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1、 1

2、 1 第二節(jié)　兩條直線的位置關(guān)系 [考綱傳真]　1.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo).3.掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩平行直線間的距離． 1．兩條直線平行與垂直的判定 (1)兩條直線平行 ①對(duì)于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2. ②當(dāng)直線

3、l1，l2不重合且斜率都不存在時(shí)，l1∥l2. (2)兩條直線垂直 ①如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，則有l(wèi)1⊥l2?k1·k2＝－1. ②當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時(shí)，l1⊥l2. 2．兩條直線的交點(diǎn)的求法 直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2為常數(shù))，則l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解． 3．距離 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點(diǎn)之間的距離|P1P2| d＝ 點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離 d＝ 平行線Ax＋By＋C1＝0與A

4、x＋By＋C2＝0間的距離 d＝ 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)當(dāng)直線l1和l2斜率都存在時(shí)，一定有k1＝k2?l1∥l2.(　　) (2)如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于－1.(　　) (3)點(diǎn)P(x0，y0)到直線y＝kx＋b的距離為.(　　) (4)已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2為常數(shù))，若直線l1⊥l2，則A1A2＋B1B2＝0.(　　) (5)若點(diǎn)P，Q分別是兩條平行線l1，l2上的任意一點(diǎn)，則P，Q兩點(diǎn)的最小距離就是兩條平

5、行線的距離．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ 2．(教材改編)已知點(diǎn)(a,2)(a>0)到直線l：x－y＋3＝0的距離為1，則a等于(　　) A.　　　　 B．2－ C.－1 D．＋1 C　[由題意得＝1，即|a＋1|＝， 又a>0，∴a＝－1.] 3．直線l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0，則直線l恒過(guò)定點(diǎn)________． (2，－2)　[直線l的方程變形為a(x＋y)－2x＋y＋6＝0， 由解得x＝2，y＝－2， 所以直線l恒過(guò)定點(diǎn)(2，－2)．] 4．已知直線l1：ax＋(3－a)y＋1＝0，l2：x－2y＝0.若l1⊥l2

6、，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962375】 2　[由＝－2，得a＝2.] 5．(20xx·唐山調(diào)研)若直線l1：x＋ay＋6＝0與l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，則l1與l2間的距離為_(kāi)_______． 　[由l1∥l2，得a(a－2)＝1×3， ∴a＝3或a＝－1. 但a＝3時(shí)，l1與l2重合，舍去， ∴a＝－1，則l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0. 故l1與l2間的距離d＝＝.] 兩條直線的平行與垂直 　(1)設(shè)a∈R，則“a＝1”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　) A．

7、充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 (2)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則直線xsin A＋ay＋c＝0與直線bx－ysin B＋sin C＝0的位置關(guān)系是(　　) A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交但不垂直 (1)A　(2)B　[(1)當(dāng)a＝1時(shí)，顯然l1∥l2， 若l1∥l2，則a(a＋1)－2×1＝0， 所以a＝1或a＝－2. 所以a＝1是直線l1與直線l2平行的充分不必要條件． (2)在△ABC中，由正弦定理＝， 得·＝1. 又xsin A＋ay＋c＝0的斜率k1＝－， bx－ysin B＋sin

8、C＝0的斜率k2＝， 因此k1·k2＝·＝－1，兩條直線垂直．] [規(guī)律方法]　1.判定直線間的位置關(guān)系，要注意直線方程中字母參數(shù)取值的影響，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，還要考慮到斜率不存在的特殊情況，同時(shí)還要注意x，y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件． 2．在判斷兩直線平行、垂直時(shí)，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論，可避免討論．另外當(dāng)A2B2C2≠0時(shí)，比例式與，的關(guān)系容易記住，在解答選擇、填空題時(shí)，有時(shí)比較方便． [變式訓(xùn)練1]　已知過(guò)點(diǎn)A(－2，m)和點(diǎn)B(m,4)的直線為l1，直線2x＋y－1＝0為l2，直線x＋ny＋1＝0為l3.若l1∥l2，l2⊥l3，則實(shí)數(shù)m

