新編高三數(shù)學(xué)理,山東版一輪備課寶典 第三章 三角函數(shù)
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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第三章 三角函數(shù) 第一節(jié) 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù) [考情展望] 1.利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值.2.考查三角函數(shù)值符號(hào)的確定. 一、角的有關(guān)概念 1.從運(yùn)動(dòng)的角度看,角可分為正角、負(fù)角和零角. 2.從終邊位置來(lái)看,可分為象限角與軸線(xiàn)角. 3.若β與α是終邊相同的角,則β用α表示為β=2kπ+α(k∈Z). 二、弧度與角度的互化 1.1弧度的角 長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角. 2.角α的弧度數(shù) 如果半徑為r的圓的圓心角α所對(duì)弧的長(zhǎng)為l,那么,角α的弧度數(shù)的絕對(duì)值是|α|=. 3.角度與弧度的換算①1°=rad;②1
2、 rad=°. 4.弧長(zhǎng)、扇形面積的公式 設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l,圓心角大小為α(rad),半徑為r,則l=rα,扇形的面積為S=lr=r2α. 角度制與弧度制不可混用 角度制與弧度制可利用180°=π rad進(jìn)行互化,在同一個(gè)式子中,采用的度量制度必須一致,不可混用. 三、任意角的三角函數(shù) 1定義:設(shè)α是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),那么sin α=y(tǒng),cos α=x,tan α=. 2.幾何表示:三角函數(shù)線(xiàn)可以看作是三角函數(shù)的幾何表示,正弦線(xiàn)的起點(diǎn)都在x軸上,余弦線(xiàn)的起點(diǎn)都是原點(diǎn),正切線(xiàn)的起點(diǎn)都是(1,0). 三角函數(shù)值符號(hào)記憶口訣 記憶技巧:一全正、
3、二正弦、三正切、四余弦(為正).即第一象限全為正,第二象限正弦為正,第三象限正切為正,第四象限余弦為正. 1.給出下列四個(gè)命題: ①-是第二象限角;②是第三象限角;③-400°是第四象限角;④-315°是第一象限角.其中正確的命題有( ) A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 【解析】?、僦校堑谌笙藿牵盛馘e(cuò)誤.②中,=π+,從而是第三象限角正確.③中-400°=-360°-40°,從而③正確.④中-315°=-360°+45°,從而④正確. 【答案】 C 2.已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(-1,2),則sin α=( ) A. B. C.-
4、 D.- 【解析】 由三角函數(shù)的定義可知,sin α==. 【答案】 B 3.若sin α<0且tan α>0,則α是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 【解析】 由sin α<0,得α在第三、四象限或y軸非正半軸上,又tan α>0,∴α在第三象限. 【答案】 C 4.弧長(zhǎng)為3π,圓心角為135°的扇形半徑為_(kāi)_______,面積為_(kāi)_______. 【解析】 ∵l=3π,α=135°=, ∴r==4,S=lr=×3π×4=6π. 【答案】 4 6π 5.(2012·江西高考)下列函數(shù)中,與函數(shù)y=定義域相同的函數(shù)為
5、( ) A.y= B.y= C.y=xex D.y= 【解析】 函數(shù)y=的定義域?yàn)閧x|x≠0},選項(xiàng)A中由sin x≠0?x≠kπ,k∈Z,故A不對(duì);選項(xiàng)B中x>0,故B不對(duì);選項(xiàng)C中,x∈R,故C不對(duì);選項(xiàng)D中由正弦函數(shù)及分式型函數(shù)的定義域確定方法可知定義域?yàn)閧x|x≠0},故選D. 【答案】 D 6.(2011·江西高考)已知角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),始邊為x軸的正半軸.若P(4,y)是角θ終邊上一點(diǎn),且sin θ=-,則y=________. 【解析】 由三角函數(shù)的定義,sin θ=, 又sin θ=-<0, ∴y<0且=-, 解之得y=-8. 【答案】 -8
6、 考向一 [047] 角的集合表示及象限角的判定 (1)寫(xiě)出終邊在直線(xiàn)y=x上的角的集合; (2)已知α是第三象限角,求所在的象限. 【思路點(diǎn)撥】 (1)角的終邊是射線(xiàn),應(yīng)分兩種情況求解. (2)把α寫(xiě)成集合的形式,從而的集合形式也確定. 【嘗試解答】 (1)當(dāng)角的終邊在第一象限時(shí),角的集合為,當(dāng)角的終邊在第三象限時(shí),角的集合為,故所求角的集合為∪ =. (2)∵2kπ+π<α<2kπ+π(k∈Z), ∴kπ+<<kπ+π(k∈Z). 當(dāng)k=2n(n∈Z)時(shí),2nπ+<<2nπ+π,是第二象限角, 當(dāng)k=2n+1(n∈Z)時(shí),2nπ+<<2nπ+π,是第四象限角,
7、 綜上知,當(dāng)α是第三象限角時(shí),是第二或第四象限角. 規(guī)律方法1 1.若要確定一個(gè)絕對(duì)值較大的角所在的象限,一般是先將角化為2kπ+α(0≤α<2π)(k∈Z)的形式,然后再根據(jù)α所在的象限予以判斷. 2.利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角,方法是先寫(xiě)出這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合,然后通過(guò)對(duì)集合中的參數(shù)k賦值來(lái)求得所需角. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 若α=k·180°+45°(k∈Z),則α在( ) A.第一或第三象限 B.第一或第二象限 C.第二或第四象限 D.第三或第四象限 【解析】 當(dāng)k=2n(n∈Z)時(shí),α=n·360°+45°, 所以α在第一象限. 當(dāng)k=2n
8、+1(n∈Z)時(shí),α=n·360°+225°, 所以α在第三象限. 綜上可知,α在第一或第三象限. 【答案】 A 考向二 [048] 扇形的弧長(zhǎng)及面積公式 已知扇形的圓心角是α,半徑為R,弧長(zhǎng)為l. (1)若α=60°,R=10 cm,求扇形的弧長(zhǎng)l. (2)若扇形的周長(zhǎng)為20 cm,當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時(shí),這個(gè)扇形的面積最大? (3)若α=,R=2 cm,求扇形的弧所在的弓形的面積. 【思路點(diǎn)撥】 (1)可直接用弧長(zhǎng)公式,但要注意用弧度制; (2)可用弧長(zhǎng)或半徑表示出扇形面積,然后確定其最大值時(shí)的半徑和弧長(zhǎng),進(jìn)而求出圓心角α; (3)利用S弓=S扇-S△,這樣就
