《2020版高考數學一輪復習 第11章 算法復數推理與證明 第2講 數系的擴充與復數的引入講義 理（含解析）.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020版高考數學一輪復習 第11章 算法復數推理與證明 第2講 數系的擴充與復數的引入講義 理（含解析）.doc（10頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

第2講　數系的擴充與復數的引入 [考綱解讀]　1.理解復數的基本概念及復數相等的充要條件．(重點) 2.了解復數的代數表示法及幾何意義，能將代數形式的復數在復平面上用點或向量表示，并能將復平面上的點或向量所對應的復數用代數形式表示． 3.能進行復數形式的四則運算，并了解復數代數形式的加、減運算的幾何意義．(重點、難點) [考向預測]　 從近三年高考情況來看，本講在高考中屬于必考內容. 預測2020年將會考查：①復數的基本概念與四則運算；②復數模的計算；③復數的幾何意義. 題型為客觀題，難度一般不大，屬于基礎題型. 1．復數的有關概念 2．復數的幾何意義 復數集C和復平面內所有的點組成的集合是一一對應的，復數集C與復平面內所有以原點O為起點的向量組成的集合也是一一對應的，即 (1)復數z＝a＋bi復平面內的點Z(a，b)(a，b∈R)． (2)復數z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量. 3．復數代數形式的四則運算 (1)運算法則 設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則 (2)復數加法的運算定律 復數的加法滿足交換律、結合律，即對任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． (3)復數乘法的運算定律 復數的乘法滿足交換律、結合律、分配律，即對于任意z1，z2，z3∈C，有z1z2＝z2z1，(z1z2)z3＝z1(z2z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3. (4)復數加、減法的幾何意義 ①復數加法的幾何意義：若復數z1，z2對應的向量，不共線，則復數z1＋z2是＋所對應的復數． ②復數減法的幾何意義：復數z1－z2是－即所對應的復數． 4．模的運算性質：①|z|2＝||2＝z；②|z1z2|＝|z1||z2|；③＝. 1．概念辨析 (1)關于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R且a≠0)一定有兩個根．(　　) (2)若復數a＋bi中a＝0，則此復數必是純虛數．(　　) (3)復數中有相等復數的概念，因此復數可以比較大小．(　　) (4)復數的模實質上就是復平面內復數對應的點到原點的距離，也就是復數對應的向量的模．(　　) 答案　(1)√　(2)　(3)　(4)√ 2．小題熱身 (1)(2017全國卷Ⅱ)＝(　　) A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i 答案　D 解析　＝＝＝2－i.故選D. (2)(2018北京高考)在復平面內，復數的共軛復數對應的點位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　D 解析　設復數z＝＝＝＝＝＋i，所以z的共軛復數＝－i，對應的點為，位于第四象限． (3)(2018華南師大附中一模)在復平面內，復數z＝cos3＋isin3(i為虛數單位)，則|z|為(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 答案　D 解析　|z|＝＝1. (4)設復數z1＝2－i，z2＝a＋2i(i為虛數單位，a∈R)，若z1z2∈R，則a＝________. 答案　4 解析　因為z1z2＝(2－i)(a＋2i) ＝2a＋2＋(4－a)i， 且z1z2是實數，所以4－a＝0即a＝4. 題型 　復數的有關概念 1．設m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是純虛數，其中i是虛數單位，則m＝(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 答案　C 解析　因為m2＋m－2＋(m2－1)i是純虛數， 所以解得m＝－2. 2．若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虛數單位)，則a，b的值分別等于(　　) A．3，－2 B．3,2 C．3，－3 D．－1,4 答案　A 解析　因為(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋bi， 所以a＝3，b＝－2. 3．(2018合肥一檢)設i為虛數單位，復數z＝的虛部是(　　) A. B．－ C．1 D．－1 答案　B 解析　復數z＝＝＝－i，則z的虛部為－. 4．(2018全國卷Ⅰ)設z＝＋2i，則|z|＝(　　) A．0 B. C．1 D. 答案　C 解析　因為z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，所以|z|＝＝1，故選C. 有關處理復數基本概念問題的關鍵 因為復數的分類、相等、模、共軛復數等問題都與實部與虛部有關，所以處理復數有關基本概念問題的關鍵是找準復數的實部和虛部，即轉化為a＋bi(a，b∈R)的形式，再從定義出發(fā)，把復數問題轉化成實數問題來處理. 1．(2019安徽安慶模擬)設i是虛數單位，如果復數的實部與虛部相等，那么實數a的值為(　　) A. B．－ C．3 D．－3 答案　C 解析?。剑深}意知2a－1＝a＋2，解得a＝3.故選C. 2．