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2019-2020年高一數(shù)學(xué)上冊(cè)必修12.4《基本不等式及其應(yīng)用》教案2篇 一、教學(xué)內(nèi)容分析 基本不等式及其應(yīng)用是高中教材中的一個(gè)重要內(nèi)容.盡管基本不等式本身的證明并不困難，但它卻是今后學(xué)習(xí)諸如不等式證明、求函數(shù)最值等時(shí)的有力工具，因此牢固掌握這兩個(gè)基本不等式的形成、關(guān)系和變式等都是十分重要的. 二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì) 1、掌握兩個(gè)基本不等式：（、）、（、為任意正數(shù)），并能用于解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題. 2、理解兩個(gè)基本不等式相應(yīng)的幾何解釋.初步理解代換的數(shù)學(xué)方法. 3、在公式的探求過(guò)程中，領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，進(jìn)一步體會(huì)事物之間互相聯(lián)系及一定條件下互相轉(zhuǎn)化等辨證唯物主義觀點(diǎn). 三、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn) 重點(diǎn) 兩個(gè)基本不等式的知識(shí)發(fā)生過(guò)程和證明；基本不等式的應(yīng)用. 難點(diǎn) 基本不等式的應(yīng)用. 四、教學(xué)用具準(zhǔn)備 電腦、投影儀 五、教學(xué)流程設(shè)計(jì) 新課引入 基本不等式1及其證明 基本不等式1的圖形解釋 圖形引入基本不等式2 基本不等式2的證明 基本不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用（探索） 課堂小結(jié) 作業(yè)布置（含課外思考） 六、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì) 一、新課引入 在客觀世界中，有些量的大小關(guān)系是永遠(yuǎn)成立的. 例如，、（）、三角形任意兩邊之和大于第三邊、三角形任意兩邊之差小于第三邊等等. 二、新課講授 1、基本不等式1 基本不等式1 對(duì)于任意實(shí)數(shù)和，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. （1）基本不等式1的證明 證明：因?yàn)椋? 當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，. 所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的等號(hào)成立. （2）基本不等式1的幾何解釋 ① 解釋1 邊長(zhǎng)為的正方形面積與邊長(zhǎng)為的正方形面積之和大于等于以、為鄰邊長(zhǎng)的矩形面積的2倍（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立） 已知正方形，分別在邊、邊上取點(diǎn)、，使得.分別過(guò)點(diǎn)、作、，垂足為、.和交于點(diǎn). 由幾何畫板進(jìn)行動(dòng)態(tài)計(jì)算演示，得到陰影部分的面積 剩余部分的面積，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)移至中點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立. ② 解釋2 某屆數(shù)學(xué)大會(huì)的會(huì)徽怎樣的？ 三國(guó)時(shí)期趙爽在《勾股方圓圖注》中對(duì)勾股定理的證明可用現(xiàn)代數(shù)學(xué)表述為： 如圖所示，以、、分別表示勾、股、弦，那么，表示“弦圖”中兩塊“朱實(shí)”的面積，表示“中黃實(shí)”的面積. 于是，從圖中可明顯看出，四塊“朱實(shí)”的面積加上一個(gè)“中黃實(shí)”的面積就等于以為邊長(zhǎng)的正方形“弦實(shí)”的面積，即 這就是勾股定理的一般表達(dá)式. 由圖可知： 以為邊長(zhǎng)的正方形“弦實(shí)”的面積 四塊“朱實(shí)”的面積即，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）. 2、基本不等式2 觀察下面這個(gè)幾何圖形. 已知半圓，是半圓上任一點(diǎn)，是直徑. 過(guò)作，垂足為. 顯然有線段的長(zhǎng)度大于等于垂線段的長(zhǎng)度. 設(shè)，，請(qǐng)用、來(lái)表示上述這個(gè)不等關(guān)系.（ 即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.） 基本不等式2 對(duì)于任意正數(shù)、，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. 我們把和分別叫做正數(shù)、的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù).因此基本不等式2也可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù). （1）基本不等式2的證明 證明：因?yàn)椋? 當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，. 所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的等號(hào)成立. 另證：因?yàn)?、為正?shù)，所以、均存在. 由基本不等式1，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. 即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. （2）基本不等式2的擴(kuò)充 對(duì)于任意非負(fù)數(shù)、，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. 例1 已知，求證：，并指出等號(hào)成立的條件. 