9、需要求扇形的面積和三角形的面積. 【嘗試解答】 (1)l=10×=(cm). (2)由已知得:l+2R=20, 所以S=lR=(20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2+25,所以R=5時(shí),S取得最大值25,此時(shí)l=10,α=2 rad. (3)設(shè)弓形面積為S弓. 由題知l=cm, S弓=S扇-S△=××2-×22×sin =(cm2). 規(guī)律方法2 1.利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí),要注意角的單位必須是弧度. 2.本題把求扇形面積最大值的問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題,利用配方法使問(wèn)題得到解決,這是解決此類(lèi)問(wèn)題的常用方法. 3.在解決弧長(zhǎng)問(wèn)題和扇形面積問(wèn)題時(shí),要注意合
10、理地利用圓心角所在的三角形. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 已知半徑為10的圓O中,弦AB的長(zhǎng)為10, (1)求弦AB所對(duì)的圓心角α的大??; (2)求α所在的扇形弧長(zhǎng)l及弧所在的弓形的面積S. 【解】 (1)在△AOB中,AB=OA=OB=10, ∴△AOB為等邊三角形. 因此弦AB所對(duì)的圓心角α=. (2)由扇形的弧長(zhǎng)與扇形面積公式,得 l=α·R=×10=π, S扇形=R·l=α·R2=. 又S△AOB=·OA·OB·sin =25. ∴弓形的面積S=S扇形-S△AOB=50. 考向三 [049] 三角函數(shù)的定義 (1)已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(m,-3),且cos α=-,則m等于
11、( ) A.- B. C.-4 D.4 (2)已知角α的終邊在直線(xiàn)3x+4y=0上,求sin α,cos α,tan α的值. 【思路點(diǎn)撥】 (1)求出點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離,根據(jù)三角函數(shù)的定義求解. (2)在直線(xiàn)上設(shè)一點(diǎn)P(4t,-3t),求出點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離,根據(jù)三角函數(shù)的定義求解,由于點(diǎn)P可在不同的象限內(nèi),所以需分類(lèi)討論. 【嘗試解答】 (1)點(diǎn)P到原點(diǎn)O距離|OP|=, ∴cos α==-, ∴,∴m=-4. 【答案】 C (2)在直線(xiàn)3x+4y=0上任取一點(diǎn)P(4t,-3t)(t≠0), 則x=4t,y=-3t, ∴r=|PO|===5|t|,
12、 當(dāng)t>0時(shí),r=5t, sin α===-, cos α===, tan α===-; 當(dāng)t<0時(shí),r=-5t,sin α===, cos α===-, tan α===-. 綜上可知,當(dāng)t>0時(shí),sin α=-,cos α=,tan α=-. 當(dāng)t<0時(shí),sin α=,cos α=-,tan α=-. 規(guī)律方法3 定義法求三角函數(shù)值的兩種情況 (1)已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo),則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r,然后利用三角函數(shù)的定義求解. (2)已知角α的終邊所在的直線(xiàn)方程,則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo),求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,然后利用三角函數(shù)的定義求解相關(guān)的問(wèn)題.若直線(xiàn)的
13、傾斜角為特殊角,也可直接寫(xiě)出角α的三角函數(shù)值. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 設(shè)90°<α<180°,角α的終邊上一點(diǎn)為P(x,),且cos α=x,求4sin α-3tan α的值. 【解】 ∵r=,∴cos α=, 從而x=, 解得x=0或x=±. ∵90°<α<180°, ∴x<0,因此x=-.則r=2, ∴sin α==,tan α==-. 故4sin α-3tan α=+. 易錯(cuò)易誤之六 |a|≠a——三角函數(shù)定義求值中引發(fā)的分類(lèi)討論 ———— [1個(gè)示范例] ———— [1個(gè)防錯(cuò)練] ———— (2014·臨沂模擬)已知角θ的終邊上一點(diǎn)p(3a,4a)(a≠0),則s
14、in θ=________. 【解析】 ∵x=3a,y=4a, ∴r==5|a|. 此處在求解時(shí),常犯r=5a的錯(cuò)誤,出錯(cuò)的原因在于去絕對(duì)值時(shí),沒(méi)有對(duì)a進(jìn)行討論. (1)當(dāng)a>0時(shí),r=5a,∴sin θ==. (2)當(dāng)a<0時(shí),r=-5a,∴sin θ==- ∴sin θ=±. 【防范措施】 1.對(duì)于=|a|,在去掉絕對(duì)值號(hào)后,應(yīng)分a≥0和a<0兩種情況討論. 2.已知角α終邊上任意一點(diǎn)p(x,y),求三角函數(shù)值時(shí),應(yīng)用sin α=,cos α=,tan α=求解. 已知角α的終邊落在直線(xiàn)y=2x上,則sin α+cos α=________. 【解析】 在角α的終邊上
15、任取一點(diǎn)P(t,2t)(t≠0),則 r=|OP|==|t| (1)若t>0,則sin α==, cos α==,sin α+cos α=. (2)若t<0,則sin α=-=-, cos α=-=-,sin α+cos α=-. 綜上所述,sin α+cos α=±. 【答案】 ± 第二節(jié) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式 [考情展望] 1.利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求三角函數(shù)值.2.借助誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式,進(jìn)而求三角函數(shù)值. 一、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 1.平方關(guān)系:sin2α+cos2α=1. 2.商數(shù)關(guān)系:tan α=(α≠+kπ,k∈Z). 二、六組
16、誘導(dǎo)公式 組數(shù) 一 二 三 四 五 六 角 2kπ+α(k∈Z) π+α -α π-α -α +α 正弦 sin α -sin_α -sin_α sin_α cos_α cos_α 余弦 cos α -cos_α cos_α -cos_α sin_α -sin_α 正切 tan α tan_α -tan_α -tan_α 誘導(dǎo)公式記憶口訣 對(duì)于角“±α”(k∈Z)的三角函數(shù)記憶口訣“奇變偶不變,符號(hào)看象限”,“奇變偶不變”是指“當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),正弦變余弦,余弦變正弦;當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),函數(shù)名不變”.“符號(hào)看象限”是指“
17、在α的三角函數(shù)值前面加上當(dāng)α為銳角時(shí),原函數(shù)值的符號(hào)”. 1.已知cos(α-π)=-,且α是第四象限角,則sin α=( ) A.- B. C. D.± 【解析】 ∵cos(α-π)=cos(π-α)=-cos α=-, ∴cos α=,又α是第四象限角, ∴sin α<0,則sin α=-=-. 【答案】 A 2.已知sin(π+θ)=-cos(2π-θ),|θ|<,則θ等于( ) A.- B.- C. D. 【解析】 由sin(π+θ)=-cos(2π-θ)得 -sin θ=-cos θ, ∴tan θ=,又|θ|<,∴θ=,
