9、增數(shù)列；當(dāng)a1<0，q>1或a1>0,00且q≠1)常和指數(shù)函數(shù)相聯(lián)系．(3)整體思想：應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)，常把qn，當(dāng)成整體求解．
本題條件前n項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為54的利用是解決本題的關(guān)鍵，同時(shí)將qn和的值整體代入求解，簡化了運(yùn)算，體現(xiàn)了整體代換的思想，在解決有關(guān)數(shù)列求和的題目時(shí)應(yīng)靈活運(yùn)用．
1．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)公式分別為an＝a1qn－1，Sn＝
2．等比數(shù)列的判定方法：
(1)定義法：即證明＝q (q≠0，n∈N*) (q是與n值
10、無關(guān)的常數(shù))．
(2)中項(xiàng)法：證明一個(gè)數(shù)列滿足a＝an·an＋2 (n∈N*且an·an＋1·an＋2≠0)．
3．等比數(shù)列的性質(zhì)：
(1)an＝am·qn－m (n，m∈N*)；
(2)若{an}為等比數(shù)列，且k＋l＝m＋n (k，l，m，n∈N*)，則ak·al＝am·an；
(3)設(shè)公比不為－1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn.
4．在利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，一定要對公比q＝1或q≠1作出判斷；計(jì)算過程中要注意整體代入的思想方法．
5．等差數(shù)列與等比數(shù)列的關(guān)系是：
(1)若一個(gè)數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比
11、數(shù)列，則此數(shù)列是非零常數(shù)列；
(2)若{an}是等比數(shù)列，且an>0，則{lg an}構(gòu)成等差數(shù)列．
(滿分：75分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(2010·遼寧)設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和．已知a2a4＝1，S3＝7，則S5等于 ( )
A. B. C. D.
2．(2010·浙江)設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，8a2＋a5＝0，則等于 ( )
A．－11
12、 B．－8 C．5 D．11
3．在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1＝3，前三項(xiàng)的和S3＝21，則a3＋a4＋a5等于( )
A．33 B．72 C．84 D．189
4．等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)的積為Tn，若a3a6a18是一個(gè)確定的常數(shù)，那么數(shù)列T10，T13，T17，T25中也是常數(shù)的項(xiàng)是 ( )
A．T10 B．T13 C．T17 D．T25
5．(2011·佛山模擬)記等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝2，S6＝18
13、，則等于( )
A．－3 B．5 C．－31 D．33
題號
1
2
3
4
5
答案
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．設(shè){an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若a1＝1，a5＝16，則數(shù)列{an}前7項(xiàng)的和為________．
7．(2011·平頂山月考)在等比數(shù)列{an}中，公比q＝2，前99項(xiàng)的和S99＝30，則a3＋a6＋a9＋…＋a99＝________.
8．(2010·福建)在等比數(shù)列{an}中，若公比q＝4，且前3項(xiàng)之和等于21，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝________.
三、解答題(共38分)
9．(12分)(2
14、010·陜西)已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)；
(2)求數(shù)列{2an}的前n項(xiàng)和Sn.
10．(12分)(2011·廊坊模擬)已知數(shù)列{log2(an－1)}為等差數(shù)列，且a1＝3，a2＝5.
(1)求證：數(shù)列{an－1}是等比數(shù)列；
(2)求＋＋…＋的值．
11．(14分)已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，公差d>0，且第2項(xiàng)、第5項(xiàng)、第14項(xiàng)分別是等比數(shù)列{bn}的第2項(xiàng)、第3項(xiàng)、第4項(xiàng)．
(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列{cn}對n∈N*均有
15、＋＋…＋＝an＋1成立，求c1＋c2＋c3＋…＋c2 010.
答案 自主梳理
1．公比 q 2.a1·qn－1 4.(1)qn－m (2)ak·al＝am·an
(4)遞增 遞減 常 擺動 6.qn
自我檢測
1．D 2.B 3.B 4.C 5.－9
課堂活動區(qū)
例1 解題導(dǎo)引 (1)在等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中共有a1，an，q，n，Sn五個(gè)量，知道其中任意三個(gè)量，都可以求出其余兩個(gè)量．解題時(shí)，將已知條件轉(zhuǎn)化為基本量間的關(guān)系，然后利用方程組的思想求解；
(2)本例可將所有項(xiàng)都用a1和q表示，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和q的方程組求解；也可利用等比數(shù)列的性質(zhì)來轉(zhuǎn)化，
16、兩種方法目的都是消元轉(zhuǎn)化．
解 方法一 由已知得：
①－②，得4aq6＝64，∴aq6＝16.③
代入①，得＋2×16＋16q2＝100.
