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課時作業(yè)22　正弦定理和余弦定理 一、選擇題 1．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若sin(A＋B)＝，a＝3，c＝4，則sinA＝(　　) A.　　B. C. D. 解析：∵＝，即＝，又sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝，∴sinA＝，故選B. 答案：B 2．(2018濟南模擬)在△ABC中，AC＝，BC＝1，B＝60，則△ABC的面積為(　　) A. B．2 C．2 D．3 解析：本題考查余弦定理、三角形的面積公式．在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2ABBCcosB，即()2＝AB2＋12－21ABcos60，解得AB＝4，所以△ABC的面積為S＝ABBCsinB＝41sin60＝，故選A. 正確利用余弦定理求解三角形的邊長是解題的關(guān)鍵． 答案：A 3．(2018重慶適應(yīng)性測試)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a2＋b2－c2＝ab＝，則△ABC的面積為(　　) A. B. C. D. 解析：依題意得cosC＝＝，C是三角形內(nèi)角，即C＝60，因此△ABC的面積等于absinC＝＝，選B. 答案：B 4．(2018張掖市第一次診斷考試)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若c＝2a，bsinB－asinA＝asinC，則sinB為(　　) A. B. C. D. 解析：由bsinB－asinA＝asinC，且c＝2a，得b＝a，∵cosB＝＝＝， ∴sinB＝＝. 答案：A 5．(2018太原五中檢測)在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若sinA＝，a＝2，S△ABC＝，則b的值為(　　) A. B. C．2 D．2 解析：因為S△ABC＝bcsinA＝bc＝，所以bc＝3①.因為△ABC是銳角三角形，所以cosA＝，由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccosA，即4＝b2＋c2－23，所以b2＋c2＝6②.聯(lián)立①②，解得b＝c＝，故選A. 答案：A 二、填空題 6．(2017新課標(biāo)全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2bcosB＝acosC＋ccosA，則B＝________. 解析：方法一：由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理， 得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA. ∴2sinBcosB＝sin(A＋C)． 又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B. ∴2sinBcosB＝sin(π－B)＝sinB. 又B∈(0，π)，∴sinB≠0，∴cosB＝.∴B＝. 方法二：∵在△ABC中，acosC＋ccosA＝b， ∴條件等式變?yōu)?bcosB＝b，∴cosB＝. 又0∠BDC＝，所以∠BCA＝，所以cos∠BCA＝.在△ABC中，AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos∠BCA＝2＋6－2＝2，所以AB＝，所以∠ABC＝，在△BCD中，＝，即＝，解得CD＝. 答案： 8．(2018深圳調(diào)研)我國南宋時期著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中獨立提出了一種求三角形面積的方法——“三斜求積術(shù)”，即△ABC的面積S＝，其中a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊．若b＝2，且tanC＝，則△ABC的面積S的最大值為________． 解析：本題考查數(shù)學(xué)文化、三角恒等變換、正弦定理、三角形的面積公式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．由tanC＝＝，可得sinC＝(sinBcosC＋cosBsinC)＝sin(B＋C)＝sinA，結(jié)合正弦定理可得c＝a，而S＝＝＝≤，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2，c＝2時，等號成立，故△ABC的面積S的最大值為. 答案： 三、解答題 9．(2018山東師大附中一模)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且bsinA＝acosB. (1)求角B的大?。? (2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值． 解析：(1)∵bsinA＝acosB， 由正弦定理得sinBsinA＝sinAcosB. 在△ABC中，sinA≠0， 即得tanB＝，B∈(0，π)，∴B＝. (2)∵sinC＝2sinA，由正弦定理得c＝2a， 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB即9＝a2＋4a2－2a2acos， 解得a＝，∴c＝2a＝2. 10．(2017新課標(biāo)全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知△ABC的面積為. (1)求sinBsinC； (2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周長． 解析：(1)由題設(shè)得acsinB＝，即csinB＝. 由正弦定理得sinCsinB＝ . 故sinBsinC＝. (2)由題設(shè)及(1)得cosBcosC－sinBsinC＝－， 即cos(B＋C)＝－. 又B＋C∈(0，π) 所以B＋C＝，故A＝. 由題意得bcsinA＝，a＝3，所以bc＝8. 由余弦定理得b2＋c2－bc＝9， 即(b＋c)2－3bc＝9.由bc＝8，得b＋c＝. 故△ABC的周長為3＋. [能力挑戰(zhàn)] 11．(2018東北四市高考模擬)已知點P(，1)，Q(cosx，sinx)，O為坐標(biāo)原點，函數(shù)f(x)＝. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期； (2)若A為△ABC的內(nèi)角，f(A)＝4，BC＝3，△ABC的面積為，求△ABC的周長． 解析：(1)由題易知，＝(，1)， ＝(－cosx,1－sinx)， 所以f(x)＝(－cosx)＋1－sinx＝4－2sin， 所以f(x)的最小正周期為2π. (2)因為f(A)＝4，所以sin＝0，則A＋＝kπ，k∈Z，即A＝－＋kπ，k∈Z，因為0

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