18、故選D. 【答案】 D 3.sin 585°的值為( ) A.- B. C.- D. 【解析】 sin 585°=sin(360°+225°)=sin 225°=sin(180°+45°)=-sin 45°=-. 【答案】 A 4.若cos α=-且α∈,則tan α=( ) A. B. C.- D.- 【解析】 ∵cos α=-,且α∈, ∴sin α=-=-=-, ∴tan α==. 【答案】 B 5.(2012·遼寧高考)已知sin α-cos α=,α∈(0,π),則sin 2α=( ) A.-1 B.- C. D.1 【解析】
19、因?yàn)閟in α-cos α=,所以1-2sin αcos α=2, 即sin 2α=-1. 【答案】 A 6.(2013·廣東高考)已知sin=,那么cos α=( ) A.- B.- C. D. 【解析】 sin=cos α,故cos α=,故選C. 【答案】 C 考向一 [050] 同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用 (1)已知=5,則sin2α-sin αcos α的值是( ) A. B.- C.-2 D.2 (2)(2014·嘉興模擬)已知α∈,tan α=2,則cos α=________. 【思路點(diǎn)撥】 (1)先根據(jù)已知條件求得tan α,再
20、把所求式變?yōu)橛胻an α表示的式子求解; (2)切化弦,結(jié)合sin2α+cos2α=1求解. 【嘗試解答】 (1)由=5,得=5,即tan α=2. 所以sin2α-sin αcos α===. (2)依題意得 由此解得cos2α=; 又α∈(π,),因此cos α=-. 【答案】 (1)A (2)- 規(guī)律方法1 1.利用sin2α+cos2α=1可以實(shí)現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化,利用=tan α可以實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化. 2.注意公式逆用及變形應(yīng)用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 (1)(2014·汕頭模擬)若t
21、an α=2,則的值為( ) A.0 B. C.1 D. (2)若α∈,且sin α=,則tan α=________. 【解析】 (1)∵tan α=2, ∴===. (2)∵α∈,sin α=, ∴cos α=-=-, ∴tan α==-. 【答案】 (1)B (2)- 考向二 [051] 誘導(dǎo)公式的應(yīng)用 (1)sin 600°+tan 240°的值等于( ) A.- B. C.- D.+ (2)若sin=,則cos等于( ) A.- B.- C. D. (3)(2014·濰坊模擬)已知角θ的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與x軸
22、正半軸重合,終邊在直線(xiàn)2x-y=0上,則=( ) A.-2 B.2 C.0 D. 【思路點(diǎn)撥】 (1)直接利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn). (2)分析角“-α”與“+α”間的關(guān)系. (3)先求tan θ的值,再對(duì)原式化簡(jiǎn),代入求值便可. 【嘗試解答】 (1)sin 600°+tan 240°=sin(360°+240°)+tan(180°+60°) =sin(180°+60°)+tan 60° =-sin 60°+tan 60°=-+=. (2)cos=cos=sin=. (3)由題意可知tan θ=2. 故= ===2. 【答案】 (1)B (2)C (3)B 規(guī)律方法2
23、 1.利用誘導(dǎo)公式應(yīng)注意已知角或函數(shù)名稱(chēng)與所求角或函數(shù)名稱(chēng)之間存在的關(guān)系,選擇恰當(dāng)?shù)墓?,向所求角和三角函?shù)進(jìn)行化歸. 2.誘導(dǎo)公式的應(yīng)用原則:負(fù)化正、大化小、小化銳、銳求值. 考向三 [052] sin α±cos α與sin α·cos α的關(guān)系 (2014·昌平模擬)已知-π<x<0,sin x+cos x=. (1)求sin x-cos x的值; (2)求的值. 【思路點(diǎn)撥】 (1)利用平方關(guān)系,設(shè)法溝通sin x-cos x與sin x+cos x的關(guān)系;(2)先利用倍角公式、商數(shù)關(guān)系式化為角x的弦函數(shù),再設(shè)法將所求式子用已知表示出來(lái). 【嘗試解答】 (1)法一:由s
24、in x+cos x=,平方得 sin2x+2sin xcos x+cos2x=, 整理得2sin xcos x=-. ∵(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x=. 又∵-π<x<0, ∴sin x<0,又sin x+cos x>0, ∴cos x>0,sin x-cos x<0, 故sin x-cos x=-. 所以sin x-cos x=-法二:由法一可知sin xcos x=-<0, 又-π<x<0,所以sin x<0,cos x>0, 聯(lián)立得 -=-. (2)= ===-. 規(guī)律方法3 1.第(1)問(wèn)應(yīng)注意x的范圍對(duì)sin x-cos x的
25、符號(hào)的影響.事實(shí)上根據(jù)條件可進(jìn)一步判定x∈. 2.對(duì)于sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α這三個(gè)式子,已知其中一個(gè)式子的值,其余二式的值可求,轉(zhuǎn)化公式為(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 (2014·威海模擬)已知θ∈(0,π),sin θ+cos θ=,則tan θ的值為( ) A.-或- B.- C.- D.- 【解析】 法一 由sin θ+cos θ=兩邊平方得, sin θcos θ=-, 由sin θ·cos θ===-, 解得tan θ=-或tan θ=-, ∵θ∈
26、(0,π),0<sin θ+cos θ=(-1)<1, ∴θ∈,|sin θ|>|cos θ|,∴|tan θ|>1, 即θ∈. ∴tan θ<-1, ∴tan θ=-舍去, 故tan θ=-. 法二:由sin θ+cos θ=,兩邊平方得 sin θ·cos θ=-, ∴(sin θ-cos θ)2=1-2sin θ·cos θ =1+==2. ∵θ∈(0,π),sin θ+cos θ=(-1)<1, ∴θ∈,sin θ-cos θ>0,∴sin θ-cos θ=. 由 解得 ∴tan θ=-. 【答案】 C 易錯(cuò)易誤之七 撥云見(jiàn)日——三角函數(shù)式中“角范圍
27、”的信息提取 ———— [1個(gè)示范例] ———— [1個(gè)防錯(cuò)練] ———— (2012·大綱全國(guó)卷)已知α為第二象限角,sin α+cos α=,則cos 2α=( ) A.- B.- C. D. 【解析】 ∵sin α+cos α=, ∴(sin α+cos α)2=, ∴2sin αcos α=-,即sin 2α=-. 又∵α為第二象限角且sin α+cos α=>0, 此處在求解中,分析不出“sin α+cos α=>0”這個(gè)隱含信息,導(dǎo)致后面的“α”范圍無(wú)法確定,進(jìn)而影響后面的解答. ∴2kπ+<α<2kπ+π(k∈Z), ∴4kπ+π<2α<4
