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第一章 解三角形--小結(jié)與復(fù)習(xí) 一、教學(xué)目標(biāo)： 知識(shí)與技能： 能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)解三角形的基本問(wèn)題； 過(guò)程與方法： 通過(guò)對(duì)典型問(wèn)題的解決，提高知識(shí)的綜合運(yùn)用能力，加深對(duì)正、余弦定理的理解； 情感、態(tài)度與價(jià)值觀(guān)： 激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,并體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值；同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用圖形、數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)題意和應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力 二．重點(diǎn)難點(diǎn) 重點(diǎn)：運(yùn)用正、余弦定理解決解三角形問(wèn)題 難點(diǎn)：對(duì)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力 三、教材與學(xué)情分析 首先通過(guò)對(duì)知識(shí)的梳理，達(dá)到知識(shí)的系統(tǒng)化。其次結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，采用“提出問(wèn)題——引發(fā)思考——探索猜想——總結(jié)規(guī)律——反饋訓(xùn)練”的教學(xué)過(guò)程，根據(jù)大綱要求以及教學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在關(guān)系，鋪開(kāi)例題，設(shè)計(jì)變式，幫助學(xué)生掌握解法，引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題，提高解題能力。 四、教學(xué)方法 問(wèn)題引導(dǎo)，主動(dòng)探究，啟發(fā)式教學(xué)． 五、教學(xué)過(guò)程 （一）知識(shí)梳理： 1： 正弦定理和余弦定理 （1）用正弦定理： ①知兩角及一邊解三角形； ②知兩邊及其中一邊所對(duì)的角解三角形（要討論解的個(gè)數(shù)）． （2）用余弦定理： ①知三邊求三角； ②知道兩邊及這兩邊的夾角解三角形． 2：應(yīng)用舉例 ①距離問(wèn)題， ②高度問(wèn)題， ③ 角度問(wèn)題， ④計(jì)算問(wèn)題． （二）典例解析 題型一. 利用正、余弦定理解三角形 例1.在△ABC中，∠BAC＝，AB＝6，AC＝3，點(diǎn)D在BC邊上，AD＝BD，求AD的長(zhǎng)． [解]　設(shè)△ABC的內(nèi)角∠BAC，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是a，b，c， 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC＝(3)2＋62－236cos＝18＋36－(－36)＝90， 所以a＝3.又由正弦定理得sin B＝＝＝，由題設(shè)知0＜B＜， 所以cos B＝＝＝. 在△ABD中，因?yàn)锳D＝BD，所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B， 故由正弦定理得AD＝＝＝＝. [規(guī)律方法]　1.正弦定理是一個(gè)連比等式，只要知道其比值或等量關(guān)系就可以運(yùn)用正弦定理通過(guò)約分達(dá)到解決問(wèn)題的目的． 2．(1)運(yùn)用余弦定理時(shí)，要注意整體思想的運(yùn)用． (2)在已知三角形兩邊及其中一邊的對(duì)角，求該三角形的其它邊角的問(wèn)題時(shí)，首先必須判斷是否有解，如果有解，是一解還是兩解，注意“大邊對(duì)大角”在判定中的應(yīng)用． [變式訓(xùn)練1](1)已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊， 且(b－c)(sin B＋sin C)＝ (a－c)sin A，則角B的大小為(　　) A．30　　　 B．45　　　　 C．60　　　 D．120 (2)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，則b＝________. (1)A　 (2)　 [(1)由正弦定理＝＝及(b－c)(sin B＋sin C)＝(a－c)sin A得(b－c)(b＋c)＝(a－c)a， 即b2－c2＝a2－ac，∴a2＋c2－b2＝ac.又∵cos B＝，∴cos B＝，∴B＝30. (2)在△ABC中，∵cos A＝，cos C＝，∴sin A＝，sin C＝， ∴sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝＋＝.又∵＝，∴b＝＝＝.] 2019-2020年人教A版高中數(shù)學(xué)必修五 第一章 小結(jié)與復(fù)習(xí) 教案 例2.在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，滿(mǎn)足acos A＝bcos B，則△ABC的形狀為(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 　[因?yàn)閍cos A＝bcos B，由正弦定理得sin Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B 或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，所以△ABC為等腰三角形或直角三角形，故選D. [規(guī)律方法]　1.判定三角形形狀的途徑：(1)化邊為角，通過(guò)三角變換找出角之間的關(guān)系．(2)化角為邊，通過(guò)代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系，正(余)弦定理是轉(zhuǎn)化的橋梁． 2．無(wú)論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式；要移項(xiàng)提取公因式，否則會(huì)有漏掉一種形狀的可能． [變式訓(xùn)練2]　設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若2sin Acos B＝sin C， 那么△ABC一定是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形 [法一：由已知得2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，即sin(A－B)＝0， 因?yàn)椋校糀－B＜π，所以A＝B. 法二：由正弦定理得2acos B＝c，再由余弦定理得2a＝c?a2＝b2?a＝b.] 題型三. 與三角形面積有關(guān)的問(wèn)題 例3.