《《機(jī)械工程控制基礎(chǔ)》第五版配套PPT課件2Routh判據(jù).ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《機(jī)械工程控制基礎(chǔ)》第五版配套PPT課件2Routh判據(jù).ppt（29頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

5 1 2關(guān)于穩(wěn)定性的一些提法 1 李亞普諾夫 意義下的穩(wěn)定性由上分析可知 對(duì)于定常性系統(tǒng)而言 系統(tǒng)由一定初態(tài)此起的響應(yīng)隨著時(shí)間的推移只有三種 衰減到零 發(fā)散到無(wú)窮大 趨于等幅諧波振蕩 從而定義了系統(tǒng)是穩(wěn)定的 不穩(wěn)的 臨界穩(wěn)定的 但對(duì)于非線性系統(tǒng)而言 這種響應(yīng)隨著時(shí)間的推移不僅可能有上述三種情況 而且還可能趨于某一非零的常值或作非諧波的振蕩 同時(shí)還可能由初態(tài)不同 這種響應(yīng)隨著時(shí)間推移的結(jié)果也不同 俄國(guó)學(xué)者A M 在統(tǒng)一考慮了線性與非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性問(wèn)題后 于1882年對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性提出了嚴(yán)密的數(shù)學(xué)定義 這一定義可以表述如下 如圖5 1 4所示 若o為系統(tǒng)的平衡工作點(diǎn) 擾動(dòng)使系統(tǒng)偏離此工作點(diǎn)心起始偏差 即初態(tài) 不超過(guò)域 由擾動(dòng)引起的輸出 這種初態(tài)引起的零輸入響應(yīng) 及其終態(tài)不超過(guò)預(yù)先給定的某值 即不超出域 則系統(tǒng)稱為穩(wěn)定的 或稱為 意義下穩(wěn)定 這也就是說(shuō) 若要求系統(tǒng)的輸出不能超出任意給定的正數(shù) 能在初態(tài)為式中則系統(tǒng)稱為在 意義下穩(wěn)定 反之 若要求系統(tǒng)的輸出不能超出任意給定的正數(shù) 但卻不能找到不為零的正數(shù)來(lái)滿足式 5 1 6 則系統(tǒng)稱為在 意義下不穩(wěn)定 5 1 6 2 漸近穩(wěn)定性漸近穩(wěn)定性就是前面對(duì)線性系統(tǒng)定義的穩(wěn)定性 它要求由初態(tài)引起的響應(yīng)最終衰減到零 一般所講的線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性 也就是漸近穩(wěn)定性 當(dāng)然 也是 意義下的穩(wěn)定性 但對(duì)非線系統(tǒng)而言 這兩種穩(wěn)定性是不同的 比較漸近穩(wěn)定性與 意義下的穩(wěn)定性可知 前者比后者對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性的要求高 系統(tǒng)若是漸近穩(wěn)定的則一定是 意義下穩(wěn)定的 反之則不盡然 3 小偏差 穩(wěn)定性 小偏差 穩(wěn)定性又稱 小穩(wěn)定 或 局部穩(wěn)定性 由于實(shí)際系統(tǒng)往往存在非線性 因此系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程往往是建立在 小偏差 線性化的基礎(chǔ)之上的 在偏差較大時(shí) 線性化帶來(lái)的誤差太大 因此 用線性化方程來(lái)研究的穩(wěn)定性時(shí) 就只限于討論初始偏差 初態(tài) 不超出某一微小范圍時(shí)的穩(wěn)定性 稱之為 小偏差 穩(wěn)定性 初始偏差大時(shí) 就不能用來(lái)討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性 穩(wěn)定的基本概念和系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 設(shè)一線性定常系統(tǒng)原處于某一平衡狀態(tài) 若它瞬間受到某一擾動(dòng)作用而偏離了原來(lái)的平衡狀態(tài) 當(dāng)此擾動(dòng)撤消后 系統(tǒng)仍能回到原有的平衡狀態(tài) 則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的 反之 系統(tǒng)為不穩(wěn)定 線形系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)的固有特征 結(jié)構(gòu) 參數(shù) 與系統(tǒng)的輸入信號(hào)無(wú)關(guān) 閉環(huán)特征方程式的根須都位于S的左半平面 系統(tǒng)穩(wěn)定 充要條件 5 2勞斯穩(wěn)定判據(jù) Routh sstabilitycriterion 5 2 1勞斯表 線性系統(tǒng)穩(wěn)定 閉環(huán)特征方程式的根必須都位于S的左半平面 充要條件 穩(wěn)定判據(jù) 令系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 如果方程式的根都是負(fù)實(shí)部 或?qū)嵅繛樨?fù)的復(fù)數(shù)根 則其特征方程式的各項(xiàng)系數(shù)均為正值 且無(wú)零系數(shù) 證明 設(shè) 為實(shí)數(shù)根 為復(fù)數(shù)根 不會(huì)有系數(shù)為零的項(xiàng) 線性系統(tǒng)穩(wěn)定 必要條件 將各項(xiàng)系數(shù) 按下面的格式排成老斯表 這樣可求得n 1行系數(shù) 如果勞斯表中第一列的系數(shù)均為正值 則其特征方程式的根都在S的左半平面 相應(yīng)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的 如果勞斯表中第一列系數(shù)的符號(hào)有變化 其變化的次數(shù)等于該特征方程式的根在S的右半平面上的個(gè)數(shù) 相應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定 勞斯穩(wěn)定判據(jù) 已知一調(diào)速系統(tǒng)的特征方程式為 