28、kπ+π(k∈Z), ∴2α為第三象限角, ∴cos 2α=-=-. 【防范措施】 (1)由sin α+cos α=,隱含著sin α+cos α>0,即sin α>-cos α,結(jié)合α為第二象限角可進(jìn)一步約束角α的范圍. (2)利用平方關(guān)系求三角函數(shù)值,開(kāi)方時(shí)應(yīng)注意三角函數(shù)值符號(hào)的判斷. 若sin θ,cos θ是關(guān)于x的方程5x2-x+a=0(a是常數(shù))的兩根,θ∈(0,π),則cos 2θ的值為_(kāi)_______. 【解析】 由題意可知,sin θ+cos θ=, ∴(sin θ+cos θ)2=, ∴sin 2θ=-. 即2sin θcos θ=-<0,則sin θ與
29、cos θ異號(hào), 又sin θ+cos θ=>0, ∵<θ<. ∴π<2θ<, 故cos 2θ=-=-. 【答案】?。? 第三節(jié) 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) [考情展望] 1.考查三角函數(shù)圖象的識(shí)別.2.考查三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性和對(duì)稱(chēng)性).3.考查三角函數(shù)的值域(最值). 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì) 函數(shù) y=sin x y=cos x y=tan x 圖象 定義域 x∈R x∈R x∈R且x≠+kπ,k∈Z 值域 [-1,1] [-1,1] R 單調(diào)性 遞增區(qū)間是[2kπ-,2kπ+] (k∈Z),
30、 遞減區(qū)間是 2kπ+,2kπ+(k∈Z) 遞增區(qū)間是[2kπ-π,2kπ](k∈Z), 遞減區(qū)間是 [2kπ,2kπ+π](k∈Z) 遞增區(qū)間是( kπ-,kπ+)(k∈Z) 最值 ymax=1; ymin=-1 ymax=1; ymin=-1 無(wú)最大值和最小值 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 對(duì)稱(chēng)性 對(duì)稱(chēng)中心 (kπ,0),k∈Z ,k∈Z ,k∈Z 對(duì)稱(chēng)軸 x=kπ+,k∈Z x=kπ,k∈Z 無(wú)對(duì)稱(chēng)軸 最小正周期 2π 2π π 三角函數(shù)奇偶性的判斷技巧 1.若f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0),則 (1)
31、f(x)為偶函數(shù)的充要條件是φ=+kπ(k∈Z); (2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是φ=kπ(k∈Z). 2.若f(x)=Acos(ωx+φ)(A,ω≠0),則 (1)f(x)為偶函數(shù)的充要條件是φ=kπ(k∈Z). (2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是φ=+kπ(k∈Z). 1.函數(shù)y=tan 3x的定義域?yàn)? ) A. B. C. D. 【解析】 由3x≠+kπ,k∈Z得x≠+,k∈Z,故選D. 【答案】 D 2.函數(shù)f(x)=2cos是( ) A.最小正周期為2π的奇函數(shù) B.最小正周期為2π的偶函數(shù) C.最小正周期為2π的非奇非偶函數(shù) D.最小正
32、周期為π的偶函數(shù) 【解析】 f(x)=2cos=2cos =-2sin x,故f(x)是最小正周期為2π的奇函數(shù). 【答案】 A 3.函數(shù)f(x)=sin的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是( ) A.x= B.x= C.x=- D.x=- 【解析】 法一 ∵正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸過(guò)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn),故令x-=kπ+,k∈Z,∴x=kπ+,k∈Z. 取k=-1,則x=-. 法二 x=時(shí),y=sin=0,不合題意,排除A;x=時(shí),y=sin=,不合題意,排除B;x=-時(shí),y=sin=-1,符合題意,C項(xiàng)正確;而x=-時(shí),y=sin=-,不合題意,故D項(xiàng)也不正確. 【答案】 C
33、 4.比較大?。簊in________sin. 【解析】 ∵-<-<-<0,∴sin>sin. 【答案】 > 5.(2013·天津高考)函數(shù)f(x)=sin在區(qū)間上的最小值為( ) A.-1 B.- C. D.0 【解析】 ∵x∈[0,],∴-≤2x-≤,∴當(dāng)2x-=-時(shí),f(x)=sin(2x-)有最小值-. 【答案】 B 6.(2013·江蘇高考)函數(shù)y=3sin的最小正周期為_(kāi)_______. 【解析】 函數(shù)y=3sin的最小正周期T==π. 【答案】 π 考向一 [053] 三角函數(shù)的定義域和值域 (1)函數(shù)y=的定義域?yàn)開(kāi)_______
34、. (2)求下列函數(shù)的值域: ①y=2cos2 x+2cos x; ②y=3cos x-sin x,x∈[0,π]; ③y=sin x+cos x+sin xcos x. 【思路點(diǎn)撥】 (1)由tan x-1≠0,且x≠+kπ,k∈Z解得. (2)①令cos x=t,轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)求解,注意t的范圍. ②借助輔助角公式,化原式成y=Asin(ωx+φ)的形式,借助函數(shù)的單調(diào)性求解. ③令sin x+cos x=t,則sin xcos x=,從而轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)求值域. 【嘗試解答】 (1)要使函數(shù)有意義,必需有 即 故函數(shù)的定義域?yàn)? . 【答案】 (2)①y=2
35、cos2x+2cos x=22-. 當(dāng)且僅當(dāng)cos x=1時(shí),得ymax=4, 當(dāng)且僅當(dāng)cos x=-時(shí),得ymin=-, 故函數(shù)值域?yàn)? ②y=3cos x-sin x=2 =2cos. ∵x∈[0,π], ∴≤x+≤, ∴-1≤cos≤, ∴-2≤2cos≤3. ∴y=3cos x-sin x的值域?yàn)閇-2,3]. ③法一:y=sin xcos x+sin x+cos x =+sin =sin2+sin- =2-1, 所以當(dāng)sin=1時(shí), y取最大值1+-=+. 當(dāng)sin=-時(shí),y取最小值-1, ∴該函數(shù)值域?yàn)? 法二:設(shè)t=sin x+cos x,則
36、sin xcos x=(-≤t≤), y=t+t2-=(t+1)2-1, 當(dāng)t=時(shí),y取最大值為+, 當(dāng)t=-1時(shí),y取最小值為-1. ∴函數(shù)值域?yàn)? 規(guī)律方法1 1.求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解三角不等式,常借助三角函數(shù)線(xiàn)或三角函數(shù)圖象來(lái)求解. 2.求解三角函數(shù)的值域(最值)的常見(jiàn)類(lèi)型及方法.,(1)形如y=asin x+bcos x+c的三角函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)+k的形式,再求最值(值域); (2)形如y=asin2x+bsin x+c的三角函數(shù),可先設(shè)sin x=t,化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值); (3)形如y=asin xcos x+b(sin x±c