已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，sin2B＝2sin Asin C. (1)若a＝b，求cos B； (2)設(shè)B＝90，且a＝，求△ABC的面積． [解]　(1)由題設(shè)及正弦定理可得b2＝2ac.又a＝b，可得b＝2c，a＝2c. 由余弦定理可得cos B＝＝. (2)由(1)知b2＝2ac. 因?yàn)锽＝90，由勾股定理得a2＋c2＝b2， 故a2＋c2＝2ac，進(jìn)而可得c＝a＝.所以△ABC的面積為＝1. [規(guī)律方法]　三角形面積公式的應(yīng)用方法： (1)對(duì)于面積公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一個(gè)角就使用哪一個(gè)公式． (2)與面積有關(guān)的問(wèn)題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化． [變式訓(xùn)練3]　△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c. (1)求C； (2)若c＝，△ABC的面積為，求△ABC的周長(zhǎng)． [解]　(1)由已知及正弦定理得2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C， 即2cos Csin(A＋B)＝sin C，故2sin Ccos C＝sin C.可得cos C＝，所以C＝ (2)由已知得absin C＝.又C＝，所以ab＝6 由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcos C＝7，故a2＋b2＝13，從而(a＋b)2＝25. 所以△ABC的周長(zhǎng)為5＋ 題型四. 解三角形應(yīng)用問(wèn)題 例4.　如圖，一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30的方向上，行駛600 m后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在西偏北75的方向上，仰角為30，則此山的高度CD＝______m. 100　[由題意，在△ABC中，∠BAC＝30，∠ABC＝180－75＝105，故∠ACB＝45. 又AB＝600 m，故由正弦定理得＝，解得BC＝300 m. 在Rt△BCD中，CD＝BCtan 30＝300＝100(m)．] 例5.在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45方向、距離A處(－1)海里的B處有一艘走私船；在A處北偏西75方向、距離A處2海里的C處的緝私船奉命以10海里/小時(shí)的速度追截走私船．同時(shí)，走私船正以10海里/小時(shí)的速度從B處向北偏東30方向逃竄，問(wèn)緝私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多長(zhǎng)時(shí)間？ [解]　設(shè)緝私船t小時(shí)后在D處追上走私船，則有CD＝10t，BD＝10t. 在△ABC中，AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120. 根據(jù)余弦定理，可得BC＝＝， 由正弦定理，得sin∠ABC＝sin∠BAC＝＝，∴∠ABC＝45， 因此BC與正北方向垂直.于是∠CBD＝120.在△BCD中，由正弦定理，得 sin∠BCD＝＝＝，∴∠BCD＝30，又＝， 即＝，得t＝.∴當(dāng)緝私船沿北偏東60的方向能最快追上走私船，最少要花小時(shí). [規(guī)律方法]　應(yīng)用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題需要下列三步： (1)根據(jù)題意，畫(huà)出示意圖，并標(biāo)出條件； (2)將所求問(wèn)題歸結(jié)到一個(gè)或幾個(gè)三角形中(如本例借助方位角構(gòu)建三角形)，通過(guò)合理運(yùn)用正、余弦定理等有關(guān)知識(shí)正確求解； (3)檢驗(yàn)解出的結(jié)果是否符合實(shí)際意義，得出正確答案． [變式訓(xùn)練4]　江岸邊有一炮臺(tái)高30 m，江中有兩條船，船與炮臺(tái)底部在同一水平面上，由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45和60，而且兩條船與炮臺(tái)底部連線(xiàn)成30角，則兩條船相距________m. 10　[如圖，OM＝AOtan 45＝30(m)， ON＝AOtan 30＝30＝10(m)， 在△MON中，由余弦定理得， MN＝＝＝10(m)．] [變式訓(xùn)練5]　如圖，從某電視塔CO的正東方向的A處，測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0，在電視塔的南偏西60的B處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?5，AB間的距離為35米，則這個(gè)電視塔的高度為_(kāi)_______米． 5　可知∠CAO＝60，∠AOB＝150，∠OBC＝45，AB＝35米． 設(shè)OC＝x米，則OA＝x米，OB＝x米．在△ABO中，由余弦定理， 得AB2＝OA2＋OB2－2OAOBcos ∠AOB，即352＝＋x2－x2cos 150， 整理得x＝5，所以此電視塔的高度是5米．] [變式訓(xùn)練6]　如圖，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營(yíng)救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線(xiàn)CB前往B處救援，求cos θ的值． [解]　在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120，由余弦定理得， BC2＝AB2＋AC2－2ABACcos 120＝2 800?BC＝20. 由正弦定理，得＝?sin∠ACB＝sin∠BAC＝. 由∠BAC＝120，知∠ACB為銳角，則cos∠ACB＝. 由θ＝∠ACB＋30，得cos θ＝cos(∠ACB＋30)＝－sin∠ACB sin 30＝. 六、課堂小結(jié) 1．在解三角形時(shí)，應(yīng)熟練運(yùn)用內(nèi)角和定理：A＋B＋C＝π，＋＋＝中互補(bǔ)和互余的情況，結(jié)合誘導(dǎo)公式可以減少角的種數(shù)． 2．判定三角形的形狀，主要有兩種途徑：(1)化邊為角；(2)化角為邊，并常用正弦(余弦)定理實(shí)施邊、角轉(zhuǎn)換． 3.解三角形應(yīng)用題的兩種情形 (1)已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)已知量與未知量涉及到兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形，這時(shí)需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時(shí)需設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解． 七、課后作業(yè) 1.課時(shí)練與測(cè) 八、教學(xué)反思