運(yùn)算,屬于容易題. 因?yàn)閧an}是等差數(shù)列,所以a3+a7=a4+a6=a2+a8=2a5,a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25 即a5=5,a2+a8=2a5=10. (理)(20xx·湖南理,14)設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差數(shù)列,則an=________. [答案] 3n-1 [解析] 考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì). ∵3S1,2S2,S3成等差數(shù)列,∴4S2=3S1+S3,∴4(a1+a2)=3a1+a1+a2+a3?a3=3a2?q=3. 又∵{an}為等比數(shù)列,∴an=a1qn-1=3n-1
16、. [方法點(diǎn)撥] 條件或結(jié)論中涉及等差或等比數(shù)列中的兩項(xiàng)或多項(xiàng)的關(guān)系時(shí),先觀察分析下標(biāo)之間的關(guān)系,再考慮能否應(yīng)用性質(zhì)解決,要特別注意等差、等比數(shù)列性質(zhì)的區(qū)別. 13.(文)(20xx·安徽理,14)已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列,a1+a4=9,a2a3=8,則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和等于________. [答案] 2n-1 [解析] 考查1.等比數(shù)列的性質(zhì);2.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式. 由題意,∴解得a1=1,a4=8或者a1=8,a4=1,而數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列,所以a1=1,a4=8,即q3==8,所以q=2,因而數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn===2n-1. (理)(
17、20xx·江蘇,11)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1,且an+1-an=n+1(n∈N*),則數(shù)列前10項(xiàng)的和為________. [答案] [解析] 考查數(shù)列通項(xiàng),裂項(xiàng)求和. 由題意得:an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=n+(n-1)+…+2+1=,所以=2(-),Sn=2(1-)+2(-)+…+2(-)=2(1-)=,S10=. 三、解答題 14.(文)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=4an-p(n∈N*),其中p是不為零的常數(shù). (1)證明:數(shù)列{an}是等比數(shù)列; (2)當(dāng)p=3時(shí),若數(shù)列{bn}滿足bn+1=an+bn(n
18、∈N*),b1=2,求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式. [解析] (1)證明:因?yàn)镾n=4an-p(n∈N*), 則Sn-1=4an-1-p(n∈N*,n≥2), 所以當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=4an-4an-1, 整理得an=an-1. 由Sn=4an-p,令n=1,得a1=4a1-p,解得a1=. 所以{an}是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列. (2)因?yàn)閍1=1,則an=()n-1, 由bn+1=an+bn(n=1,2,…),得bn+1-bn=()n-1, 當(dāng)n≥2時(shí),由累加法得 bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1) =2+=3()n-1-1
19、, 當(dāng)n=1時(shí),上式也成立.∴bn=3·()n-1-1. [方法點(diǎn)撥] 證明數(shù)列是等差(等比)數(shù)列時(shí),應(yīng)用定義分析條件,結(jié)合性質(zhì)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化. (理)(20xx·河南高考適應(yīng)性測(cè)試)已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),且a1=2,an=a+4an+1+2. (1)令bn=log2(an+2),證明:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列. (2)設(shè)cn=nbn,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn. [解析] (1)由an=a+4an+1+2,得an+2=a+4an+1+4=(an+1+2)2. 因?yàn)閍n>0,所以=an+1+2. 因?yàn)椋剑剑剑? 又b1=log2(a1+2)=2, 所以數(shù)列{bn}是首