9、＋n的值為(　　) A．－10　　　B．－2　　　C．0　　　D．8 A　[∵l1∥l2，∴kAB＝＝－2，解得m＝－8. 又∵l2⊥l3，∴×(－2)＝－1， 解得n＝－2，∴m＋n＝－10.] 兩直線的交點(diǎn)與距離問(wèn)題 　(1)直線l過(guò)點(diǎn)P(－1,2)且到點(diǎn)A(2,3)和點(diǎn)B(－4,5)的距離相等，則直線l的方程為_(kāi)_______． (2)過(guò)點(diǎn)P(3,0)作一直線l，使它被兩直線l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0所截的線段AB以P為中點(diǎn)，求此直線l的方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962376】 (1)x＋3y－5＝0或x＝－1　[法一：當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l

10、的方程為y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0. 由題意知＝， 即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－， ∴直線l的方程為y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0. 當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝－1，也符合題意． 法二：當(dāng)AB∥l時(shí)，有k＝kAB＝－，直線l的方程為 y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0. 當(dāng)l過(guò)AB中點(diǎn)時(shí)，AB的中點(diǎn)為(－1,4)， ∴直線l的方程為x＝－1. 故所求直線l的方程為x＋3y－5＝0或x＝－1.] (2)設(shè)直線l與l1的交點(diǎn)為A(x0，y0)，則直線l與l2的交點(diǎn)B(6－x0，－y0)， 2分 由題意知解得 6分

11、 即A，從而直線l的斜率k＝＝8， 10分 直線l的方程為y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0. 12分 [規(guī)律方法]　1.求過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫(xiě)出直線方程；也可利用過(guò)交點(diǎn)的直線系方程，再求參數(shù)． 2．利用距離公式應(yīng)注意：①點(diǎn)P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|；②兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x，y的系數(shù)化為相等． [變式訓(xùn)練2]　若直線l過(guò)點(diǎn)A(1，－1)與已知直線l1：2x＋y－6＝0相交于B點(diǎn)，且|AB|＝5，求直線l的方程． [解]　①過(guò)點(diǎn)A(1，－1)與y軸平行的

12、直線為x＝1. 解方程組求得B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4)， 此時(shí)|AB|＝5，即直線l的方程為x＝1. 4分 ②設(shè)過(guò)點(diǎn)A(1，－1)且與y軸不平行的直線為y＋1＝k(x－1)， 解方程組 得x＝且y＝(k≠－2，否則l與l1平行)． 則B點(diǎn)坐標(biāo)為. 8分 又A(1，－1)，且|AB|＝5， 所以＋＝52，解得k＝－. 10分 因此y＋1＝－(x－1)，即3x＋4y＋1＝0. 綜上可知，所求直線的方程為x＝1或3x＋4y＋1＝0. 12分 對(duì)稱問(wèn)題 　(1)平面直角坐標(biāo)系中直線y＝2x＋1關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱的直線方程是________． (2)光線從A(－4，－2)點(diǎn)射

13、出，到直線y＝x上的B點(diǎn)后被直線y＝x反射到y(tǒng)軸上的C點(diǎn)，又被y軸反射，這時(shí)反射光線恰好過(guò)點(diǎn)D(－1,6)，則BC所在的直線方程是________． (1)y＝2x－3　(2)10x－3y＋8＝0　[(1)法一：在直線l上任取一點(diǎn)P′(x，y)，其關(guān)于點(diǎn)(1,1)的對(duì)稱點(diǎn)P(2－x,2－y)必在直線y＝2x＋1上， ∴2－y＝2(2－x)＋1，即2x－y－3＝0. 因此，直線l的方程為y＝2x－3. 法二：由題意，l與直線y＝2x＋1平行，設(shè)l的方程為2x－y＋c＝0(c≠1)，則點(diǎn)(1,1)到兩平行線的距離相等， ∴＝，解得c＝－3. 因此所求直線l的方程為y＝2x－3. 法三