已知集合A＝N，B＝{x∈R|z＝3＋xi，且|z|＝5}(i為虛數單位)，則A∩B＝________. 答案　{4} 解析　因為|z|＝＝5，所以x＝4， 所以B＝{－4,4}， 所以A∩B＝{4}． 3．(2017浙江高考)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虛數單位)，則a2＋b2＝________，ab＝________. 答案　5　2 解析　因為(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi. 由(a＋bi)2＝3＋4i，得解得a2＝4，b2＝1. 所以a2＋b2＝5，ab＝2. 題型 　復數的幾何意義 1．(2019福州質檢)設復數z1，z2在復平面內對應的點關于實軸對稱，z1＝2＋i，則＝(　　) A．1＋i B.＋i C．1＋i D．1＋i 答案　B 解析　因為復數z1，z2在復平面內對應的點關于實軸對稱，z1＝2＋i，所以z2＝2－i，所以＝＝＝＋i，故選B. 2．若復數z＝在復平面內對應的點在直線y＝－x上，則z＝(　　) A．1 B．2 C．－1 D．－2 答案　B 解析　因為z＝＝－i， 且z在復平面內對應的點在直線y＝－x上， 所以－1＝－，a＝2， 所以z＝(1－i)(1＋i)＝1－i2＝2. 3．若復數z滿足①|z|≥1；②|z＋i|≤|－1－2i|，則z在復平面內所對應的圖形的面積為________． 答案　4π 解析　設z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z|≥1及|z＋i|≤|－1－2i|易得x2＋y2≥1及x2＋(y＋1)2≤5知z在復平面內對應圖形的面積為5π－π＝4π. 條件探究1　把舉例說明1中的“實軸”改為“虛軸”，求z1z2. 解　因為復數z1，z2在復平面內對應的點關于虛軸對稱，z1＝2＋i，所以z2＝－2＋i.所以z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－22＝－5. 條件探究2　將舉例說明1中z1對應的向量繞點O逆時針旋轉90，得z2對應的向量，試求. 解　 如圖所示， z1＝2＋i，z2＝－1＋2i， 所以＝ ＝＝－i. 復數幾何意義及應用 1．復數z、復平面上的點Z及向量相互聯系，即z＝a＋bi(a，b∈R)?Z(a，b)?. 2．由于復數、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此可把復數、向量與解析幾何聯系在一起，解題時可運用數形結合的方法，使問題的解決更加直觀． 提醒：|z|的幾何意義：令z＝x＋yi(x，y∈R)，則|z|＝，由此可知表示復數z的點到原點的距離就是|z|的幾何意義；|z1－z2|的幾何意義是復平面內表示復數z1，z2的兩點之間的距離. 1．在復平面內，若O(0,0)，A(2，－1)，B(0,3)，則在?OACB中，點C所對應的復數為(　　) A．2＋2i B．2－2i C．1＋i D．1－i 答案　A 解析　在?OACB中，＝＋＝(2，－1)＋(0,3)＝(2,2)，所以點C所對應的復數為2＋2i. 2．如圖所示的網格紙中小正方形的邊長是1，復平面內點Z對應的復數z滿足(z1－i)z＝1，則復數z1＝(　　) A．－＋i B.＋i C.－i D．－－i 答案　B 解析　由圖可知z＝2＋i，因為(z1－i)z＝1， 所以z1＝＋i＝＋i＝＋i＝＋i. 題型 　復數的四則運算 角度1　復數的加、減、乘、除運算 1．(1)(2018天津高考)i是虛數單位，復數＝________； (2)已知i是虛數單位，8＋2018＝________. 答案　(1)4－i　(2)1＋i 解析　(1)＝＝＝4－i. (2)原式＝8＋1009＝i8＋1009＝i8＋i1009＝1＋i4252＋1＝1＋i. 角度2　復數四則運算的綜合應用 2．若復數(1－i)(cosθ＋isinθ)在復平面內對應的點在第二象限，則實數θ的取值范圍是________． 答案　，k∈Z 解析　(1－i)(cosθ＋isinθ) ＝(cosθ＋sinθ)＋(sinθ－cosθ)i， 此復數在復平面內對應的點為(cosθ＋sinθ，sinθ－cosθ)． 由題意得 角θ終邊所在的區(qū)域如圖所示． 所以2kπ＋<θ<2kπ＋，k∈Z. 1．復數代數形式運算問題的解題策略 (1)復數的加減法 在進行復數的加減法運算時，可類比合并同類項，運用法則(實部與實部相加減，虛部與虛部相加減)計算即可． (2)復數的乘法 復數的乘法類似于多項式的四則運算，可將含有虛數單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可． (3)復數的除法 除法的關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數，解題中要注意把i的冪寫成最簡形式． 2．記住以下結論，可提高運算速度 (1)(1i)2＝2i； (2)＝i； (3)＝－i； (4)＝b－ai； (5)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N). 1．(2018太原二模)＝(　　) A．2 B．－2 C. D．－ 答案　A 解析?。? ＝＝＝2. 2．若復數z滿足(1＋2i)z＝1－i，則||＝(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　∵z＝，∴||＝|z|＝＝＝. 3．復數z＝cos75＋isin75(i是虛數單位)，則在復平面內，z2對應的點位于第________象限． 答案　二 解析　z2＝(cos75＋isin75)2 ＝(cos275－sin275)＋(2sin75cos75)i ＝cos150＋isin150 ＝－＋i，其對應的點位于第二象限．