20、項(xiàng)為2,公比為的等比數(shù)列. (2)由(1)知,bn=2·n-1,則cn=2nn-1. Sn=2×0+4×1+…+2(n-1)n-2+2nn-1,① Sn=2×1+4×2+…+2(n-1)n-1+2nn.② ①-②得:Sn=2×0+2×1+2×2+…+2×n-1-2n·n =-2n·n=4-(4+2n)n. 所以Sn=8-(n+2)n-2. 15.(20xx·南昌市一模)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,S3=6,正項(xiàng)數(shù)列{bn}滿足b1·b2·b3·…·bn=2Sn. (1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式; (2)若λbn>an對(duì)n∈N*均成立,求實(shí)數(shù)λ的取
21、值范圍. [解析] (1)等差數(shù)列{an},a1=1,S3=6,∴d=1,故an=n ,(1)÷(2)得bn=2Sn-Sn-1=2an=2n(n≥2), b1=2S1=21=2,滿足通項(xiàng)公式,故bn=2n (2) 設(shè)λbn>an恒成立?λ>恒成立,設(shè)cn=?= 當(dāng)n≥2時(shí),cn<1,{cn}單調(diào)遞減, ∴(cn)max=c1=,故λ>. 16.(文)(20xx·湖北理,18)已知等差數(shù)列{an}滿足:a1=2,且a1,a2,a5成等比數(shù)列. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,是否存在正整數(shù)n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值
22、;若不存在,說明理由. [分析] (1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到a=a1·a5,并用a1、d表示a2、a5,列等式求解公差d,進(jìn)而求出通項(xiàng),注意對(duì)公差d分類討論;(2)利用(1)的結(jié)論,對(duì)數(shù)列{an}的通項(xiàng)分類討論,分別利用通項(xiàng)公式及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解Sn,然后根據(jù)Sn>60n+800列不等式求解. [解析] (1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,依題意,2,2+d,2+4d成等比數(shù)列,故有(2+d)2=2(2+4d). 化簡(jiǎn)得d2-4d=0,解得d=0或d=4. 當(dāng)d=0時(shí),an=2; 當(dāng)d=4時(shí),an=2+(n-1)·4=4n-2, 從而得數(shù)列{an}
23、的通項(xiàng)公式為an=2或an=4n-2. (2)當(dāng)an=2時(shí),Sn=2n,顯然2n<60n+800, 此時(shí)不存在正整數(shù)n,使得Sn>60n+800成立, 當(dāng)an=4n-2時(shí),Sn==2n2, 令2n2>60n+800,即n2-30n-400>0, 解得n>40或n<-10(舍去). 此時(shí)存在正整數(shù)n,使得Sn>60n+800成立,n的最小值為41. 綜上,當(dāng)an=2時(shí),不存在滿足題意的n; 當(dāng)an=4n-2時(shí),存在滿足題意的n,其最小值為41. [方法點(diǎn)撥] 存在型探索性問題解答時(shí)先假設(shè)存在,依據(jù)相關(guān)知識(shí)(概念、定理、公式、法則、性質(zhì)等),結(jié)合所給條件進(jìn)行推理或運(yùn)算,直到得出結(jié)
24、果或一個(gè)明顯成立或錯(cuò)誤的結(jié)論,從而斷定存在與否. (理)(20xx·新課標(biāo)Ⅰ理,17)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ為常數(shù). (1)證明:an+2-an=λ; (2)是否存在λ,使得{an}為等差數(shù)列?并說明理由. [分析] (1)利用an+1=Sn+1-Sn用配湊法可獲證;(2)假設(shè)存在λ,則a1,a2,a3應(yīng)成等差數(shù)列求出λ的值,然后依據(jù)an+2-an=λ推證{an}為等差數(shù)列. [解析] (1)由題設(shè):anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1, 兩式相減得an+1(an+2-an)=λan+1. 由于an+1≠0,所以an+2-an=λ. (2)由題設(shè),a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1. 由(1)知,a3=λ+1, 令2a2=a1+a3,解得λ=4. 故an+2-an=4,由此可得 {a2n-1}是首項(xiàng)為1,公差為4的等差數(shù)列,a2n-1=4n-3; {a2n}是首項(xiàng)為3,公差為4的等差數(shù)列,a2n=4n-1. 所以an=2n-1,an+1-an=2. 因此存在λ=4,使得數(shù)列{an}為等差數(shù)列.
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