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2019-2020年人教版高中數(shù)學選修1-1教案：2-2-1 橢圓及其標準方程 項目 內容 課題 2.2.1橢圓及其標準方程 （共 1 課時） 修改與創(chuàng)新 教學 目標 知識與技能：了解橢圓的實際背景，掌握橢圓的定義及其標準方程。 過程與方法：通過橢圓的概念引入橢圓的標準方程的推導，培養(yǎng)學生的分析探索能力，熟練掌握解決解析問題的方法—坐標法。 情感、態(tài)度與價值觀：通過對橢圓的定義及標準方程的學習，滲透數(shù)形結合的思想，讓學生體會運動變化、對立統(tǒng)一的思想，提高對各種知識的綜合運用能力． 教學重、 難點 重點：橢圓的定義和橢圓的標準方程． 難點：橢圓的標準方程的推導． 教學 準備 多媒體課件 教學過程 (一)橢圓概念的引入 問題1：什么叫做曲線的方程？求曲線方程的一般步驟是什么？ 問題3：圓的幾何特征是什么？你能否可類似地提出一些軌跡命題作廣泛的探索？ 一般學生能回答：“平面內到一定點的距離為常數(shù)的點的軌跡是圓”． 對學生提出的軌跡命題如： “到兩定點距離之和等于常數(shù)的點的軌跡．” “到兩定點距離平方差等于常數(shù)的點的軌跡．” “到兩定點距離之差等于常數(shù)的點的軌跡．” 取一條一定長的細繩，把它的兩端固定在畫圖板上的F1和F2兩點(如圖)，當繩長大于F1和F2的距離時，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動，就可以畫出一個橢圓． 教師進一步追問：“橢圓，在哪些地方見過？”有的同學說：“立體幾何中圓的直觀圖．”有的同學說：“人造衛(wèi)星運行軌道”等…… 在此基礎上，引導學生概括橢圓的定義： 平面內到兩定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于| F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做焦距． 學生開始只強調主要幾何特征——到兩定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)、教師在演示中要從兩個方面加以強調： (1)將穿有鉛筆的細線拉到圖板平面外，得到的不是橢圓，而是橢球形，使學生認識到需加限制條件：“在平面內”． (2)這里的常數(shù)有什么限制嗎？教師邊演示邊提示學生注意：若常數(shù)=| F1F2|，則是線段F1F2；若常數(shù)＜| F1F2 |，則軌跡不存在；若要軌跡是橢圓，還必須加上限制條件：“此常數(shù)大于| F1F2 |”． (二)橢圓標準方程的推導 1．標準方程的推導 由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征，但對橢圓還具有哪些性質，我們還一無所知，所以需要用坐標法先建立橢圓的方程． 如何建立橢圓的方程？根據(jù)求曲線方程的一般步驟，可分：(1)建系設點；(2)點的集合；(3)代數(shù)方程；(4)化簡方程等步驟． (1)建系設點 建立坐標系應遵循簡單和優(yōu)化的原則，如使關鍵點的坐標、關鍵幾何量(距離、直線斜率等)的表達式簡單化，注意充分利用圖形的對稱性，使學生認識到下列選取方法是恰當?shù)模? 以兩定點F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系(如圖)．設| F1F2 |=2c(c＞0)，M(x，y)為橢圓上任意一點，則有F1(-1，0)，F(xiàn)2(c，0)． (2)點的集合 由定義不難得出橢圓集合為：P={M||MF1|+|MF2|=2a｝． (3)代數(shù)方程 (4)化簡方程（學生板演，教師點撥） 2．兩種標準方程的比較(引導學生歸納) 0)、 F2(c，0)，這里c2=a2-b2； -c)、 F2(0，c)，這里c2=a2+b2，只須將(1)方程的x、y互換即可得到． 教師指出：在兩種標準方程中，∵a2＞b2，∴可以根據(jù)分母的大小來判定焦點在哪一個坐標軸上． (三)例題講解 例、平面內兩定點的距離是8，寫出到這兩定點的距離的和是10的點的軌跡的方程． 分析：先根據(jù)題意判斷軌跡，再建立直角坐標系，采用待定系數(shù)法得出軌跡方程． 解：這個軌跡是一個橢圓，兩個定點是焦點，用F1、F2表示．取過點F1和F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系． ∵2a=10，2c=8． ∴a=5，c=4，b2=a2-c2=25-16=9．∴b=3 因此，這個橢圓的標準方程是 思考：焦點F1、F2放在y軸上呢？ （四）課堂練習：課本42頁 練習 1、2、3、4 (五) 課時小結 1．定義：橢圓是平面內與兩定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡． 3．圖形 （六）布置作業(yè)：習題2.2 A組 1、7 板書設計 2.2.1橢圓及其標準方程 1.橢圓的定義 2.橢圓的標準方程 例 （1）焦點在x軸上 （2）焦點在y軸上 教學反思 1.為讓學生更深刻地理解橢圓的定義，在給出定義后，讓學生分析：平面內到兩定點F1、F2的距離之和等于| F1F2|)的點的軌跡是什么？小于| F1F2|)的點的軌跡是什么？ 2.標準方程的推導，在老師的指導下，讓學生自己推導，以提高學生的運算能力。