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第八節(jié)　解三角形應用舉例 最新考綱 1.正余弦定理在應用題中的應用． 2.能準確地建立數(shù)學模型，并能用正弦定理和余弦定理解決問題. 知識梳理 1.仰角和俯角 在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖①)． 2.方位角 從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α(如圖②)． 3.方向角 指北或指南方向線與目標方向所成的小于90的角叫做方向角，如北偏東α，南偏西α.特別地，若目標方向線與指北或指南方向線成45角稱為西南方向，東北方向等． (1)北偏東α，即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)α到達目標方向(如圖③)； (2)北偏西α，即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)α到達目標方向； (3)南偏西等其他方向角類似． 4.　坡角與坡度 (1)坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖④，角θ為坡角)． (2)坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖④，i為坡度)．坡度又稱為坡比． 5.必會結(jié)論 (1)仰角與俯角是相對水平視線而言的，而方位角是相對于正北方向而言的． (2)“方位角”與“方向角”的區(qū)別：方位角大小的范圍是[0,2π)，方向角大小的范圍是. 典型例題 考點一 測量距離問題 【例1】 要測量對岸A，B兩點之間的距離，選取相距 km的點C，點D，并測得∠ACB＝75，∠BCD＝45，∠ADC＝30，∠ADB＝45，則點A，B之間的距離為_______ . 【答案】. 規(guī)律方法 求解距離問題的一般步驟 (1)選取適當基線，畫出示意圖，將實際問題轉(zhuǎn)化為三角形問題. (2)明確要求的距離所在的三角形有哪幾個已知元素. (3)確定使用正弦定理或余弦定理解三角形. 課后作業(yè) 1.．若點A在點C的北偏東30，點B在點C的南偏東60，且AC＝BC，則點A在點B的(　　) A．北偏東15　　　　 B．北偏西15 C．北偏東10　　　　 D．北偏西10 【答案】A. 【解析】　如圖所示，∠ACB＝90.又AC＝BC， ∴∠CBA＝45，而β＝30， ∴α＝90－45－30＝15.∴點A在點B的北偏西15. 2．在相距2千米的A，B兩點處測量目標點C，若∠CAB＝75，∠CBA＝60，則A，C兩點之間的距離為 千米. 【答案】. 【解析】如圖所示，由題意知∠C＝45， 由正弦定理得＝，∴AC＝＝. 3．一船向正北航行，看見正東方向有相距8海里的兩個燈塔恰好在一條直線上.繼續(xù)航行半小時后，看見一燈塔在船的南偏東60，另一燈塔在船的南偏東75，則這艘船每小時航行 海里. 【答案】8. 【解析】　如圖，由題意知在△ABC中，∠ACB＝75－60＝15， ∠B＝15，∴AC＝AB＝8.在Rt△AOC中，OC＝ACsin 30＝4. ∴這艘船每小時航行＝8(海里). 4．輪船A和輪船B在中午12時同時離開海港C，兩船航行方向的夾角為120，兩船的航行速度分別為25 n mile/h,15 n mile/h，則下午2時兩船之間的距離是________ n mile. 【答案】70　 【解析】設兩船之間的距離為d， 則d2＝502＋302－25030cos 120＝4 900， 所以d＝70，即兩船相距70 n mile. 5.如圖所示，要測量一水塘兩側(cè)A，B兩點間的距離，其方法先選定適當?shù)奈恢肅，用經(jīng)緯儀測出角α，再分別測出AC，BC的長b，a，則可求出A，B兩點間的距離，即AB＝.若測得CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60，試計算AB的長． 【答案】200 m. 【解析】在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos∠ACB， ∴AB2＝4002＋6002－2400600cos 60＝280 000， ∴AB＝200(m)，即A，B兩點間的距離為200 m. 6.在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45方向，相距12 n mile的水面上，有藍方一艘小艇正以每小時10 n mile的速度沿南偏東75方向前進，紅方偵察艇以每小時14 n mile的速度沿北偏東45＋α方向攔截藍方的小艇.若要在最短的時間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時間和角α的正弦值. 【答案】需要的時間為2小時，角α的正弦值為. 【解析】如圖，設紅方偵察艇經(jīng)過x小時后在C處追上藍方的小艇， 則AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120. 根據(jù)余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos 120， 解得x＝2.故AC＝28，BC＝20. 根據(jù)正弦定理得＝，解得sin α＝＝. 所以紅方偵察艇所需要的時間為2小時，角α的正弦值為.