37、os x)+c的三角函數(shù),可設(shè)t=sin x±cos x,化為關(guān)于t的二次函數(shù)求解. 考向二 [054] 三角函數(shù)的單調(diào)性 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. (1)y=sin;(2)y=|tan x|. 【思路點(diǎn)撥】 (1)y=-sin,再借助復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求解;(2)由y=tan x的圖象→y=|tan x|的圖象→求單調(diào)區(qū)間. 【嘗試解答】 (1)y=-sin, 它的增區(qū)間是y=sin的減區(qū)間, 它的減區(qū)間是y=sin的增區(qū)間. 由2kπ-≤3x-≤2kπ+,k∈Z, 得-≤x≤+,k∈Z. 由2kπ+≤3x-≤2kπ+,k∈Z. 得+≤x≤+π,k∈Z. 故所給函數(shù)的減區(qū)
38、間為,k∈Z; 增區(qū)間為,k∈Z. (2)觀(guān)察圖象可知,y=|tan x|的增區(qū)間是,k∈Z,減區(qū)間是,k∈Z. 規(guī)律方法2 1.求含有絕對(duì)值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時(shí),通常要畫(huà)出圖象,結(jié)合圖象判定. 2.求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中,ω>0)的單調(diào)區(qū)間時(shí),要視“ωx+φ”為一個(gè)整體,通過(guò)解不等式求解.但如果ω<0,那么一定先借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù),防止把單調(diào)性弄錯(cuò). 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 (2014·常州模擬)已知函數(shù)y=sin, 求: (1)函數(shù)的周期; (2)求函數(shù)在[-π,0]上的單調(diào)遞減區(qū)間. 【解】 由y=sin可化為y=-sin. (1
39、)周期T===π. (2)令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z, 得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z. 所以x∈R時(shí),y=sin的減區(qū)間為,k∈Z. 取k=-1,0可得函數(shù)在[-π,0]上的單調(diào)遞減區(qū)間為和. 考向三 [055] 三角函數(shù)的奇偶性、周期性和對(duì)稱(chēng)性 (1)已知函數(shù)f(x)=sin(πx-)-1,則下列說(shuō)法正確的是( ) A.f(x)是周期為1的奇函數(shù) B.f(x)是周期為2的偶函數(shù) C.f(x)是周期為1的非奇非偶函數(shù) D.f(x)是周期為2的非奇非偶函數(shù) (2)已知f(x)=cos(x+φ)-sin(x+φ)為偶函數(shù),則φ可以取的一個(gè)值為( ) A.
40、 B. C.- D.- (3)設(shè)函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ),給出以下四個(gè)論斷: ①它的最小正周期為π; ②它的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=成軸對(duì)稱(chēng)圖形; ③它的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形; ④在區(qū)間上是增函數(shù). 以其中兩個(gè)論斷作為條件,另兩個(gè)論斷作為結(jié)論,寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題________(用序號(hào)表示即可). 【思路點(diǎn)撥】 (1)借助誘導(dǎo)公式對(duì)f(x)先化簡(jiǎn),再判斷. (2)化f(x)為Asin(ωx+φ)的形式,再結(jié)合誘導(dǎo)公式求解. (3)本題是一個(gè)開(kāi)放性題目,依據(jù)正弦函數(shù)的圖象及單調(diào)性、周期性以及對(duì)稱(chēng)性逐一判斷. 【嘗試解答】 (1)周期T
41、==2,f(x)=sin-1 =-cos πx-1,因此函數(shù)f(x)是偶函數(shù),故選B. (2)f(x)=2=2cos=2cos,由f(x)為偶函數(shù),知φ+=kπ(k∈Z),即φ=kπ-(k∈Z),由所給選項(xiàng)知只有D適合. (3)若①、②成立,則ω==2;令2·+φ=kπ+,k∈Z,且|φ|<,故k=0,∴φ=.此時(shí)f(x)=sin,當(dāng)x=時(shí),sin=sin π=0, ∴f(x)的圖象關(guān)于成中心對(duì)稱(chēng);又f(x)在上是增函數(shù),∴在上也是增函數(shù),因此①②?③④,用類(lèi)似的分析可得①③?②④.因此填①②?③④或①③?②④. 【答案】 (1)B (2)D (3)①②?③④或①③?②④ 規(guī)律方法
42、3 1.判斷三角函數(shù)的奇偶性和周期性時(shí),一般先將三角函數(shù)式化為一個(gè)角的一種三角函數(shù),再根據(jù)函數(shù)奇偶性的概念、三角函數(shù)奇偶性規(guī)律、三角函數(shù)的周期公式求解. 2.求三角函數(shù)的周期主要有三種方法:(1)周期定義;(2)利用正(余)弦型函數(shù)周期公式;(3)借助函數(shù)的圖象. 思想方法之九 研究三角函數(shù)性質(zhì)的一大“法寶”——整體思想 所謂整體思想就是研究問(wèn)題時(shí)從整體出發(fā),對(duì)問(wèn)題的整體形式、結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行綜合分析、整體處理的思想方法. 在三角函數(shù)學(xué)習(xí)中,運(yùn)用“整體思想”可以解決以下幾類(lèi)問(wèn)題 (1)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值; (2)研究三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)(如定義域、值域、單調(diào)性等); (3)解三角
43、不等式或求含參變量的取值范圍問(wèn)題. ———— [1個(gè)示范例] ————[1個(gè)對(duì)點(diǎn)練] ———— (2012·課標(biāo)全國(guó)卷)已知ω>0,函數(shù)f(x)=sin在上單調(diào)遞減,則ω的取值范圍是( ) A. B. C. D.(0,2] 【解析】 由<x<π得ω+<ωx+<πω+, 由題意知?, ∴ ∴≤ω≤,故選A. 已知函數(shù)f(x)=2sin ωx在區(qū)間上的最小值為-2,則ω的取值范圍是( ) A.∪[6,+∞) B.∪ C.(-∞,-2]∪[6,+∞) D.(-∞,-2]∪ 【解析】 當(dāng)ω>0時(shí),由-≤x≤得 -ω≤ωx≤ω,由題意知,-ω≤-,∴ω
