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課時(shí)分層作業(yè)(十五)　反證法 (建議用時(shí)：40分鐘) [基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練] 一、選擇題 1．用反證法證明“三角形中至少有一個(gè)內(nèi)角不小于60”，應(yīng)先假設(shè)這個(gè)三角形中(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062157】 A．有一個(gè)內(nèi)角小于60 B．每一個(gè)內(nèi)角都小于60 C．有一個(gè)內(nèi)角大于60 D．每一個(gè)內(nèi)角都大于60 B　[由反證法的證明命題的格式和語言可知答案B是正確的，所以選B.] 2．用反證法證明命題“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程x3＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是(　　) A．方程x3＋ax＋b＝0沒有實(shí)根 B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一個(gè)實(shí)根 C．方程x3＋ax＋b＝0至多有兩個(gè)實(shí)根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有兩個(gè)實(shí)根 A　[依據(jù)反證法的要求，即至少有一個(gè)的反面是一個(gè)也沒有，直接寫出命題的否定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)根的反面是方程x3＋ax＋b＝0沒有實(shí)根，故應(yīng)選A.] 3．用反證法證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，首先應(yīng)該做出與命題結(jié)論相反的假設(shè)．否定“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”時(shí)正確的假設(shè)為(　　) A．自然數(shù)a，b，c都是奇數(shù) B．自然數(shù)a，b，c都是偶數(shù) C．自然數(shù)a，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù) D．自然數(shù)a，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù) D　[反證法證明時(shí)應(yīng)假設(shè)所要證明的結(jié)論的反面成立，本題需反設(shè)為自然數(shù)a，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)．] 4．已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b的位置關(guān)系為 (　　) A．一定是異面直線　　　 B．一定是相交直線 C．不可能是平行直線 D．不可能是相交直線 C　[假設(shè)c∥b，而由c∥a，可得a∥b，這與a，b異面矛盾，故c與b不可能是平行直線，故選C.] 5．設(shè)x，y，z都是正實(shí)數(shù)，a＝x＋，b＝y(tǒng)＋，c＝z＋，則a，b，c三個(gè)數(shù) (　　) A．至少有一個(gè)不大于2 B．都小于2 C．至少有一個(gè)不小于2 D．都大于2 C　[若a，b，c都小于2，則a＋b＋c<6①， 而a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6②， 顯然①，②矛盾，所以C正確．] 二、填空題 6．用反證法證明“若函數(shù)f(x)＝x2＋px＋q，則|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個(gè)不小于”時(shí)，假設(shè)內(nèi)容是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062158】 [解析]　“|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個(gè)不小于”的反面是“|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于”． [答案]　|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于 7．用反證法證明命題“若x2－1＝0，則x＝－1或x＝1”時(shí)，應(yīng)假設(shè)________． [解析]　反證法的反設(shè)只否定結(jié)論，或的否定是且，所以是x≠－1且x≠1. [答案]　x≠－1且x≠1 8．完成反證法證題的全過程． 題目：設(shè)a1，a2，…，a7是由數(shù)字1,2，…，7任意排成的一個(gè)數(shù)列，求證：乘積p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)為偶數(shù)． 證明：假設(shè)p為奇數(shù)，則________均為奇數(shù)． 因奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和為奇數(shù)，故有奇數(shù)＝________＝________＝0. 但奇數(shù)≠偶數(shù)，這一矛盾說明p為偶數(shù)． [解析]　由假設(shè)p為奇數(shù)可知a1－1，a2－2，…，a7－7均為奇數(shù)，故(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0為奇數(shù)，這與0為偶數(shù)矛盾． [答案]　a1－1，a2－2，…，a7－7　(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7) 　(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7) 三、解答題 9. 已知x，y>0，且x＋y>2. 求證：，中至少有一個(gè)小于2. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062159】 [證明]　假設(shè)，都不小于2， 即≥2，≥2. ∵x，y>0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x. ∴2＋x＋y≥2(x＋y)， 即x＋y≤2與已知x＋y>2矛盾． ∴，中至少有一個(gè)小于2. 10．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均為整數(shù)，且f(0)，f(1)均為奇數(shù)．求證：f(x)＝0無整數(shù)根． [解]　假設(shè)f(x)＝0有整數(shù)根n， 則an2＋bn＋c＝0， 由f(0)為奇數(shù)，即c為奇數(shù)， f(1)為奇數(shù)，即a＋b＋c為奇數(shù)，所以a＋b為偶數(shù)， 又an2＋bn＝－c為奇數(shù)， 所以n與an＋b均為奇數(shù)，又a＋b為偶數(shù)， 所以an－a為奇數(shù)，即(n－1)a為奇數(shù)， 所以n－1為奇數(shù)，這與n為奇數(shù)矛盾． 所以f(x)＝0無整數(shù)根． [能力提升練] 1．已知a、b、c∈(0,1)．則在(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a中， (　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062160】 A．不能同時(shí)大于 B．都大于 C．至少一個(gè)大于 D．至多有一個(gè)大于 A　[法一：假設(shè)(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a都大于. ∵a、b、c都是小于1的正數(shù)，∴1－a、1－b、1－c都是正數(shù).＞＞＝， 同理＞，＞. 三式相加，得 ＋＋＞， 即＞，矛盾． 所以(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a不能都大于. 法二：假設(shè)三個(gè)式子同時(shí)大于，即(1－a)b>， (1－b)c>，(1－c)a>，三式相乘得 (1－a)b(1－b)c(1－c)a>3① 因?yàn)?2；④a2＋b2＜2. 其中能推出“a，b中至少有一個(gè)大于1”的條件是________(填序號(hào))． [解析]　假設(shè)a，b均不大于1，即a≤1，b≤1.則①②④均有可能成立，故①②④不能推出“a，b中至少有一個(gè)大于1”，故選③. [答案]?、? 5．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn； (2)設(shè)bn＝(n∈N*)，求證：數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062161】 [解]　(1)設(shè)公差為d，由已知得 ∴d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)． (2)證明：由(1)得bn＝＝n＋. 假設(shè)數(shù)列{bn}中存在三項(xiàng)bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比數(shù)列，則b＝bpbr， 即(q＋)2＝(p＋)(r＋)， ∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0. ∵p，q，r∈N*， ∴ ∴2＝pr，(p－r)2＝0， ∴p＝r，這與p≠r矛盾． 所以數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列．