證明：因?yàn)?，所?、同號(hào)，并有，. 所以，.當(dāng)且僅當(dāng) ，即時(shí)等號(hào)成立. [說(shuō)明] 1、體會(huì)代換的方法. 2、用語(yǔ)言表述上述結(jié)論. 3、思考：若，則代數(shù)式的取值范圍是什么？（，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.） 3、兩個(gè)基本不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用 （1）幾何問(wèn)題 例2 在周長(zhǎng)保持不變的條件下，何時(shí)矩形的面積最大？ 猜想：由幾何畫板電腦演示得出. 解：設(shè)矩形的長(zhǎng)、寬分別為、（、）且（定值），則同樣周長(zhǎng)的正方形的邊長(zhǎng)為. 矩形面積，正方形面積 由基本不等式2，得，又由不等式的性質(zhì)得，即. 由題意，（定值），所以（定值）.當(dāng)且僅當(dāng)，即矩形為正方形時(shí)，矩形的面積最大. [說(shuō)明] 當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，它們的積有最大值. 例如，若時(shí)，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.（事實(shí)上，由（），得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.） 三、課堂小結(jié) 略 四、作業(yè)布置 1、練習(xí)2.4（1） 2、思考題 （1）通過(guò)查閱資料，了解這兩個(gè)基本不等式其它的幾何解釋. （2）在面積保持不變的條件下，正方形的周長(zhǎng)與矩形的周長(zhǎng)之間有什么大小關(guān)系？ （3）整理一些基本不等式的常用變式并給出證明. 七、教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明 本堂課是《基本不等式及其應(yīng)用》的第一節(jié)課，在學(xué)生熟練掌握不等式性質(zhì)的前提下，介紹了兩個(gè)基本不等式及其初步應(yīng)用.盡管對(duì)于基本不等式而言證明不困難，但它卻是今后學(xué)習(xí)諸如不等式證明、求函數(shù)最值等時(shí)的有力工具，因此牢固掌握這兩個(gè)基本不等式是十分重要的. 為了避免單純地講授基本不等式，本堂課借助計(jì)算機(jī)軟件，采用以幾何圖形輔助代數(shù)知識(shí)講授，由數(shù)到形，再由形到數(shù)的設(shè)計(jì)思路，將兩個(gè)基本不等式的證明、解釋及其在應(yīng)用時(shí)的注意點(diǎn)穿插其中，并通過(guò)幾何解釋加強(qiáng)對(duì)基本不等式的感性認(rèn)識(shí)，從而達(dá)到較好的教學(xué)效果.整堂課主要采用 “觀察 —— 猜測(cè) —— 歸納 —— 證明”的探索流程，讓學(xué)生通過(guò)觀察兩式的大小關(guān)系、幾何圖形中線段的長(zhǎng)度來(lái)猜測(cè)相應(yīng)的結(jié)論，最后再由討論、歸納得出兩個(gè)基本不等式. 在教學(xué)過(guò)程中始終“關(guān)注學(xué)生的思維發(fā)展”.例如，將教科書上例1的證明題改成了一道探索題，通過(guò)對(duì)有關(guān)過(guò)程的設(shè)計(jì)，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生自行探索、解決問(wèn)題的能力.此外，為了培養(yǎng)學(xué)生“觀察 —— 猜測(cè)”的能力，借用了幾何畫板的有關(guān)功能，幫助學(xué)生進(jìn)行有關(guān)的猜想與驗(yàn)證，使學(xué)生始終處于自我發(fā)現(xiàn)、自我探索的過(guò)程中. 通過(guò)整堂課的教學(xué)，不僅要求學(xué)生對(duì)有關(guān)知識(shí)點(diǎn)的掌握，此外還對(duì)應(yīng)初步理解代換的數(shù)學(xué)方法有一定要求，并在公式的探求過(guò)程中，繼續(xù)領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想. 2.4（2）基本不等式及其應(yīng)用 一、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì) 1、進(jìn)一步掌握兩個(gè)基本不等式：（、）、（、為任意正數(shù)） 2、利用基本不等式解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題，如求最值或求取值范圍的簡(jiǎn)單問(wèn)題以及簡(jiǎn)單不等式的證明. 3、進(jìn)一步理解代換的數(shù)學(xué)方法. 二、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn) 基本不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用. 三、教學(xué)流程設(shè)計(jì) 復(fù)習(xí)回顧 基本不等式的應(yīng)用（幾何問(wèn)題） 基本不等式的應(yīng)用（代數(shù)證明） 拓廣引申 作業(yè)布置（含課外思考） 課堂小結(jié) 四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì) 一、復(fù)習(xí) 基本不等式1 對(duì)于任意實(shí)數(shù)和，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. 基本不等式2 對(duì)于任意正數(shù)、，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. 我們把和分別叫做正數(shù)、的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù).因此基本不等式2也可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù). [說(shuō)明] 復(fù)習(xí)過(guò)程中需強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)： 1、兩個(gè)基本不等式各自適用的范圍. 