44、≥, 當(dāng)ω<0時(shí),由-≤x≤得ω≤ωx≤-ω, 由題意知,ω≤-,∴ω≤-2, 綜上知ω∈(-∞,-2]∪. 【答案】 D 第四節(jié) 函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象及三角函數(shù)模型的應(yīng)用 [考情展望] 1.考查函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換.2.考查函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象畫(huà)法或解析式的求法.3.以新問(wèn)題新情景為切入點(diǎn),考查三角函數(shù)模型的應(yīng)用. 一、y=Asin(ωx+φ)的有關(guān)概念 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)表示一個(gè)振動(dòng)量時(shí) 振幅 周期 頻率 相位 初相 A T= f== ωx+φ φ 二、用
45、五點(diǎn)法畫(huà)y=Asin(ωx+φ)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖 用五點(diǎn)法畫(huà)y=Asin(ωx+φ)一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí),要找五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn),如下表所示 x - ωx+φ 0 π 2π y=Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 0 三、由y=sin x的圖象變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的圖象 (1)先平移后伸縮 (2)先伸縮后平移 兩種變換的差異 先相位變換再周期變換(伸縮變換),平移的量是|φ|個(gè)單位;而先周期變換(伸縮變換)再相位變換,平移的量是(ω>0)個(gè)單位.原因是相位變換和周期變換都是針對(duì)x而言的.
46、 1.已知簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)f(x)=2sin的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1),則該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的最小正周期T和初相φ分別為( ) A.T=6,φ= B.T=6,φ= C.T=6π,φ= D.T=6π,φ= 【解析】 由題意知f(0)=2sin φ=1,∴sin φ=, 又|φ|<,∴φ=,又T=6,故選A. 【答案】 A 2.函數(shù)y=sin在區(qū)間上的簡(jiǎn)圖是下列選項(xiàng)中的( ) 【解析】 當(dāng)x=時(shí),y=sin=0;當(dāng)x=π時(shí),y=sin=-,從而排除B、C、D,選A. 【答案】 A 3.將函數(shù)y=sin x的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),再把所得圖象上所有的點(diǎn)
47、向右平行移動(dòng)個(gè)單位,得到圖象的函數(shù)解析式為( ) A.y=sin B.y=sin C.y=sin D.y=sin 【解析】 將y=sin x的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)得到的圖象解析式為y=sin x,再把所得圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位,得到的圖象解析式為y=sin =sin. 【答案】 D 圖3-4-1 4.已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分圖象如圖3-4-1所示,則( ) A.ω=1,φ= B.ω=1,φ=- C.ω=2,φ= D.ω=2,φ=- 【解析】 由圖象知A=1,T=4=π, ∴=π,ω=2,排除A
48、,B,再由2×+φ=,得φ=-. 【答案】 D 5.(2012·安徽高考)要得到函數(shù)y=cos(2x+1)的圖象,只要將函數(shù)y=cos 2x的圖象( ) A.向左平移1個(gè)單位 B.向右平移1個(gè)單位 C.向左平移個(gè)單位 D.向右平移個(gè)單位 【解析】 ∵y=cos(2x+1)=cos 2, ∴只要將函數(shù)y=cos 2x的圖象向左平移個(gè)單位即可,故選C. 【答案】 C 6.(2013·四川高考)函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)的部分圖象如圖3-4-2所示,則ω,φ的值分別是( ) 圖3-4-2 A.2,- B.2,- C.4,- D.4, 【解析
49、】 ∵=π-π,∴T=π. 又T=(ω>0), ∴=π,∴ω=2. 由五點(diǎn)作圖法可知當(dāng)x=π時(shí),ωx+φ=,即2×π+φ=,∴φ=-.故選A. 【答案】 A 考向一 [056] 作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象 已知函數(shù)f(x)=cos2x-2sin xcos x-sin2x. (1)將f(x)化為y=Acos(ωx+φ)的形式; (2)用“五點(diǎn)法”在給定的坐標(biāo)中,作出函數(shù)f(x)在[0,π]上的圖象. 【思路點(diǎn)撥】 (1)運(yùn)用二倍角公式及兩角和與差的余弦公式化為y=Acos(ωx+φ)的形式; (2)在表中列出[0,π]上的特殊點(diǎn)及兩個(gè)區(qū)間端點(diǎn),根據(jù)變化趨勢(shì)
50、畫(huà)出圖象. 【嘗試解答】 (1)f(x)=cos2x-sin2x-2sin xcos x =cos 2x-sin 2x= =cos. (2)列表: 2x+ π π 2π π x 0 π π π π f(x) 1 0 - 0 1 圖象為: 規(guī)律方法1 1.尋找[0,π]上的特殊點(diǎn)時(shí),可先求出2x+的范圍,在此范圍內(nèi)找出特殊點(diǎn),再求出對(duì)應(yīng)的x值. 2.用“五點(diǎn)法”作圖應(yīng)注意四點(diǎn):(1)將原函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)或y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的形式;(2)求出周期T=;(3)求出振幅A;(4
51、)列出一個(gè)周期內(nèi)的五個(gè)特殊點(diǎn),當(dāng)畫(huà)出某指定區(qū)間上的圖象時(shí),應(yīng)列出該區(qū)間內(nèi)的特殊點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn). 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 已知函數(shù)f(x)=sin.畫(huà)出函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0,π]上的圖象. 【解】 ∵0≤x≤π,∴≤2x+≤.列表如下: 2x+ π 2π x 0 π y 1 0 -1 0 畫(huà)出圖象如圖所示. 考向二 [057] 函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換 (1)(2012·浙江高考)把函數(shù)y=cos 2x+1的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),然后向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,得到的