解得q2＝4或q2＝.
又?jǐn)?shù)列{an}為正項(xiàng)數(shù)列，∴q＝2或.
當(dāng)q＝2時(shí)，可得a1＝，
∴an＝×2n－1＝2n－2，
Sn＝＝2n－1－；
當(dāng)q＝時(shí)，可得a1＝32.
∴an＝32×n－1＝26－n.
Sn＝＝64－26－n.
方法二 ∵a1a5＝a2a4＝a，a2a6＝a3a5，a3a7＝a4a6＝a，
由
可得
即
∴解得或
當(dāng)a3＝8，a5＝2時(shí)，q2＝＝＝.
∵q>0，∴q＝，由a3＝a1q2＝8，
得
17、a1＝32，∴an＝32×n－1＝26－n.
Sn＝＝64－26－n.
當(dāng)a3＝2，a5＝8時(shí)，q2＝＝4，且q>0，
∴q＝2.
由a3＝a1q2，得a1＝＝.
∴an＝×2n－1＝2n－2.
Sn＝＝2n－1－.
變式遷移1 解 由題意得
解得或
若則Sn＝＝＝126，
解得q＝，此時(shí)，an＝2＝64·n－1，
∴n＝6.
若則Sn＝＝126，∴q＝2.
∴an＝64＝2·2n－1.∴n＝6.
綜上n＝6，q＝2或.
例2 解題導(dǎo)引 (1)證明數(shù)列是等比數(shù)列的兩個(gè)基本方法：
①＝q (q為與n值無關(guān)的常數(shù))(n∈N*)．
②a＝anan＋2 (an≠0
18、，n∈N*)．
(2)證明數(shù)列不是等比數(shù)列，可以通過具體的三個(gè)連續(xù)項(xiàng)不成等比數(shù)列來證明，也可用反證法．
(1)證明 由已知Sn＋1＝2Sn＋n＋5，n∈N*，
可得n≥2時(shí)，Sn＝2Sn－1＋n＋4，
兩式相減得Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1，
即an＋1＝2an＋1，從而an＋1＋1＝2(an＋1)，
當(dāng)n＝1時(shí)，S2＝2S1＋1＋5，
所以a2＋a1＝2a1＋6，
又a1＝5，所以a2＝11，
從而a2＋1＝2(a1＋1)，
故總有an＋1＋1＝2(an＋1)，n∈N*，
又a1＝5，a1＋1≠0，從而＝2，
即數(shù)列{an＋1}是首項(xiàng)為6，公比為2的等比數(shù)
19、列．
(2)解 由(1)得an＋1＝6·2n－1，
所以an＝6·2n－1－1，
于是Sn＝－n＝6·2n－n－6.
變式遷移2 (1)解 ∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，∴當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2×1＝2；
當(dāng)n＝2時(shí)，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，∴a2＝4；
當(dāng)n＝3時(shí)，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，
∴a3＝8.
(2)證明 ∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan
＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，①
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1
＝(n－2)Sn－1＋2(n－1)．②
①－②
20、得nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2＝n(Sn－Sn－1)－Sn＋2Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2.
∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2，
∴Sn＋2＝2(Sn－1＋2)．
∵S1＋2＝4≠0，∴Sn－1＋2≠0，
∴＝2，
故{Sn＋2}是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
例3 解題導(dǎo)引 在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時(shí)，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq”，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度．
解 由已知得
＋＋＋＋
＝＋＋
＝＝＝2，
∴a＝4，∴a3＝±2.若a3＝－2，設(shè)數(shù)列的公比為
21、q，
則＋－2－2q－2q2＝8，
即＋＋1＋q＋q2
＝2＋2＋＝－4.
此式顯然不成立，經(jīng)驗(yàn)證，a3＝2符合題意，故a3＝2.
變式遷移3 解 (1)∵a3a11＝a＝4a7，
∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝4，
∵{bn}為等差數(shù)列，∴b5＋b9＝2b7＝8.