2、兩個(gè)基本不等式各自等號(hào)成立的條件. 3、兩個(gè)基本不等式之間的聯(lián)系. 二、新課講授 （2）幾何問(wèn)題 根據(jù)上節(jié)課的討論，我們知道在周長(zhǎng)保持不變的條件下，當(dāng)且僅當(dāng)矩形相鄰兩邊相等即為正方形時(shí)，其面積最大.很自然我們會(huì)考慮下面的問(wèn)題. 例3 在面積保持不變的條件下，何時(shí)矩形的周長(zhǎng)最?。? 解：設(shè)矩形的長(zhǎng)、寬分別為、（、）且（定值），則同樣面積的正方形的邊長(zhǎng)為. 矩形周長(zhǎng)，正方形周長(zhǎng). 由基本不等式2，得，又由不等式的性質(zhì)得，即. 由題意，（定值），所以（定值）.當(dāng)且僅當(dāng)，即矩形為正方形時(shí)，矩形的周長(zhǎng)最小. [說(shuō)明] 當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)，它們的和有最小值. 例如，若時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.（一方面當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.另一方面當(dāng)時(shí)，有，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.） 兩個(gè)正數(shù)的和為定值，則它們的積有最大值；兩個(gè)正數(shù)的積為定值，則它們的和有最小值.這兩個(gè)結(jié)論常常用于求解最值問(wèn)題.在具體應(yīng)用時(shí)，要注意“一正、二定、三等號(hào)”. （2）代數(shù)證明 例4 求證：對(duì)于任意實(shí)數(shù)、、，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立 證明：由基本不等式1，得 ，，， 把上述三個(gè)式子的兩邊分別相加，得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. 另證： . 即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. 例5 均值不等式鏈 設(shè)、，則（調(diào)和均值幾何均值算術(shù)均值平方均值），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. 證明：（1）由、，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立 （2），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，已證. （3）由 . 所以，當(dāng)、時(shí)，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. 綜合（1）、（2）、（3）得，當(dāng)、時(shí)，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. [說(shuō)明] 事實(shí)上當(dāng)、時(shí)，有： ① ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. ② . 證明：① 由，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立. ② 由 . 即，. 不等式等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng). 不等式等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng). 不等式等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng). 例6 甲、乙兩人同時(shí)從A地出發(fā)，沿同一條路線行到B地。甲在前一半時(shí)間的行走速度為，后一半時(shí)間的行走速度為；乙用速度走完前半段路程，用速度走完后半段路程；問(wèn)：誰(shuí)先到達(dá)B地？ 解：設(shè)A、B兩地的距離為，甲、乙兩人用時(shí)分別為、，則。 因此。 所以，當(dāng)時(shí)，，甲、乙兩人同時(shí)到達(dá)B地；當(dāng)時(shí)，，甲先到B地。 另解：設(shè)A、B兩地的距離為，甲、乙兩人用時(shí)分別為、，平均速度分別為、，則 。 因而，當(dāng)時(shí)，，甲、乙兩人同時(shí)到達(dá)B地；當(dāng)時(shí)，，甲先到B地。 三、課堂小結(jié) 略 四、作業(yè)布置 1、習(xí)題2.4 1、2、4、7 2、思考題 均值不等式鏈的幾何解釋. 五、教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明 本堂課是《基本不等式及其應(yīng)用》的第二節(jié)課，在學(xué)生掌握兩個(gè)基本不等式的前提下，介紹了基本不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用. 從上堂課的最后一個(gè)幾何問(wèn)題入手，得出例3的結(jié)論，并在此基礎(chǔ)上歸納出利用基本不等式求最值（最大值、最小值）的基本方法. 在講解完例4有關(guān)利用不等式進(jìn)行簡(jiǎn)單代數(shù)證明后，結(jié)合上堂課留給學(xué)生的思考題（整理一些基本不等式的常用變式并給出證明）給出“基本不等式鏈”.有關(guān)“基本不等式鏈”的證明應(yīng)由學(xué)生給出，一方面作為課堂練習(xí)，另一方面也給出了一個(gè)重要的不等式結(jié)論，這個(gè)結(jié)論在以后的學(xué)習(xí)中還會(huì)用到.對(duì)于說(shuō)明中的相關(guān)內(nèi)容，視學(xué)生的情況而定，可由教師做適當(dāng)引導(dǎo)，也可留為課后思考. 整堂課的教學(xué)重在兩個(gè)基本不等式的應(yīng)用.在如何使用基本不等式解決問(wèn)題（幾何、代數(shù)）的同時(shí)，需對(duì)兩個(gè)不等式適用的范圍以及各自等號(hào)成立的條件做反復(fù)強(qiáng)調(diào).