52、圖象是( ) (2)(2013·課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)函數(shù)y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的圖象向右平移個(gè)單位后,與函數(shù)y=sin的圖象重合,則φ=________. 【思路點(diǎn)撥】 (1)寫(xiě)出變換后的函數(shù)解析式,再根據(jù)圖象變換找圖象; (2)先進(jìn)行平移,得出的三角函數(shù)與所給的三角函數(shù)進(jìn)行比較,求出φ的值. 【嘗試解答】 (1)y=cos 2x+1y=cos x+1 y=cos(x+1)+1y=cos(x+1). 結(jié)合選項(xiàng)可知應(yīng)選A. (2)y=cos(2x+φ)的圖象向右平移個(gè)單位得到y(tǒng)=cos的圖象,整理得y=cos(2x-π+φ). ∵其圖象與y=sin(2x+)的圖
53、象重合, ∴φ-π=-+2kπ,∴φ=+π-+2kπ, 即φ=+2kπ.又∵-π≤φ<π,∴φ=. 【答案】 (1)A (2) 規(guī)律方法2 對(duì)y=Asin(ωx+φ)進(jìn)行圖象變換時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn): (1)平移變換時(shí),x變?yōu)閤±a(a>0),變換后的函數(shù)解析式為y=Asin[ω(x±a)+φ]; (2)伸縮變換時(shí),x變?yōu)?橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的k倍),變換后的函數(shù)解析式為y=Asin(x+φ). 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 (2014·濟(jì)南一中等四校聯(lián)考)為了得到函數(shù)y=sin 2x的圖象,只需把函數(shù)y=sin的圖象.( ) A.向左平移個(gè)單位 B.向左平移個(gè)單位 C.向右平移個(gè)單位 D.向右
54、平移個(gè)單位 【解析】 ∵y=sin=sin 2,故只需把該函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位便可得到函數(shù)y=sin 2x的圖象. 【答案】 D 考向三 [058] 求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的解析式 (1)如圖3-4-3是函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+2(A>0,ω>0)的圖象的一部分,它的振幅、周期、初相各是( ) 圖3-4-3 A.A=3,T=,φ=- B.A=1,T=,φ= C.A=1,T=,φ=- D.A=1,T=,φ=- (2)如圖3-4-4是函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分圖象,則該函數(shù)的解析式為_(kāi)_______. 圖
55、3-4-4 【思路點(diǎn)撥】 (1)利用求A,借助T=求ω,利用點(diǎn)求φ. (2)借助圖象特征求A及T,進(jìn)而求出ω,利用點(diǎn)或(π,0),等條件確定φ的值. 【嘗試解答】 (1)由圖象知,A==1,=π-=π,∴T=π,ω=,由π×+φ=+2kπ, 得φ=-π+2kπ,k∈Z, 令k=0得φ=-π,故選C. 【答案】 C (2)由圖知A=5,由=-π=,得T=3π, ∴ω==,此時(shí)y=5sin. 下面求初相φ. 法一(單調(diào)性法): ∵點(diǎn)(π,0)在遞減的那段曲線(xiàn)上, ∴+φ∈(k∈Z). 由sin=0得+φ=2kπ+π(k∈Z), ∴φ=2kπ+(k∈Z). ∵|φ|<π
56、,∴φ=. ∴該函數(shù)的解析式為y=5sin. 法二(最值點(diǎn)法): 將最高點(diǎn)坐標(biāo)代入y=5sin, 得5sin=5,∴+φ=2kπ+(k∈Z), ∴φ=2kπ+(k∈Z). 又|φ|<π,∴φ=. ∴該函數(shù)的解析式為y=5sin. 法三(起始點(diǎn)法): 函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象一般由“五點(diǎn)法”作出,而起始點(diǎn)的橫坐標(biāo)x正是由ωx+φ=0解得的.故只需找出起始點(diǎn)橫坐標(biāo)x0,就可以迅速求得φ.由圖象易得x0=-,∴φ=-ωx0=-×=. ∴該函數(shù)的解析式為y=5sin. 法四(平移法): 由圖象知,將y=5sin的圖象沿x軸向左平移個(gè)單位,就得到本題圖象,故所求函數(shù)解析
57、式為y=5sin. 規(guī)律方法3 1.求參數(shù)φ是確定函數(shù)解析式的關(guān)鍵,由特殊點(diǎn)求φ時(shí),一定要分清特殊點(diǎn)是“五點(diǎn)法”的第幾個(gè)點(diǎn). 2.用五點(diǎn)法求φ值時(shí),往往以尋找“五點(diǎn)法”中的第一個(gè)點(diǎn)為突破口.“第一點(diǎn)”(即圖象上升時(shí)與x軸的交點(diǎn))時(shí)ωx+φ=0.“第二點(diǎn)”(即圖象的“峰點(diǎn)”)時(shí),ωx+φ=;“第三點(diǎn)”(即圖象下降時(shí)與x軸的交點(diǎn))時(shí)ωx+φ=π;“第四點(diǎn)”(即圖象的“谷點(diǎn)”)時(shí)ωx+φ=;“第五點(diǎn)”時(shí)ωx+φ=2π. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 (2013·大綱全國(guó)卷)若函數(shù)y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分圖象如圖3-4-5,則ω=( ) 圖3-4-5 A.5 B.4 C.3
58、 D.2 【解析】 設(shè)函數(shù)的最小正周期為T(mén),由函數(shù)圖象可知=-x0=,所以T=.又因?yàn)門(mén)=,可解得ω=4. 【答案】 B 考向四 [059] 三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用 圖3-4-6 如圖3-4-6為一個(gè)纜車(chē)示意圖,該纜車(chē)半徑為4.8 m,圓上最低點(diǎn)與地面距離為0.8 m,60秒轉(zhuǎn)動(dòng)一圈,圖中OA與地面垂直,以O(shè)A為始邊,逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)θ角到OB,設(shè)B點(diǎn)與地面間的距離為h. (1)求h與θ間關(guān)系的函數(shù)解析式; (2)設(shè)從OA開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng),經(jīng)過(guò)t秒后到達(dá)OB,求h與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并求纜車(chē)到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)用的最少時(shí)間是多少? 【思路點(diǎn)撥】 【嘗試解答】 (1)以圓心O為原點(diǎn)
59、,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,則以O(shè)x為始邊,OB為終邊的角為θ-. 故點(diǎn)B的坐標(biāo)為, ∴h=5.6+4.8sin. (2)點(diǎn)A在圓上轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度是, 故t秒轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為t, ∴h=5.6+4.8sin,t∈[0,+∞). 到達(dá)最高點(diǎn)時(shí),h=10.4 m. 由sin=1且用時(shí)最少得t-=, ∴t=30,∴纜車(chē)到達(dá)最高點(diǎn)時(shí),用的時(shí)間最少為30秒. 規(guī)律方法4 1.三角函數(shù)模型在實(shí)際中的應(yīng)用體現(xiàn)在兩個(gè)方面:一是已知三角函數(shù)模型,準(zhǔn)確理解自變量的意義及自變量與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)法則,二是把實(shí)際問(wèn)題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題,建立三角函數(shù)模型,再利用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題,其關(guān)鍵是合理建