(2)a1a2a3a4＝a1·a1q·a1q2·a1q3＝aq6＝1.①
a13a14a15a16＝a1q12·a1q13·a1q14·a1q15
＝a·q54＝8.②
②÷①：＝q48＝8?q16＝2，
又a41a42a43a44＝a1q40·a1q41·a1q42·a1q43
＝a·q166＝a·q
22、6·q160＝(a·q6)·(q16)10
＝1·210＝1 024.
課后練習(xí)區(qū)
1．B [∵{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且a2a4＝1，
∴設(shè){an}的公比為q，則q>0，且a＝1，即a3＝1.
∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝＋＋1＝7，即6q2－q－1＝0.
故q＝或q＝－(舍去)，∴a1＝＝4.
∴S5＝＝8(1－)＝.]
2．A [由8a2＋a5＝0，得8a1q＋a1q4＝0，所以q＝－2，則＝＝－11.]
3．C [由題可設(shè)等比數(shù)列的公比為q，
則＝21?1＋q＋q2＝7?q2＋q－6＝0
?(q＋3)(q－2)＝0，
根據(jù)題意可知q>0，故q＝2.
23、
所以a3＋a4＋a5＝q2S3＝4×21＝84.]
4．C [a3a6a18＝aq2＋5＋17＝(a1q8)3＝a，即a9為定值，所以下標(biāo)和為9的倍數(shù)的積為定值，可知T17為定值．]
5．D [因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}中有S3＝2，S6＝18，
即＝＝1＋q3＝＝9，
故q＝2，從而＝
＝1＋q5＝1＋25＝33.]
6．127
解析 ∵公比q4＝＝16，且q>0，∴q＝2，
∴S7＝＝127.
7.
解析 ∵S99＝30，即a1(299－1)＝30，
∵數(shù)列a3，a6，a9，…，a99也成等比數(shù)列且公比為8，
∴a3＋a6＋a9＋…＋a99＝
＝＝×30＝.
8．4
24、n－1
解析 ∵等比數(shù)列{an}的前3項(xiàng)之和為21，公比q＝4，
不妨設(shè)首項(xiàng)為a1，則a1＋a1q＋a1q2＝a1(1＋4＋16)＝21a1＝21，∴a1＝1，∴an＝1×4n－1＝4n－1.
9．解 (1)由題設(shè)知公差d≠0，
由a1＝1，a1，a3，a9成等比數(shù)列，
得＝，…………………………………………………………………………(4分)
解得d＝1或d＝0(舍去)．
故{an}的通項(xiàng)an＝1＋(n－1)×1＝n.……………………………………………………(7分)
(2)由(1)知2an＝2n，由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，
得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝
＝2n＋1－2.…
25、……………………………………………………………………………(12分)
10．(1)證明 設(shè)log2(an－1)－log2(an－1－1)＝d (n≥2)，因?yàn)閍1＝3，a2＝5，所以d＝log2(a2－1)－log2(a1－1)＝log24－log22＝1，…………………………………………………………(3分)
所以log2(an－1)＝n，所以an－1＝2n，
所以＝2 (n≥2)，所以{an－1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．………(6分)
(2)解 由(1)可得an－1＝(a1－1)·2n－1，
所以an＝2n＋1，…………………………………………………………………………(8
26、分)
所以＋＋…＋
＝＋＋…＋
＝＋＋…＋＝1－.………………………………………………………………(12分)
11．解 (1)由已知有a2＝1＋d，a5＝1＋4d，a14＝1＋13d，
∴(1＋4d)2＝(1＋d)(1＋13d)．
解得d＝2(d＝0舍)．……………………………………………………………………(2分)
∴an＝1＋(n－1)·2＝2n－1.………………………………………………………………(3分)
又b2＝a2＝3，b3＝a5＝9，
∴數(shù)列{bn}的公比為3，
∴bn＝3·3n－2＝3n－1.………………………………………………………………………(6分)
(2)由＋＋…＋＝an＋1得
當(dāng)n≥2時(shí)，＋＋…＋＝an.
兩式相減得：當(dāng)n≥2時(shí)，＝an＋1－an＝2.……………………………………………(9分)
∴cn＝2bn＝2·3n－1 (n≥2)．
又當(dāng)n＝1時(shí)，＝a2，∴c1＝3.
∴cn＝.……………………………………………………………(11分)
∴c1＋c2＋c3＋…＋c2 010
＝3＋＝3＋(－3＋32 010)＝32 010.…………………………………………(14分)
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