14、：在直線y＝2x＋1上任取兩個(gè)點(diǎn)A(0,1)，B(1,3)，則點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱的點(diǎn)M(2,1)，B關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱的點(diǎn)N(1，－1)．由兩點(diǎn)式求出對(duì)稱直線MN的方程為＝，即y＝2x－3. (2)作出草圖，如圖所示，設(shè)A關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為A′，D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為D′， 則易得A′(－2，－4)，D′(1,6)． 由入射角等于反射角可得A′D′所在直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B與C. 故BC所在的直線方程為＝，即10x－3y＋8＝0.] [遷移探究1]　在題(1)中“將結(jié)論”改為“求點(diǎn)A(1,1)關(guān)于直線y＝2x＋1的對(duì)稱點(diǎn)”，則結(jié)果如何？ [解]　設(shè)點(diǎn)A(1,1)關(guān)于直線y＝2x

15、＋1的對(duì)稱點(diǎn)為A′(a，b)， 2分 則AA′的中點(diǎn)為，4分 所以解得 10分 故點(diǎn)A(1,1)關(guān)于直線y＝2x＋1的對(duì)稱點(diǎn)為. 12分 [遷移探究2]　在題(1)中“關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱”改為“關(guān)于直線x－y＝0對(duì)稱”，則結(jié)果如何？ [解]　在直線y＝2x＋1上任取兩個(gè)點(diǎn)A(0,1)，B(1,3)，則點(diǎn)A關(guān)于直線x－y＝0的對(duì)稱點(diǎn)為M(1,0)，點(diǎn)B關(guān)于直線x－y＝0的對(duì)稱點(diǎn)為N(3,1)， 6分 ∴根據(jù)兩點(diǎn)式，得所求直線的方程為＝，即x－2y－1＝0. 12分 [規(guī)律方法]　1.第(1)題求解的關(guān)鍵是利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，將直線關(guān)于點(diǎn)的中心對(duì)稱轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱． 2．解決軸

16、對(duì)稱問(wèn)題，一般是轉(zhuǎn)化為求對(duì)稱點(diǎn)問(wèn)題，關(guān)鍵是要抓住兩點(diǎn)，一是已知點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸垂直；二是已知點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)在對(duì)稱軸上． [變式訓(xùn)練3]　(20xx·廣州模擬)直線x－2y＋1＝0關(guān)于直線x＋y－2＝0對(duì)稱的直線方程是(　　) A．x＋2y－1＝0　 B．2x－y－1＝0 C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0 B　[由題意得直線x－2y＋1＝0與直線x＋y－2＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)． 在直線x－2y＋1＝0上取點(diǎn)A(－1,0)， 設(shè)A點(diǎn)關(guān)于直線x＋y－2＝0的對(duì)稱點(diǎn)為B(m，n)， 則解得 故所求直線的方程為＝，即2x－y－1＝0.] [思想

17、與方法] 1．兩直線的位置關(guān)系要考慮平行、垂直和重合．對(duì)于斜率都存在且不重合的兩條直線l1，l2，l1∥l2?k1＝k2；l1⊥l2?k1·k2＝－1.若有一條直線的斜率不存在，那么另一條直線的斜率一定要特別注意． 2．對(duì)稱問(wèn)題一般是將線與線的對(duì)稱轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)的對(duì)稱，點(diǎn)與線的對(duì)稱，利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法． [易錯(cuò)與防范] 1．判斷兩條直線的位置關(guān)系時(shí)，首先應(yīng)分析直線的斜率是否存在．兩條直線都有斜率，可根據(jù)判定定理判斷，若直線無(wú)斜率時(shí)，要單獨(dú)考慮． 2．(1)求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，應(yīng)先化直線方程為一般式； (2)求兩平行線之間的距離時(shí)，應(yīng)先將方程化為一般式且x，y的 系數(shù)對(duì)應(yīng)相等．