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2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第三章柯西不等式與排序不等式 3.3 排序不等式試題新人教A版選修4-5.doc

上傳人：tia****nde

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三　排序不等式課后篇鞏固探究 A組 1.順序和S、反序和S、亂序和S″的大小關(guān)系是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.S≤S≤S″ B.S≥S≥S″ C.S≥S″≥S D.S≤S″≤S 解析由排序不等式可得反序和≤亂序和≤順序和. 答案C 2.設(shè)x,y,z均為正數(shù),P=x3+y3+z3,Q=x2y+y2z+z2x,則P與Q的大小關(guān)系是(　　) A.P≥Q B.P>Q C.P≤Q D.P0,則x2≥y2≥z2,則由排序不等式可得順序和為P,亂序和為Q,則P≥Q. 答案A 3.若a0, ∴a1b1+a2b2>a1b2+a2b1. 且a1b1+a2b2>12>a1b2+a2b1. 又1=a1+a2≥2a1a2,∴a1a2≤14. ∵012>a1a2+b1b2, ∴a1b1+a2b2最大. 答案A 5.已知a,b,c∈R+,則a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)(　　) A.大于零 B.大于或等于零 C.小于零 D.小于或等于零解析設(shè)a≥b≥c>0,則a3≥b3≥c3,根據(jù)排序原理, 得a3a+b3b+c3c≥a3b+b3c+c3a. 因?yàn)閍b≥ac≥bc,a2≥b2≥c2, 所以a3b+b3c+c3a≥a2bc+b2ca+c2ab. 所以a4+b4+c4≥a2bc+b2ca+c2ab, 即a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)≥0. 答案B 6.設(shè)a1,a2,a3,a4是1,2,3,4的一個(gè)排序,則a1+2a2+3a3+4a4的取值范圍是　　　　　　　　. 解析a1+2a2+3a3+4a4的最大值為順序和12+22+32+42=30,最小值為反序和14+23+32+41=20. 答案[20,30] 7.如圖所示,在矩形OPAQ中,a1≤a2,b1≤b2,若陰影部分的面積為S1,空白部分的面積之和為S2,則S1與S2的大小關(guān)系是　　　　　　　　. 解析由題圖可知,S1=a1b1+a2b2,而S2=a1b2+a2b1,根據(jù)順序和≥反序和,得S1≥S2. 答案S1≥S2 8.若a,b,c為正數(shù),求證a3+b3+c3≥3abc. 證明不妨設(shè)a≥b≥c>0,則a2≥b2≥c2>0, 由排序不等式,得a3+b3≥a2b+ab2,c3+b3≥c2b+cb2,a3+c3≥a2c+ac2, 三式相加,得2(a3+b3+c3)≥a(b2+c2)+b(a2+c2)+c(a2+b2). 因?yàn)閍2+b2≥2ab,c2+b2≥2cb,a2+c2≥2ac, 所以2(a3+b3+c3)≥6abc, 即a3+b3+c3≥3abc(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí),等號(hào)成立). 9.設(shè)a,b均為正數(shù),求證ab2+ba2≥ab+ba. 證明不妨設(shè)a≥b>0,則a2≥b2>0,1b≥1a>0, 由不等式性質(zhì),得a2b≥b2a>0. 則由排序不等式,可得a2b1b+b2a1a≥a2b1a+b2a1b,即ab2+ba2≥ab+ba. 10.設(shè)a,b,c都是正數(shù),求證a+b+c≤a4+b4+c4abc. 證明由題意不妨設(shè)a≥b≥c>0. 由不等式的性質(zhì),知a2≥b2≥c2,ab≥ac≥bc. 根據(jù)排序原理,得a2bc+ab2c+abc2≤a3c+b3a+c3b. ① 又由不等式的性質(zhì),知a3≥b3≥c3,且a≥b≥c. 再根據(jù)排序原理,得a3c+b3a+c3b≤a4+b4+c4. ② 由①②及不等式的傳遞性,得a2bc+ab2c+abc2≤a4+b4+c4. 兩邊同除以abc,得a+b+c≤a4+b4+c4abc(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí),等號(hào)成立). B組 1.設(shè)a,b,c>0,則式子M=a5+b5+c5-a3bc-b3ac-c3ab與0的大小關(guān)系是(　　) A.M≥0 B.M≤0 C.M與0的大小關(guān)系與a,b,c的大小有關(guān) D.不能確定解析不妨設(shè)a≥b≥c>0,則a3≥b3≥c3,且a4≥b4≥c4,則a5+b5+c5=aa4+bb4+cc4≥ac4+ba4+cb4. 又a3≥b3≥c3,且ab≥ac≥bc, ∴a4b+b4c+c4a=a3ab+b3bc+c3ca ≥a3bc+b3ac+c3ab. ∴a5+b5+c5≥a3bc+b3ac+c3ab.∴M≥0. 答案A 2.若0<α<β<γ<π2,F=sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α-12(sin 2α+sin 2β+sin 2γ),則(　　) A.F>0 B.F≥0 C.F≤0 D.F<0 解析因?yàn)?<α<β<γ<π2, 所以0sin αcos α+sin βcos β+sin γcos γ, 而F=sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α-12(sin 2α+sin 2β+sin 2γ) =sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α-(sin αcos α+sin βcos β+sin γcos γ)>0. 答案A 3.導(dǎo)學(xué)號(hào)26394057車間里有5臺(tái)機(jī)床同時(shí)出了故障,從第1臺(tái)到第5臺(tái)的修復(fù)時(shí)間依次為4 min、8 min、6 min、10 min、5 min,每臺(tái)機(jī)床停產(chǎn)1 min損失5元,經(jīng)合理安排損失最少為(　　) A.420元 B.400元 C.450元 D.570元解析設(shè)從第1臺(tái)到第5臺(tái)的修復(fù)時(shí)間依次為t1,t2,t3,t4,t5,若按照從第1臺(tái)到第5臺(tái)的順序修復(fù),則修復(fù)第一臺(tái)需要t1分鐘,則停產(chǎn)總時(shí)間為5t1,修復(fù)第2臺(tái)需要t2分鐘,則停產(chǎn)總時(shí)間為4t2,…,修復(fù)第5臺(tái)需要t5分鐘,則停產(chǎn)總時(shí)間為t5,因此修復(fù)5臺(tái)機(jī)床一共需要停產(chǎn)的時(shí)間為5t1+4t2+3t3+2t4+t5,要使損失最小,應(yīng)使停產(chǎn)時(shí)間最少,亦即使5t1+4t2+3t3+2t4+t5取最小值.由排序不等式可知,當(dāng)t10,求證1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)xn. 證明當(dāng)x≥1時(shí),因?yàn)?≤x≤x2≤…≤xn, 所以由排序原理得11+xx+x2x2+…+xnxn≥1xn+xxn-1+…+xn-1x+xn1, 即1+x2+x4+…+x2n≥(n+1)xn. ① 又x,x2,…,xn,1為序列1,x,x2,…,xn的一個(gè)排列, 所以1x+xx2+…+xn-1xn+xn1≥1xn+xxn-1+…+xn-1x+xn1, 因此x+x3+…+x2n-1+xn≥(n+1)xn, ② ①+②,得1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)xn. ③ 當(dāng)0x≥x2≥…≥xn,①②仍成立, 故③也成立.綜上,原不等式成立.

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