例5 1 試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性 解 列勞斯表 結(jié)論 1 該表第一列系數(shù)符號(hào)不全為正 因而系統(tǒng)是不穩(wěn)定的 2 且符號(hào)變化了兩次 所以該方程中有二個(gè)根在S的右半平面 已知某調(diào)速系統(tǒng)的特征方程式為 例5 2 求該系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍 解 列勞斯表 由勞斯判據(jù)可知 若系統(tǒng)穩(wěn)定 則勞斯表中第一列的系數(shù)必須全為正值 可得 5 2 2勞斯判據(jù)特殊情況 勞斯表某一行中的第一項(xiàng)等于零 而該行的其余各項(xiàng)不等于零或沒(méi)有其余項(xiàng) 若勞斯表第一列中系數(shù)的符號(hào)有變化 其變化的次數(shù)就等于該方程在S右半平面上根的數(shù)目 相應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定 如果第一列上面的系數(shù)與下面的系數(shù)符號(hào)相同 則表示該方程中有一對(duì)共軛虛根存在 相應(yīng)的系統(tǒng)也屬不穩(wěn)定 是以一個(gè)很小的正數(shù) 來(lái)代替為零的這項(xiàng) 1 解決的辦法 據(jù)此算出其余的各項(xiàng) 完成勞斯表的排列 請(qǐng)看例題 已知系統(tǒng)的特征方程式為 試判別相應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 例5 3 由于表中第一列 上面的符號(hào)與其下面系數(shù)的符號(hào)相同 表示該方程中有一對(duì)共軛虛根存在 相應(yīng)的系統(tǒng)為 臨界 不穩(wěn)定 解 列勞斯表 勞斯表中出現(xiàn)全零行 用系數(shù)全為零行的上一行系數(shù)構(gòu)造一個(gè)輔助多項(xiàng)式 并以這個(gè)輔助多項(xiàng)式導(dǎo)數(shù)的系數(shù)來(lái)代替表中系數(shù)為全零的行 完成勞斯表的排列 2 解決的辦法 這些大小相等 徑向位置相反的根可以通過(guò)求解這個(gè)輔助方程式得到 而且其根的數(shù)目總是偶數(shù)的 相應(yīng)方程中含有一些大小相等符號(hào)相反的實(shí)根或共軛虛根 相應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定 請(qǐng)看例題 例如 一個(gè)控制系統(tǒng)的特征方程為 列勞斯表 顯然這個(gè)系統(tǒng)處于臨界 不 穩(wěn)定狀態(tài) 5 2 3勞斯判據(jù)的應(yīng)用 實(shí)際系統(tǒng)希望S左半平面上的根距離虛軸有一定的距離 為變量的特征方程式 然后用勞斯判據(jù)去判別該方程中是否有根位于垂線 此法可以估計(jì)一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)的各根中最靠近右側(cè)的根距離虛軸有多遠(yuǎn) 從而了解系統(tǒng)穩(wěn)定的 程度 代入原方程式中 得到以 穩(wěn)定判據(jù)能回答特征方程式的根在S平面上的分布情況 而不能確定根的具體數(shù)據(jù) 1 2 解決的辦法 設(shè) 右側(cè) 請(qǐng)看例題 5 2 3勞斯判據(jù)的應(yīng)用 用勞斯判據(jù)檢驗(yàn)下列特征方程 是否有根在S的右半平面上 并檢驗(yàn)有幾個(gè)根在垂線 的右方 例5 4 解 列勞斯表 第一列全為正 所有的根均位于左半平面 系統(tǒng)穩(wěn)定 令 代入特征方程 式中有負(fù)號(hào) 顯然有根在 的右方 列勞斯表 第一列的系數(shù)符號(hào)變化了一次 表示原方程有一個(gè)根在垂直直線 的右方 請(qǐng)看例題 已知一單位反饋控制系統(tǒng)如圖3 21所示 試回答 例5 5 時(shí) 閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定 圖3 21單位反饋控制系統(tǒng)方塊圖 時(shí) 閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定條件是什么 特征方程為 排勞斯表 第一列均為正值 S全部位于左半平面 故 時(shí) 閉環(huán)系統(tǒng)的 解 系統(tǒng)穩(wěn)定 開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) 閉環(huán)特征方程為 列勞斯表 未完待續(xù) 利用勞斯穩(wěn)定判據(jù)可確定系統(tǒng)一個(gè)或兩個(gè)可調(diào)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響 欲使系統(tǒng)穩(wěn)定第一列的系數(shù)必須全為正值 例題 P1855 5系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖如圖所示 試確定K和取何值時(shí) 系統(tǒng)將維持以角頻率的持續(xù)振蕩 解法 由題意知系統(tǒng)處于等幅振蕩狀態(tài) 這說(shuō)明系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的 又振蕩頻率為2rad s 即閉環(huán)系統(tǒng)必具有共軛虛根 j2 上述情況在與Routh計(jì)算表中出現(xiàn)S1行各元素均為零的現(xiàn)象對(duì)應(yīng) 因?yàn)橹挥羞@樣才可能由S2行元素構(gòu)成的輔助方程式解出一對(duì)共軛虛根 令此共軛虛根等于 j2便可確定參數(shù)K和a的值 勞斯表 依據(jù) 等幅振蕩狀態(tài) 臨界穩(wěn)定 有純虛根 1 P157最后一段話 2 P164第2點(diǎn) 3 P1655 2節(jié)最后一句話 另解 將 jW代入閉環(huán)特征方程式 得到關(guān)于實(shí)部和虛部的兩個(gè)方程 可求解出未知參數(shù) 簡(jiǎn)便 補(bǔ)充題 某系統(tǒng)閉環(huán)特征方程如下 試判斷系統(tǒng)不在左半平面的極點(diǎn)數(shù) 勞斯表