60、模. 2.建模的方法是,認(rèn)真審題,把問(wèn)題提供的“條件”逐條地“翻譯”成“數(shù)學(xué)語(yǔ)言”,這個(gè)過(guò)程就是數(shù)學(xué)建模的過(guò)程. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 圖3-4-7 (2014·鄭州模擬)如圖3-4-7所示,質(zhì)點(diǎn)P在半徑為2的圓周上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng),其初始位置為P0(,-),角速度為1,那么點(diǎn)P到x軸距離d關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)圖象大致為( ) 【解析】 ∵P0(,-),∴∠P0Ox=. 按逆時(shí)針轉(zhuǎn)時(shí)間t后,得∠POP0=t,∠POx=t-. 由三角函數(shù)定義,知點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2sin, 因此d=2. 當(dāng)點(diǎn)P在P0處時(shí),t=0,d=,排除A、D; 當(dāng)t=時(shí),點(diǎn)P在x軸上,此時(shí)d=0,排除B. 【
61、答案】 C 規(guī)范解答之四 三角函數(shù)的圖象性質(zhì)及平移變換 ————— [1個(gè)示范例] ———— [1個(gè)規(guī)范練] ————— (12分)(2012·山東高考)已知向量m=(sin x,1),n=(A>0),函數(shù)f(x)=m·n的最大值為6. (1)求A; (2)將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移個(gè)單位,再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求g(x)在上的值域. 【規(guī)范解答】 (1)f(x)=m·n=Asin xcos x+cos 2x=A=Asin.4分 因?yàn)锳>0,由題意知A=6.6分 (2)由(1)得f(x)=6sin.
62、將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移個(gè)單位后得到y(tǒng)=6sin=6sin的圖象;8分 再將得到的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的,縱坐標(biāo)不變,得到y(tǒng)=6sin的圖象.10分 因此g(x)=6sin.因?yàn)閤∈, 所以4x+∈, 故g(x)在上的值域?yàn)閇-3,6].12分 【名師寄語(yǔ)】 (1)伸縮變換時(shí),只是x的系數(shù)發(fā)生變化,橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍,則x變?yōu)?x,其他量不變. (2)求y=Asin(ωx+φ)的值域問(wèn)題,應(yīng)先根據(jù)x的范圍,確定ωx+φ的范圍,再數(shù)形結(jié)合求值域. (2013·安徽高考)設(shè)函數(shù)f(x)=sin x+sin. (1)求f(x)的最小值,并求使f(x)取得最小值的x的集
63、合; (2)不畫(huà)圖,說(shuō)明函數(shù)y=f(x)的圖象可由y=sin x的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變化得到. 【解】 (1)因?yàn)閒(x)=sin x+sin x+cos x=sin x+cos x=sin(x+), 所以當(dāng)x+=2kπ-(k∈Z),即x=2kπ-(k∈Z)時(shí),f(x)取得最小值-. 此時(shí)x的取值集合為. (2)先將y=sin x的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍(橫坐標(biāo)不變),得y=sin x的圖象;再將y=sin x的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位,得y=f(x)的圖象. 第五節(jié) 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式 [考情展望] 1.利用兩角和與差的正弦、余弦和正切公式進(jìn)行三角函
64、數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值.2.利用二倍角公式進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值.3.與三角函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象和性質(zhì)相結(jié)合,考查學(xué)生的綜合能力. 一、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 1.六個(gè)公式: ①sin(α±β)=sin_αcos_β±cos_αsin_β; ②cos(α±β)=cos_αcos_β?sin_αsin_β; ③tan(α±β)=. 2.公式T(α±β)的變形: ①tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan_αtan_β); ②tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan_αtan_β). 二、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1.三
65、個(gè)公式: ①sin 2α=2sin_αcos_α; ②cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α; ③tan 2α=. 2.公式S2α、C2α的變形: ①sin αcos α=sin 2α; ②sin2α=(1-cos 2α); ③cos2α=(1+cos 2α). 1.sin 34°sin 26°-cos 34°cos 26°的值是( ) A. B. C.- D.- 【解析】 sin 34°sin 26°-cos 34°cos 26° =-(cos 34°cos 26°-sin 34°sin 26°)=-co
66、s 60°=-. 【答案】 C 2.下列各式中,值為的是( ) A.2sin 15°cos 15° B.cos215°-sin215° C.2sin215°-1 D.sin215°+cos215° 【解析】 2sin 15°cos 15°=sin 30°=,cos215°-sin215°=cos 30°=,2sin215°-1=-cos 30°=-, sin215°+cos215°=1.故選B. 【答案】 B 3.已知tan(α+β)=3,tan(α-β)=5,則tan 2α=( ) A. B.- C. D.- 【解析】 tan 2α=tan[(α+β)+(α-β)] ===-. 【答案】 D 4.若cos α=-,α是第三象限角,則sin=( ) A.- B. C.- D. 【解析】 由題意知sin α=-, ∴sin=sin αcos +cos αsin =-×+×=-. 【答案】 A 5.(2013·江西高考)若sin =,則cos α=( ) A.- B.- C. D. 【解析
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