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綜合檢測
時間：120分鐘 滿分：150分
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．已知{an}是等比數(shù)列，a3＝，a6＝2，則公比q＝( )
A．－ B．－2
C．2 D.
解析：＝q3＝8，∴q＝2.
答案：C
2．若a、b為實數(shù)，則下面一定成立的是( )
A．若a＞b，則a4＞b4
B．若|a|＞b，則a2＞b2
C．若a＞|b|，則a2＞b2
D．若a≠|(zhì)b|，則a2≠b2
解析：a＞|b|?a2＞b2.
答案：C
3．下列命題中正確的是( )
A．a(chǎn)>b?ac2>bc2 B．a(chǎn)>b?a2>b2
C．a(chǎn)>b?a3>b3 D．a(chǎn)2>b2?a>b
解析：選項A中，當(dāng)c＝0時，ac2＝bc2，所以A不正確；選項B中，當(dāng)a＝0，b＝－1時a>b，但a2
b2，但a0，∴a5＝4，∴a2a5a8＝a＝64，故選D.
答案：D
5．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a2＝b2－c2＋ac，則角B的大小是( )
A．45 B．60
C．90 D．135
解析：由已知得a2＋c2－b2＝ac，所以cos B＝＝＝.又01，b>1.若ax＝by＝3，a＋b＝2，則＋的最大值為( )
A．2 B.
C．1 D.
解析：∵2＝a＋b≥2，∴ab≤3.
由ax＝by＝3得x＝loga3，y＝logb3，
∴＋＝＋＝log3a＋log3b＝log3ab≤log33＝1.故選C.
答案：C
12．?dāng)?shù)列{an}中，an＞0且{anan＋1}是公比為q(q＞0)的等比數(shù)列，滿足anan＋1＋an＋1an＋2＞an＋2an＋3(n∈N*)，則( )
A．0＜q＜ B．0＜q＜
C．0＜q＜ D．0＜q＜
解析：∵{anan＋1}是公比為q的等比數(shù)列，
∴anan＋1＝(a1a2)qn－1，
∴(a1a2)qn－1＋(a1a2)qn＞(a1a2)qn＋1，
∴1＋q＞q2，∴q2－q－1＜0，
∴0＜q＜.
答案：B
二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中的橫線上)
13．不等式≤x的解集是________．
解析：≤x等價于x－≥0，
即≥0，所以不等式的解集為{x|－1≤x<0或x≥1}．
答案：{x|－1≤x<0或x≥1}
14．等比數(shù)列{an}中，a2＝2，a5＝16，那么數(shù)列{an}的前6項和S6＝________.
解析：設(shè)公比為q，
由題意，得
解得a1＝1，q＝2，
所以S6＝＝＝63.
答案：63
15.如圖，△ ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，點D在BC邊上，∠ADC＝45，則AD的長度等于________．
解析：在△ABC中，由余弦定理得：
cos C＝＝＝，
∴∠C＝30.
在△ADC中由正弦定理，得＝，
∴＝.故AD＝.
答案：
16. 不等式ax2＋4x＋a>1－2x2對一切x∈R恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．
解析：不等式ax2＋4x＋a>1－2x2對一切x∈R恒成立，
即(a＋2)x2＋4x＋a－1>0對一切x∈R恒成立．
若a＋2＝0，顯然不成立；
若a＋2≠0，則
?
?
?a>2.
答案：(2，＋∞)
三、解答題(本大題共有6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(12分)△ABC中，BC＝7，AB＝3，且＝.
(1)求AC；
(2)求角A.
解析：(1)由正弦定理，得＝，
∴＝＝.
∴AC＝＝5.
(2)由余弦定理，得
cos A＝＝＝－.
又04的解集為{x|x<1或x>b}．
(1)求實數(shù)a，b的值；
(2)當(dāng)c>2時，解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.
解析：(1)因為不等式ax2－3x＋6>4的解集為{x|x<1或x>b}，所以x1＝1與x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的兩個實數(shù)根，且b>1，a>0，由根與系數(shù)的關(guān)系，得
解得
(2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0，
即x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0.
當(dāng)c>2時，不等式(x－2)(x－c)<0的解集為{x|20，b>0)，
廣告的面積S＝(a＋20)(3b＋30)
＝30(a＋2b)＋60 600＝30＋60 600
≥302＋60 600
＝12 000＋60 600＝72 600.
當(dāng)且僅當(dāng)a＝，
即a＝200時等號成立，此時b＝100.
故當(dāng)廣告矩形欄目的高為200 cm，寬為100 cm時，可使整個矩形廣告的面積最?。?
21．(13分)在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知sin22C＋sin 2Csin C＋cos 2C＝1，且a＋b＝5，c＝.
(1)求角C的大小；
(2)求△ABC的面積．
解析：(1)∵sin22C＋sin 2Csin C＋cos 2C＝1，
∴4sin2 Ccos2 C＋2sin2 Ccos C＋1－2sin2 C＝1，
即2sin2 C(2cos2 C＋cos C－1)＝0.
∴2sin2 C(2cos C－1)(cos C＋1)＝0.
∵在△ABC中，sin C≠0，cos C＞－1，
∴cos C＝，∴C＝.
(2)∵cos C＝＝＝，
∴＝，∴ab＝6.
∴S△ABC＝absin C＝6＝.
22．(13分)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}，滿足a－an＋1an－2a＝0(n∈N*)，且a1＝2.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設(shè)bn＝anlogan，若bn的前n項和為Sn，求Sn；
(3)在(2)的條件下，求使Sn＋n2n＋1>50成立的正整數(shù)n的最小值．
解析：(1)∵a－an＋1an－2a＝0，
∴(an＋1＋an)(an＋1－2an)＝0，
∵數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，∴an＋1＋an>0，
∴an＋1－2an＝0，
即an＋1＝2an(n∈N*)，所以數(shù)列{an}是以2為公比的等比數(shù)列．
∵a1＝2，
∴數(shù)列{an}的通項公式an＝2n.
(2)由(1)及bn＝anlogan得，bn＝－n2n，
∵Sn＝b1＋b2＋…＋bn，
∴Sn＝－2－222－323－424－…－n2n①
∴2Sn＝－22－223－324－425－…－(n－1)2n－n2n＋1②
②－①得，Sn＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋2n－n2n＋1
＝－n2n＋1＝(1－n)2n＋1－2.
(3)要使Sn＋n2n＋1>50成立，只需2n＋1－2>50成立，即2n＋1>52，
∴使Sn＋n2n＋1>50成立的正整數(shù)n的最小值為5.
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